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KPP Gleichung Die Kolmogorov Petrovsky Piscounov Gleichung nach Andrei Kolmogorow Iwan Petrowski und Nikolai Piskunow 19

KPP-Gleichung

Die Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung nach Andrei Kolmogorow, Iwan Petrowski und Nikolai Piskunow 1937) ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung von der Form einer Reaktions-Diffusions-Gleichung.

Ein Spezialfall ist Fishers-Gleichung (nach Ronald Aylmer Fisher 1937) der Populationsdynamik, eine stetige Variante der Logistischen Gleichung (siehe auch Logistische Funktion).

Hauptteil Bearbeiten

Die KPP-Gleichung hat die Form:

mit einer nichtlinearen Funktion , die erfüllt: , und für (Das Intervall [0,1] ist häufig auch das Definitionsintervall der Variablen , wenn diese eine Konzentration angibt).

Fishers Gleichung ist ein Spezialfall der Form:

Manchmal wird statt des Reaktionsterms auch ein Term angegeben, ähnlich wie bei der Logistischen Gleichung.

Dies ist eine semilineare parabolische Gleichung zweiter Ordnung. Sie wird verwendet, um verschiedene Vorgänge in der Natur zu modellieren, beispielsweise die Populationsdynamik oder chemische Reaktionen.

Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm und einem nichtlinearen Reaktionsterm .

Verwendet man eine ortsunabhängige Funktion , so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung

An dieser kann man erkennen, dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum modelliert wird, das jedoch einen Sättigungsterm enthält. Dieser steht z. B. bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung oder bei chemischen Reaktionen für die Sättigung der Konzentration.

Reaktionsfronten Bearbeiten

Verwendet man die Gleichung zur Modellierung einer örtlich lokalisiert startenden Reaktion, so ist klar, dass sich eine Reaktionsfront ausbildet. Diese besitzt, wie man zeigen kann, eine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Verwendet man den für Wellen üblichen Ansatz

so erhält man nach Einsetzen die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

Nach Linearisierung und unter der Annahme, dass die "Konzentration" f nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, erhält man die Gleichung für die Eigenwerte

Da diese für stabile Wellen reell sein müssen, muss gelten.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Die Fisher-Gleichung kann verallgemeinert werden zu:

mit einer positiven ganzen Zahl .

Im Fall der Fisher-Gleichung gilt dann .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2
  2. F. Hamel, N. Nadirashvili, Entire solutions of the KPP equation, Comm. Pure Appl. Math., Band 52, 1999, S. 1255–1276, doi:10.1002/(SICI)1097-0312(199910)52:10<1255::AID-CPA4>3.0.CO;2-W.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Kolmogorov Petrovsky Piscounov Gleichung KPP Gleichung nach Andrei Kolmogorow Iwan Petrowski und Nikolai Piskunow 1937 ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung von der Form einer Reaktions Diffusions Gleichung Ein Spezialfall ist Fishers Gleichung nach Ronald Aylmer Fisher 1937 der Populationsdynamik eine stetige Variante der Logistischen Gleichung siehe auch Logistische Funktion Inhaltsverzeichnis 1 Hauptteil 2 Reaktionsfronten 3 Verallgemeinerungen 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseHauptteil BearbeitenDie KPP Gleichung hat die Form 1 2 t u x 2 u g u displaystyle partial t u partial x 2 u g u nbsp mit einer nichtlinearen Funktion g u displaystyle g u nbsp die erfullt g 1 g 0 0 displaystyle g 1 g 0 0 nbsp g u gt 0 displaystyle g u gt 0 nbsp und d g d u u lt d g d u 0 displaystyle tfrac dg du u lt tfrac dg du 0 nbsp fur 0 lt u lt 1 displaystyle 0 lt u lt 1 nbsp Das Intervall 0 1 ist haufig auch das Definitionsintervall der Variablen u displaystyle u nbsp wenn diese eine Konzentration angibt Fishers Gleichung ist ein Spezialfall der Form t u x 2 u u 1 u x 2 u u u 2 displaystyle partial t u partial x 2 u u cdot 1 u partial x 2 u u u 2 nbsp Manchmal wird statt des Reaktionsterms g u u 1 u displaystyle g u u cdot 1 u nbsp auch ein Term g u r u 1 u displaystyle g u r cdot u cdot 1 u nbsp angegeben ahnlich wie bei der Logistischen Gleichung Dies ist eine semilineare parabolische Gleichung zweiter Ordnung Sie wird verwendet um verschiedene Vorgange in der Natur zu modellieren beispielsweise die Populationsdynamik oder chemische Reaktionen Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm x 2 u displaystyle partial x 2 u nbsp und einem nichtlinearen Reaktionsterm u u 2 displaystyle u u 2 nbsp Verwendet man eine ortsunabhangige Funktion f t u x t displaystyle f t u x t nbsp so erhalt man die gewohnliche Differentialgleichung t f f f 2 displaystyle partial t f f f 2 nbsp An dieser kann man erkennen dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum t f f displaystyle partial t f f nbsp modelliert wird das jedoch einen Sattigungsterm f 2 displaystyle f 2 nbsp enthalt Dieser steht z B bei der Populationsdynamik fur die begrenzte Nahrungsversorgung oder bei chemischen Reaktionen fur die Sattigung der Konzentration Reaktionsfronten BearbeitenVerwendet man die Gleichung zur Modellierung einer ortlich lokalisiert startenden Reaktion so ist klar dass sich eine Reaktionsfront ausbildet Diese besitzt wie man zeigen kann eine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit Verwendet man den fur Wellen ublichen Ansatz u x t f x v t f w displaystyle u x t f x vt f w nbsp so erhalt man nach Einsetzen die gewohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung w 2 f v w f f f 2 0 displaystyle partial w 2 f v partial w f f f 2 0 nbsp Nach Linearisierung und unter der Annahme dass die Konzentration f nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann erhalt man die Gleichung fur die Eigenwerte l 1 2 v v 2 4 2 displaystyle lambda 1 2 frac v pm sqrt v 2 4 2 nbsp Da diese fur stabile Wellen reell sein mussen muss v 2 displaystyle v geq 2 nbsp gelten Verallgemeinerungen BearbeitenDie Fisher Gleichung kann verallgemeinert werden zu t u x 2 u 1 u m u displaystyle partial t u partial x 2 u 1 u m u nbsp mit einer positiven ganzen Zahl m displaystyle m nbsp Im Fall der Fisher Gleichung gilt dann m 1 displaystyle m 1 nbsp Siehe auch BearbeitenNernst Planck GleichungEinzelnachweise Bearbeiten B H Gilding u a Hrsg Travelling waves in nonlinear diffusion convection equation reaction Birkhauser 2004 S 2 F Hamel N Nadirashvili Entire solutions of the KPP equation Comm Pure Appl Math Band 52 1999 S 1255 1276 doi 10 1002 SICI 1097 0312 199910 52 10 lt 1255 AID CPA4 gt 3 0 CO 2 W Abgerufen von https de wikipedia org w index php title KPP Gleichung amp oldid 212812899