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Burgersgleichung Die nach dem niederländischen Physiker Johannes Martinus Burgers ist eine einfache nichtlineare partiel

Burgersgleichung

Die Burgersgleichung (nach dem niederländischen Physiker Johannes Martinus Burgers) ist eine einfache nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion von zwei Variablen Sie tritt in verschiedenen Gebieten der angewandten Mathematik auf.

In allgemeiner Form sieht die Gleichung folgendermaßen aus (auch viskose Burgersgleichung genannt):

Der Parameter kann hier als Viskositätsparameter interpretiert werden.

Oft wird auch die obige Gleichung für den Fall als Burgersgleichung bezeichnet, manche Autoren nennen diesen Spezialfall die reibungsfreie Burgersgleichung (engl.: inviscid Burgers' equation):

Formal sind beide Darstellungen äquivalent, allerdings ist die zweite, reibungsfreie Form für numerische Berechnungen vorteilhafter. Der Grund hierfür ist die Erhaltungsform der Differentialgleichung (siehe Finite-Volumen-Verfahren).

Anwendung Bearbeiten

Die viskose Burgersgleichung ist ein einfaches Beispiel einer nichtlinearen parabolischen Differentialgleichung und wird daher oft als Testfall für numerische Algorithmen für diese Art von Gleichungen verwendet.

Wegen ihrer Ähnlichkeit mit dem nichtlinearen Teil der Navier-Stokes-Gleichung kann die Burgersgleichung auch als einfaches Modell einer eindimensionalen Strömung interpretiert werden. Als Beispiel wird oft die Verkehrsdichte im Straßenverkehr genommen, deren zeitlicher Verlauf sich mit Hilfe der Burgersgleichung modellieren lässt.

Lösungen Bearbeiten

Die viskose Burgersgleichung kann mit Hilfe der Hopf-Cole-Transformation gelöst werden.

Für die unviskose Gleichung führt die Methode der Charakteristiken zum Ziel. Allerdings besitzt die Gleichung nicht unbedingt eine eindeutige Lösung. Bei geeignet gewählten Anfangswerten können Schocks beobachtet werden. Die viskose Gleichung motiviert dann auch für die Euler-Gleichungen den Begriff der Lösung mit verschwindender Viskosität. Das ist diejenige Lösung der unviskosen Burgersgleichung, die einer Lösung der viskosen Gleichung mit verschwindender Viskosität entspricht.

Literatur Bearbeiten

  • J. M. Burgers: Mathematical examples illustrating relations occurring in the theory of turbulent fluid motion. Verhandelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Natuurkunde, Reihe 1, ISSN 0373-4668, Bd. 17, H. 2, 1939, S. 1–53.
  • M. Case, S. C. Chiu, Burgers' turbulence models. Physics of Fluids, ISSN 0031-9171, Bd. 12, 1969, S. 1799–1808.
  • Tomasz Dlotko: The one-dimensional Burgers' equation : existence, uniqueness and stability. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Jagiellonskiego, Prace Matematyczne, ISSN 0450-9005, Bd. 23, 1982, S. 157–172.
  • Samuel S. Shen, A Course on Nonlinear Waves., Nonlinear Topics in the Mathematical Sciences, Kluwer Academic, Dordrecht 1993, ISBN 0-7923-2292-4
  • Christof Obertscheider: Burgers' Equation. (PDF; 412 kB) Abgerufen am 22. Mai 2011 (englisch).
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Die Burgersgleichung nach dem niederlandischen Physiker Johannes Martinus Burgers ist eine einfache nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung fur eine Funktion u displaystyle u von zwei Variablen x t displaystyle x t Sie tritt in verschiedenen Gebieten der angewandten Mathematik auf In allgemeiner Form sieht die Gleichung folgendermassen aus auch viskose Burgersgleichung genannt u t u u x m 2 u x 2 u t 1 2 x u 2 m 2 u x 2 displaystyle begin alignedat 2 amp frac partial u partial t u frac partial u partial x amp amp mu frac partial 2 u partial x 2 Leftrightarrow amp frac partial u partial t frac 1 2 frac partial partial x u 2 amp amp mu frac partial 2 u partial x 2 end alignedat Der Parameter m gt 0 displaystyle mu gt 0 kann hier als Viskositatsparameter interpretiert werden Oft wird auch die obige Gleichung fur den Fall m 0 displaystyle mu 0 als Burgersgleichung bezeichnet manche Autoren nennen diesen Spezialfall die reibungsfreie Burgersgleichung engl inviscid Burgers equation u t u u x 0 u t 1 2 x u 2 0 displaystyle begin alignedat 2 amp frac partial u partial t u frac partial u partial x amp amp 0 Leftrightarrow amp frac partial u partial t frac 1 2 frac partial partial x u 2 amp amp 0 end alignedat Formal sind beide Darstellungen aquivalent allerdings ist die zweite reibungsfreie Form fur numerische Berechnungen vorteilhafter Der Grund hierfur ist die Erhaltungsform der Differentialgleichung siehe Finite Volumen Verfahren Anwendung BearbeitenDie viskose Burgersgleichung ist ein einfaches Beispiel einer nichtlinearen parabolischen Differentialgleichung und wird daher oft als Testfall fur numerische Algorithmen fur diese Art von Gleichungen verwendet Wegen ihrer Ahnlichkeit mit dem nichtlinearen Teil der Navier Stokes Gleichung kann die Burgersgleichung auch als einfaches Modell einer eindimensionalen Stromung interpretiert werden Als Beispiel wird oft die Verkehrsdichte im Strassenverkehr genommen deren zeitlicher Verlauf sich mit Hilfe der Burgersgleichung modellieren lasst Losungen BearbeitenDie viskose Burgersgleichung kann mit Hilfe der Hopf Cole Transformation gelost werden Fur die unviskose Gleichung fuhrt die Methode der Charakteristiken zum Ziel Allerdings besitzt die Gleichung nicht unbedingt eine eindeutige Losung Bei geeignet gewahlten Anfangswerten konnen Schocks beobachtet werden Die viskose Gleichung motiviert dann auch fur die Euler Gleichungen den Begriff der Losung mit verschwindender Viskositat Das ist diejenige Losung der unviskosen Burgersgleichung die einer Losung der viskosen Gleichung mit verschwindender Viskositat entspricht Literatur BearbeitenJ M Burgers Mathematical examples illustrating relations occurring in the theory of turbulent fluid motion Verhandelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Afdeeling Natuurkunde Reihe 1 ISSN 0373 4668 Bd 17 H 2 1939 S 1 53 M Case S C Chiu Burgers turbulence models Physics of Fluids ISSN 0031 9171 Bd 12 1969 S 1799 1808 Tomasz Dlotko The one dimensional Burgers equation existence uniqueness and stability Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Jagiellonskiego Prace Matematyczne ISSN 0450 9005 Bd 23 1982 S 157 172 Samuel S Shen A Course on Nonlinear Waves Nonlinear Topics in the Mathematical Sciences Kluwer Academic Dordrecht 1993 ISBN 0 7923 2292 4 Christof Obertscheider Burgers Equation PDF 412 kB Abgerufen am 22 Mai 2011 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Burgersgleichung amp oldid 211494475