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Reaktionsdiffusionsgleichung en RD Gleichungen beschreiben Vorgänge bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich

Reaktionsdiffusionsgleichung

Reaktionsdiffusionsgleichungen (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine Diffusion auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal oszillierende chemische Reaktion mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen Kolmogorov-Gleichung.

Bei RD-Gleichungen handelt es sich um partielle Differentialgleichungen zweiten Grades, die der Form nach Ratengleichungen sind (Herleitung siehe dort). Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe X (z. B. Stoffmenge, Abundanz, Konzentration o. Ä.):

  • Die Funktionen der Zeit und des Ortes bilden die Größen ab, deren Dynamik beschrieben wird. Dabei können mehrere Stoffe, die miteinander wechselwirken, berücksichtigt werden, indem man eine Vektorform gibt und die Gleichung als Matrix-Gleichung auffasst.
  • Die Funktion beschreibt den Reaktionsanteil. Ohne den Reaktionsanteil hätte die RD-Gleichung die Form der Wärmeleitungsgleichung.
  • Der Term stammt aus dem 2. Fickschen Gesetz und beschreibt die Diffusion.

Liegt außerdem ein gerichteter Transportprozess vor (Konvektion), so muss die obige Reaktions-Diffusionsgleichung um einen Konvektionsterm erweitert werden, analog zur Konvektions-Diffusions-Gleichung.

Reaktionsdiffusionsgleichungen finden in der Technischen Chemie und im Maschinenbau Anwendung. Dort werden verschiedene Systeme betrachtet, bei denen Reaktion, Diffusion und Konvektion zusammen auftreten (Makrokinetik). Beispiele sind die Auslegung von chemischen Reaktoren oder technische Verbrennungsvorgänge. In der Entwicklungsbiologie spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit Alan Turing eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der Morphogenese, siehe Turing-Mechanismus. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der Strukturbildungsprozesse lokalisierter teilchenartiger Strukturen, sogenannter dissipativer Solitonen, die z. B. bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion und Halbleiter-Gasentladungssystemen beobachtet werden. Auch Chemische Wellen und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben.

Spezielle Fälle Bearbeiten

Je nach der Form des Reaktionsanteils werden Spezialversionen der RD-Gleichungen unterschieden:

  • die Fisher-Gleichung, sie findet Anwendung in der Populationsdynamik (ohne den Diffusionsterm wäre es die Differentialgleichung für die Logistische Funktion). Eine etwas allgemeinere Variante ist die KPP-Gleichung bei der , und für . Die Fisher-Gleichung und die Newell-Whitehead-Gleichung sind Spezialfälle der KPP-Gleichung.
  • , Seldowitschgleichung (Zeldovich-Gleichung) zum Beispiel bei Verbrennungsvorgängen.
  • Newell-Whitehead-Gleichung oder Amplituden-Gleichung, angewandt bei der Rayleigh-Bénard-Konvektion.
  • (mit einem Parameter ) Nagumo-Gleichung für Ausbreitung von Nervenpulsen in einem Axon

Ein weiteres Beispiel ist die Poröse-Medien-Gleichung und die Burgersgleichung.

Teilchenmodelle Bearbeiten

Eine detailgetreue Beschreibung von Reaktionsdiffusionssystemen kann mit Teilchenmodellen wie SRSim oder ReaDDy erfolgen. Beispielsweise mit Algorithmen wie Reversible interacting-particle reaction dynamics.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Dilip Kondepudi, Ilya Prigogine: Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures. John Wiley & Sons, Chichester u. a. 1998, ISBN 0-471-97393-9.
  • J. D. Murray: Mathematical Biology. 2 Bände. 3. edition, corrected printing. Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-95223-9 (Bd. 1), ISBN 978-0-387-95228-4 (Bd. 2), (Interdisciplinary applied mathematics 17–18).
  • Andreas W. Liehr: Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems. Mechanism, Dynamics, Interaction. Volume 70 of Springer Series in Synergetics, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2.
  • B. A. Grzybowski: Chemistry in Motion: Reaction-Diffusion Systems for Micro- and Nanotechnology. 2009 (wiley.com).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2
  2. Simulation tools for particle-based reaction-diffusion dynamics in continuous space https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5
  3. Fröhner, Christoph, and Frank Noé. "Reversible interacting-particle reaction dynamics." The Journal of Physical Chemistry B 122.49 (2018): 11240–11250.
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Reaktionsdiffusionsgleichungen RD Gleichungen beschreiben Vorgange bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusatzlich eine Diffusion auftritt Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle fur die Belousov Zhabotinsky Reaktion BZ Reaktion bei der raumliche Muster entstehen weil eine lokal oszillierende chemische Reaktion mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist Ein Beispiel aus der Biologie sind raumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen Kolmogorov Gleichung Bei RD Gleichungen handelt es sich um partielle Differentialgleichungen zweiten Grades die der Form nach Ratengleichungen sind Herleitung siehe dort Sie beschreiben also die zeitliche Anderung einer Grosse X z B Stoffmenge Abundanz Konzentration o A t u f u D 2 x 2 u displaystyle frac partial partial t u f u D cdot frac partial 2 partial x 2 u Die Funktionen u displaystyle u der Zeit t displaystyle t und des Ortes x displaystyle x bilden die Grossen ab 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oder technische Verbrennungsvorgange In der Entwicklungsbiologie spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit Alan Turing eine uberragende Rolle bei der mathematischen Theorie der Morphogenese siehe Turing Mechanismus Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der Strukturbildungsprozesse lokalisierter teilchenartiger Strukturen sogenannter dissipativer Solitonen die z B bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der Belousov Zhabotinsky Reaktion und Halbleiter Gasentladungssystemen beobachtet werden Auch Chemische Wellen und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions Diffusions Gleichungen beschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Spezielle Falle 2 Teilchenmodelle 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseSpezielle Falle BearbeitenJe nach der Form des Reaktionsanteils werden Spezialversionen der RD Gleichungen unterschieden 1 f u u 1 u displaystyle f u u cdot 1 u nbsp die Fisher Gleichung sie findet Anwendung in der Populationsdynamik ohne den Diffusionsterm ware es die Differentialgleichung fur die Logistische Funktion Eine etwas allgemeinere Variante ist die KPP Gleichung bei der f 1 f 0 0 displaystyle f 1 f 0 0 nbsp f u gt 0 displaystyle f u gt 0 nbsp und d f d u u lt d f d u 0 displaystyle frac df du u lt frac df du 0 nbsp fur 0 lt u lt 1 displaystyle 0 lt u lt 1 nbsp Die Fisher Gleichung und die Newell Whitehead Gleichung sind Spezialfalle der KPP Gleichung f u u 2 1 u displaystyle f u u 2 cdot 1 u nbsp Seldowitschgleichung Zeldovich Gleichung zum Beispiel bei Verbrennungsvorgangen f u u 1 u 2 displaystyle f u u 1 u 2 nbsp Newell Whitehead Gleichung oder Amplituden Gleichung angewandt bei der Rayleigh Benard Konvektion f u u 1 u u a displaystyle f u u cdot 1 u cdot u alpha nbsp mit einem Parameter 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt alpha lt 1 nbsp Nagumo Gleichung fur Ausbreitung von Nervenpulsen in einem AxonEin weiteres Beispiel ist die Porose Medien Gleichung und die Burgersgleichung Teilchenmodelle BearbeitenEine detailgetreue Beschreibung von Reaktionsdiffusionssystemen kann mit Teilchenmodellen wie SRSim oder ReaDDy erfolgen 2 Beispielsweise mit Algorithmen wie Reversible interacting particle reaction dynamics 3 Siehe auch BearbeitenBelousov Zhabotinsky Reaktion Morphogenese Liesegangsche Ringe KPP GleichungLiteratur BearbeitenDilip Kondepudi Ilya Prigogine Modern Thermodynamics From Heat Engines to Dissipative Structures John Wiley amp Sons Chichester u a 1998 ISBN 0 471 97393 9 J D Murray Mathematical Biology 2 Bande 3 edition corrected printing Springer New York NY u a 2008 ISBN 978 0 387 95223 9 Bd 1 ISBN 978 0 387 95228 4 Bd 2 Interdisciplinary applied mathematics 17 18 Andreas W Liehr Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems Mechanism Dynamics Interaction Volume 70 of Springer Series in Synergetics Springer Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 31250 2 B A Grzybowski Chemistry in Motion Reaction Diffusion Systems for Micro and Nanotechnology 2009 wiley com Einzelnachweise Bearbeiten B H Gilding u a Hrsg Travelling waves in nonlinear diffusion convection equation reaction Birkhauser 2004 S 2 Simulation tools for particle based reaction diffusion dynamics in continuous space https link springer com article 10 1186 s13628 014 0011 5 Frohner Christoph and Frank Noe Reversible interacting particle reaction dynamics The Journal of Physical Chemistry B 122 49 2018 11240 11250 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reaktionsdiffusionsgleichung amp oldid 227925806