Krummlinige Koordinaten sind Koordinatensysteme auf dem euklidischen Raum , bei denen die Koordinatenlinien gekrümmt sein können und die diffeomorph zu kartesischen Koordinaten sind. Das heißt, die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und krummlinigen Koordinaten muss lokal invertierbar sein, wobei die Abbildung wie auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sein müssen.
Die am häufigsten verwendeten krummlinigen Koordinatensysteme, die beide zu den orthogonalen Koordinatensystemen zählen, sind:
- ebene Polarkoordinaten (2D) bzw. deren 3-dimensionale Entsprechung, die Zylinderkoordinaten
- Kugelkoordinaten, auch sphärische Koordinaten genannt (3D)
Je nach Problemstellung sind Berechnungen in krummlinigen Koordinatensystemen einfacher als in kartesischen durchzuführen. Zum Beispiel sind physikalische Systeme mit Radialsymmetrie oft einfacher in Kugelkoordinaten zu behandeln.
Folgende Ausführungen beziehen sich speziell auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, vieles davon lässt sich jedoch auf den -dimensionalen Fall erweitern.
Transformation von kartesischen Koordinaten Bearbeiten
Koordinaten eines Punktes im -dimensionalen Raum sind ein Tupel aus reellen Zahlen, die bezüglich eines speziellen Koordinatensystems bestimmt werden. Im Folgenden werden für einen Punkt die Koordinaten in zwei verschiedenen Koordinatensystemen betrachtet.
Die kartesischen Koordinaten lassen sich als stetig differenzierbare Funktionen neuer Koordinaten schreiben (direkte Transformation):
Dies stellt ein Gleichungssystem dar, das invertierbar (also nach den auflösbar) ist (inverse Transformation)
wenn die inverse Funktionaldeterminante ungleich null oder unendlich ist:
Die inverse Transformation muss ebenso wie die direkte Transformation stetig differenzierbar sein.
Für die Punkte, in denen die Transformation umkehrbar eindeutig ist, heißt die Transformation regulär, sonst singulär. Dann gilt: Ist ein Punkt mit den kartesischen Koordinaten gegeben, so können mit Hilfe der inversen Transformation eindeutig die Koordinaten , die krummlinigen Koordinaten von , berechnet werden. Jeder reguläre Punkt des Raums kann eindeutig sowohl durch die als auch äquivalent durch die beschrieben werden.
Ein Satz von Transformationsgleichungen mit den oben beschriebenen Eigenschaften zusammen mit einem kartesischen Koordinatensystem definiert ein krummliniges Koordinatensystem.
Koordinatenflächen, -linien und -achsen Bearbeiten
Die Begriffe Koordinatenflächen, -linien und -achsen werden im Folgenden anhand des dreidimensionalen Raums anschaulich erläutert.
Koordinatenflächen erhält man, indem jeweils eine Koordinate festgehalten () und die beiden anderen variiert werden.
Durch jeden nicht-singulären Punkt geht genau eine Fläche jeder Flächenschar .
Koordinatenlinien erhält man, indem jeweils zwei Koordinaten festgehalten ( mit ) und die dritte variiert wird, d. h. als Schnittmenge zweier Koordinatenflächen für unterschiedliche Koordinaten.
Obige Bedingung für die Funktionaldeterminante bedeutet, dass in jedem Punkt des 3-dimensionalen Raumes sich nur 3 Koordinatenlinien schneiden dürfen, da sonst dieser Punkt keine eindeutigen Koordinaten besitzt (Funktionaldeterminante gleich null).
Als Beispiel für eine Uneindeutigkeit zählt die -Achse bei Kugelkoordinaten, an der sich alle Ebenen ( ist der Azimutwinkel) schneiden; somit sind die Koordinaten von Punkten auf der -Achse nicht eindeutig (, aber beliebig). Solche Punkte heißen singuläre Punkte der Transformation.
Schneiden sich die Koordinatenlinien unter rechten Winkeln, so heißt das Koordinatensystem orthogonal.
Die Koordinatenachsen sind als Tangenten an die Koordinatenlinien definiert. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen gekrümmt sind, sind die Koordinatenachsen nicht räumlich fest, wie es für kartesische Koordinaten gilt. Dies führt auf das Konzept der lokalen Basisvektoren, deren Richtung vom betrachteten Raumpunkt abhängt – im Gegensatz zu globalen Basisvektoren der kartesischen oder affinen Koordinaten.
Verschiedene Basen Bearbeiten
Um einen Vektor mittels Koordinaten darstellen zu können, ist eine Basis nötig. Im -dimensionalen Raum besteht diese aus linear unabhängigen Vektoren, den Basisvektoren. Jeder beliebige Vektor kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, wobei die Koeffizienten der Linearkombination die Komponenten des Vektors genannt werden.
Für echt krummlinige (also nicht-geradlinige) Koordinaten variieren Basisvektoren und Komponenten von Punkt zu Punkt, weshalb die Basis als lokale Basis bezeichnet wird. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes verteilt sich auf die Koordinaten sowie auf die Basisvektoren. Im Gegensatz dazu zeichnen sich globale Basen dadurch aus, dass die Basisvektoren in jedem Punkt identisch sind, was nur für lineare bzw. affine Koordinaten (die Koordinatenlinien sind geradlinig, aber im Allgemeinen schiefwinklig) möglich ist. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes steckt bei geradlinigen Koordinatensystemen allein in den Koordinaten.
Um Basisvektoren mit einem Koordinatensystem zu verknüpfen gibt es zwei gebräuchliche Methoden:
- kovariante Basisvektoren: Tangential an die Koordinatenlinien, d. h. kollinear zu den Koordinatenachsen
- kontravariante Basisvektoren: Normal zu den Koordinatenflächen
Die beiden Klassen von Basisvektoren sind dual bzw. reziprok zueinander. Diese beiden Basen bezeichnet man als holonome Basen. Sie unterscheiden sich in ihrem Transformationsverhalten unter Koordinatenwechsel. Dabei sind die Transformationen invers zueinander.
An jedem Punkt der betrachteten Mannigfaltigkeit existieren gleichzeitig beide Basen. Somit kann ein beliebiger Vektor als Linearkombination entweder der kovarianten Basisvektoren oder der kontravarianten Basisvektoren dargestellt werden. Dabei werden stets kontravariante Koordinaten mit kovarianten Basisvektoren kombiniert und kovariante Koordinaten mit kontravarianten Basisvektoren .
Diese kreuzweise Paarung (kontra-ko bzw. ko-kontra) sorgt dafür, dass der Vektor unter Koordinatentransformation invariant ist, da die Transformationen von Koordinaten und Basisvektoren invers zueinander sind und sich gegenseitig aufheben. Diese Eigenschaft ist für den Begriff eines Vektors in der Physik essentiell: In der Physik müssen Gesetzmäßigkeiten unabhängig vom speziellen Koordinatensystem gelten. Aus physikalischer Sicht muss ein Vektor, der z. B. die Geschwindigkeit eines Teilchens beschreibt, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein.
Man spricht von einem kontravarianten Vektor (besser: kontravarianter Koordinatenvektor), wenn die Koordinaten kontravariant und die Basisvektoren kovariant sind. Analog spricht man von einem kovarianten Vektor, wenn die Koordinaten kovariant und die Basisvektoren kontravariant sind.
Kovariante Basis Bearbeiten
Die kovarianten Basisvektoren schmiegen sich in jedem Punkt tangential an die Koordinatenlinien an.
Normierte und natürliche Basisvektoren Bearbeiten
Die Tangenteneinheitsvektoren an die Koordinatenlinien bilden eine Basis, bestehend aus kovarianten Basisvektoren:
Diese Einheitsvektoren haben im Allgemeinen eine vom Ort abhängige Richtung .
Man definiert die Maßstabsfaktoren durch
Die unnormierten Vektoren bilden die natürliche Basis, aus der man durch Normierung die unitäre Basis erhält (Einheitsvektoren). Die Vektoren der natürlichen Basis werden hier mit bezeichnet, die Vektoren der normierten Basis durch .
Kontravariante Komponenten: Vektoren als Linearkombination der kovarianten Basisvektoren Bearbeiten
Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren durch die Basisvektoren der kovarianten Basis (normiert) bzw. (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:
Dabei ist bzw. die (kontravariante) Vektorkomponente, die in Richtung der -Koordinatenlinie zeigt, bezüglich der normierten Basis und bezüglich der natürlichen Basis. In der Tensoranalysis wird mit hochgestelltem Index geschrieben.
Die Länge einer Vektorkomponente entspricht im Fall der normierten Basis dem Betrag der Koordinate , im Fall der natürlichen Basis dem Produkt aus dem Betrag der Koordinate und der Länge des Basisvektors :
Beschreibt ein Vektor eine physikalische Größe, so steckt im unnormierten Fall nicht nur die Länge, sondern auch die physikalische Dimension teils in den Koordinaten und teils in den natürlichen Basisvektoren, was bei konkreten Rechnungen umständlich sein kann. Bei normierter Basis hingegen ist die physikalische Dimension rein auf die Koordinate beschränkt. Die Koordinaten heißen deshalb physikalische Koordinaten und die normierten Basisvektoren heißen auch physikalische Basisvektoren.
Zur Abgrenzung heißen die Koordinaten deshalb holonome Koordinaten und die natürlichen Basisvektoren heißen auch holonome Basisvektoren oder einfach kontravariante Koordinaten und kovariante Basisvektoren.
Transformationsverhalten von Basisvektoren und Koordinaten, Jacobi-Matrix Bearbeiten
Aus der Definition der natürlichen Basisvektoren folgt für die Transformation von den Koordinaten nach die einfache Transformationsformel:
Die natürlichen Basisvektoren zeigen ein sehr einfaches Transformationsverhalten. Für die normierten Basisvektoren enthält die Transformationsformel zusätzliche Faktoren :
Ein beliebiger Vektor muss sowohl in den alten, wie auch den neuen Koordinaten darstellbar sein:
Somit erhält man das Transformationsverhalten der Koordinaten:
Während die Transformation der (kovarianten) Basisvektoren mittels der Jacobi-Matrix durchzuführen ist, muss bei der Transformation der (kontravarianten) Koordinaten die inverse Jacobi-Matrix angewandt werden.
In der Tensoranalysis definiert man einen Vektor über obiges Transformationsverhalten. Insofern ist der Ortsvektor selbst kein Vektor, das Ortsvektordifferential aber schon.
Die Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation von kartesischen in krummlinige Koordinaten ist identisch mit der Matrix, die von den natürlichen Basisvektoren als Spalten gebildet wird:
Die Bedingung für die inverse Funktionaldeterminante lässt sich anhand folgender Beziehung erklären:
Dies entspricht einer inhomogenen linearen Gleichung für den Vektor . D. h. die Unbekannten sind die Basisvektoren der krummlinigen Koordinaten . Das Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn der Kern der Matrix nulldimensional ist bzw. die Zeilen- oder Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Dies ist dazu äquivalent, dass die Determinante ungleich Null ist. Dann sind die Unbekannten eindeutig bestimmt, d. h. an jedem Punkt existiert genau eine definierte Basis .
Analog entspricht die duale Basis einer Matrix, die genau das Inverse der obigen Matrix ist.
Metrischer Tensor und Gramsche Determinante Bearbeiten
Die Skalarprodukte zwischen den natürlichen Basisvektoren definieren die Komponenten des metrischen Tensors bzw. Fundamentaltensors :
Man beachte, dass der metrische Tensor wegen der Kommutativität des Skalarprodukts symmetrisch ist:
Wegen dieser Symmetrie hat der metrische Tensor unabhängige Elemente (statt ), im Dreidimensionalen also 6 Koeffizienten.
Der metrische Tensor lässt sich als Produkt der Jacobi-Matrix und ihrer Transponierten schreiben:
Die Größen nennt man Metrik- bzw. Maßkoeffizienten, da diese benötigt werden, um die Länge eines Vektors aus den kontravarianten Koordinaten zu berechnen. Hierzu sind die Maßstabsfaktoren nötig.
Die Maßstabsfaktoren sind durch die Diagonalelemente gegeben, da gilt:
Die Determinante des metrischen Tensors wird Gramsche Determinante genannt:
Aus folgt, dass der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix (also der Funktionaldeterminante) gleich der Wurzel der Gramschen Determinante sein muss. Oder anders geschrieben, dass
wobei das Vorzeichen von der Orientierung der Basis abhängt. Die Determinante aus den normierten Basisvektoren ergibt (aufgrund der Multilinearität von Determinanten):
Für die Inverse des metrischen Tensors gilt nach der Cramerschen Regel
wobei die Adjunkte (die Transponierte der Kofaktormatrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten sind) und die Gramsche Determinante bezeichnet. Aus dem Laplace'schen Entwicklungssatz folgt
folgt für den inversen metrischen Tensor:
Spezialfall: Orthogonale Koordinaten Bearbeiten
Schneiden sich im -dimensionalen Raum an jedem Raumpunkt die Koordinatenlinien paarweise senkrecht, so spricht man von einem orthogonalen Koordinatensystem. Die Einheitsvektoren bilden also eine orthonormale Basis des :
Für die natürlichen Basisvektoren gilt:
Somit ist für orthogonale Basisvektoren der metrische Tensor diagonal.
Der inverse metrische Tensor ist für orthogonale Koordinaten gleich:
Die Gramsche Determinante vereinfacht sich für orthogonale Koordinaten zu:
Für die Determinanten aus natürlichen bzw. normierten Basisvektoren gilt hier:
Spezialfall: Orthogonale Koordinaten in 3 Dimensionen Bearbeiten
Bilden die orthonormalen Basisvektoren eine rechtshändige Basis (positive Orientierung), gelten folgende Beziehungen:
Ausgeschrieben:
Spezialfall: Geradlinige Koordinatensysteme Bearbeiten
Für allgemeine krummlinige Koordinaten sind die Koordinatenlinien gekrümmt und die Basisvektoren variieren von Punkt zu Punkt. Beim Spezialfall der geradlinigen, aber durchaus schiefwinkligen, Koordinatensystemen sind die Koordinatenlinien gerade und die Basisvektoren somit ortsunabhängig. Die Koordinatenflächen sind Ebenen, eine Schar von Koordinatenflächen bilden parallele Ebenen.
Die Transformationsgleichungen lassen sich in diesem Fall schreiben als:
wobei die und konstant sind. Die Jacobi-Matrix entspricht dabei der Transformationsmatrix . Somit entsprechen die natürlichen Einheitsvektoren der -ten Spalte der Matrix .
Beispiel für geradlinige, schiefwinklige Koordinatensysteme Bearbeiten
.
Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems wird ein Minkowski-Diagramm mit zwei Bezugssystemen betrachtet, die sich gleichförmig zueinander mit der Geschwindigkeit bewegen. Über hängen die Größen relative Geschwindigkeit , Rapidität und Winkel mit den Wertebereichen mit und sowie zusammen. Die Lorentz-Transformation transformiert die Bezugssysteme ineinander :
Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: . Die natürlichen Basisvektoren in Richtung lauten in kartesischen Koordinaten:
Interpretiert man das Minkowski-Diagramm euklidisch (Verwendung des Standardskalarprodukts und nicht des Minkowski-Skalarprodukts) erhält man den metrischen Tensor
und die Gramsche Determinante
Da für Nebendiagonalelemente auftreten, bilden die Koordinatenlinien keinen rechten Winkel:
Da für die Diagonalelemente ungleich Eins sind, sind die natürlichen Basisvektoren keine Einheitsvektoren, d. h. der Maßstab auf den gekippten Koordinatenlinien ist gestreckt:
Nebenbemerkung: Mit dem Skalarprodukt der speziellen Relativitätstheorie , wobei die nichteuklidische Minkowski-Metrik ist, erhält man die Invarianz des Skalarprodukts unter Lorentz-Boosts.
Duale Basis: Kontravariante Basis Bearbeiten
Die kontravarianten Basisvektoren stehen an jedem Punkt senkrecht auf den Koordinatenflächen. Sie sind dual zu den kovarianten Basisvektoren. Die kontravarianten Komponenten eines Vektors lassen sich durch Projektion auf kontravariante Basisvektoren erhalten.
Komponenten als Projektion auf Basisvektoren: Orthogonale Koordinaten Bearbeiten
Die Vektorkomponente (kontravariante Komponente) des Vektors lässt sich für eine orthonormale Basis () einfach durch folgende Projektion bestimmen:
Bei nicht orthogonalen Koordinatensystemen (schiefwinklig) erhält man durch die Projektion eines Vektors auf einen kovarianten Basisvektor die kovariante Komponente (kovariante Komponente – in der Tensoranalysis mit tiefgestelltem Index geschrieben ) und nicht die kontravariante Komponente , da hier die Relation nicht gilt, bzw. der metrische Tensor nicht diagonal ist. Hierzu benötigt man das Konzept des Dualraums und der dualen Basis.
Einführung Dualraum und duale Basis Bearbeiten
Der Dualraum zum Vektorraum der Tangentialvektoren wird gebildet aus den linearen Funktionalen (auch 1-Formen), die Vektoren in den darunterliegenden Körper abbilden: . Eine Basis des Dualraums sind die dualen Basisvektoren zu . Diese sind so definiert, dass gilt.
Weiterhin definiert man folgende Bilinearform, die sog. duale Paarung: . Damit lässt sich die Wirkung dualer Basisvektoren auf Basisvektoren schreiben als:
Für endlichdimensionale ist isomorph zu , also . In euklidischen Räumen (dem mit dem Standardskalarprodukt) lässt sich die duale Paarung mit dem Skalarprodukt
identifizieren und somit duale Vektoren ebenfalls als Vektoren darstellen (hier gilt: und sowie ).
Duale Basis Bearbeiten
Die duale Basis ist also so definiert, dass für das Skalarprodukt aus Basisvektoren (kovariante Basisvektoren) und dualen Basisvektoren (kontravariante Basisvektoren) gilt (hier für die normierten Basisvektoren ):
Bzw. analog für die natürlichen Basisvektoren und deren duale Basisvektoren :
Für die natürlichen Basisvektoren und deren duale Basisvektoren gilt in Matrixnotation:
Da die Matrix mit den kovarianten Basisvektoren als Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix entspricht , muss folglich die Matrix mit den kontravarianten Basisvektoren als Zeilenvektoren der inversen Jacobi-Matrix entsprechen:
Um die dualen Basisvektoren zu erhalten, muss somit die Inverse der Jacobi-Matrix bestimmt werden.
Die Gramsche Determinante der kontravarianten Basisvektoren muss dem Inversen der Determinante der kovarianten Basisvektoren entsprechen:
Kovariante Komponenten: Vektoren als Linearkombination der kontravarianten Basisvektoren Bearbeiten
Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren durch die Basisvektoren der kontravarianten Basis (normiert) bzw. (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:
Dabei ist bzw. die (kovariante) Vektorkomponente, die in Richtung der Normale der -Koordinatenfläche zeigt. In der Tensoranalysis wird mit tiefgestelltem Index geschrieben.
Komponenten als Projektion auf Basisvektoren: Allgemein krummlinige Koordinaten Bearbeiten
Die kontravariante Komponente eines Vektors erhält man durch Projektion auf den dualen Basisvektor (kontravariante Basis – in der Tensoranalysis mit hochgestelltem Index geschrieben ).
Bei orthonormalen Basisvektoren stimmen ko- und kontravariante Basisvektoren überein und ebenso ko- und kontravariante Komponenten eines Vektors.
Allgemein lässt sich ein beliebiger Vektor über kontra- oder kovariante Basisvektoren darstellen:
Somit werden kontravariante Komponenten mit kovarianten Basisvektoren oder kovariante Komponenten mit kontravarianten Basisvektoren kombiniert. Diese Eigenschaft führt auf die Invarianz der Vektoren unter einem Wechsel des Koordinatensystems.
Multiplikation auf beiden Seiten mit liefert
Somit lassen sich mit Hilfe des metrischen Tensors und seiner Inversen kontravariante Komponenten in kovariante und umgekehrt überführen (in Tensorsprache: Heben und Senken von Indizes).
Duale Basis und Komponenten für orthogonale Koordinaten Bearbeiten
Bei orthogonalen Koordinaten stimmen in der normierten Form Basisvektoren und duale Basisvektoren überein. Für die natürliche Basis bedeutet dies, dass zwei zueinander duale Basisvektoren kollinear sind, d. h. der eine ist ein Vielfaches (Faktor ) des anderen:
Somit stimmen die Komponenten bzgl. der normierten Basis ebenfalls überein:
Duale Basis in 3 Dimensionen Bearbeiten
Die dualen Basisvektoren lassen sich im dreidimensionalen über Kreuzprodukte der Basisvektoren geteilt durch deren Spatprodukt bzw. ausdrücken:
In kompakter Notation für die normierten Basisvektoren
bzw. für die natürlichen Basisvektoren:
Während die (kovarianten) Basisvektoren tangential an die Koordinatenlinien sind, stehen die dualen (kontravarianten) Basisvektoren senkrecht auf den Koordinatenflächen. Beispiel: Während die Vektoren und in der Koordinatenfläche liegen, steht senkrecht auf dieser.
Umgekehrt lassen sich die kontravarianten Basisvektoren im dreidimensionalen über Kreuzprodukte der kovarianten Basisvektoren geteilt durch deren Spatprodukt bzw. ausdrücken:
Bilden die kovarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (Funktionaldeterminante positiv), dann bilden auch die kontravarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (inverse Funktionaldeterminante positiv). Das Produkt aus den beiden Determinanten muss nämlich Eins ergeben.
Beispiel für geradlinige, schiefwinklige Koordinatensysteme Bearbeiten
Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems dient, als Fortsetzung des obigen Beispiels, ein Minkowski-Diagramm. Die Lorentz-Transformation war gegeben durch , somit lautet die inverse Transformation: :
Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: . Somit lauten die dualen Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten:
Diese erfüllen die Dualitätsbedingungen: Orthogonalität für und sowie Normierung für und .
Tensoren Bearbeiten
Tensoren -ter Stufe lassen sich allgemein als -faches Tensorprodukt von Vektoren darstellen:
Das tensorielle Produkt von Vektoren ist nicht kommutativ, sodass die Reihenfolge der (Basis-)Vektoren nicht vertauscht werden darf.
Dabei sind Skalare (Funktionen der Koordinaten in den Grundkörper, also , die unter Koordinatentransformation ihren Funktionswert an jedem Punkt nicht ändern ) Tensoren nullter Stufe und Vektoren sind Tensoren erster Stufe.
Da sich Vektoren auf zwei verschiedene Arten, nämlich kovariant bzw. kontravariant, darstellen lassen, gibt es für einen Tensor -ter Stufe Darstellungsmöglichkeiten. Durch die Darstellung mittels Vektoren werden die Eigenschaften des Vektors auf Tensoren vererbt. So lassen sich z. B. mit Hilfe des metrischen Tensors Indizes heben und senken, d. h. ko- in kontravariante Komponenten bzw. umgekehrt überführen. Tensoren, die sich durch Heben und Senken (also innere Produkte mit dem metrischen Tensor) ergeben, heißen assoziierte Tensoren. Ebenso wird das Transformationsverhalten von Vektoren für Tensoren übernommen, d. h. kovariante Anteile eines Tensors transformieren sich wie kovariante Vektoren, also mittels der Jacobi-Matrix, und kontravariante Anteile mit der inversen Jacobi-Matrix, wie bei kontravarianten Vektoren.
Tensoren zweiter Stufe Bearbeiten
Ein Tensor zweiter Stufe kann auf vier verschiedenen Arten dargestellt werden:
Die vier Fälle sind: (rein) kontravariant, (rein) kovariant, gemischt kontra-kovariant, gemischt ko-kontravariant.
Der Einheitstensor, definiert durch , ist gegeben durch: