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Hopf Cole Transformation Die ist eine mathematische Transformation die es erlaubt die nichtlineare viskose Burgersgleich

Hopf-Cole-Transformation

Die Hopf-Cole-Transformation ist eine mathematische Transformation, die es erlaubt, die nichtlineare (viskose) Burgersgleichung auf die lineare Wärmeleitungsgleichung zurückzuführen und damit zu lösen. Die Transformation wurde 1950 bzw. 1951 von Eberhard Hopf bzw. Julian Cole unabhängig voneinander entdeckt.

Details Bearbeiten

Die eindimensionale viskose Burgersgleichung

wird durch die Transformation

in die Wärmeleitungsgleichung

überführt. Daraus ergibt sich für die Lösung des Cauchy-Problems der ursprünglichen Gleichung folgende Formel:

Verallgemeinerung Bearbeiten

Etwas allgemeiner wird die semilineare parabolische Differentialgleichung

durch die Transformation

in die Wärmeleitungsgleichung

überführt.

Quellen Bearbeiten

  • J. D. Cole: On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics. In: Quart. Appl. Math. 9, 1951, S. 225–236.
  • L. Debnath: Nonlinear partial differential equations for scientists and engineers. Birkhäuser, 1997, ISBN 0-8176-3902-0, S. 289–293.
  • L. C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1999, ISBN 0-8218-0772-2, S. 194–195.
  • E. Hopf: The partial differential equation . In: Commun. Pure Appl. Math. 3, 1950, S. 201–230.
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Die Hopf Cole Transformation ist eine mathematische Transformation die es erlaubt die nichtlineare viskose Burgersgleichung auf die lineare Warmeleitungsgleichung zuruckzufuhren und damit zu losen Die Transformation wurde 1950 bzw 1951 von Eberhard Hopf bzw Julian Cole unabhangig voneinander entdeckt Details BearbeitenDie eindimensionale viskose Burgersgleichung u t u u x n 2 u x 2 displaystyle frac partial u partial t u frac partial u partial x nu frac partial 2 u partial x 2 nbsp wird durch die Transformation u 2 n x ln ϕ displaystyle u 2 nu frac partial partial x ln phi nbsp in die Warmeleitungsgleichung ϕ t n 2 ϕ x 2 displaystyle frac partial phi partial t nu frac partial 2 phi partial x 2 nbsp uberfuhrt Daraus ergibt sich fur die Losung des Cauchy Problems der ursprunglichen Gleichung folgende Formel u x t 2 n x ln 4 p n t 1 2 exp x x 2 4 n t 1 2 n 0 x u x 0 d x d x displaystyle u x t 2 nu frac partial partial x ln left 4 pi nu t 1 2 int infty infty exp Bigl frac x x 2 4 nu t frac 1 2 nu int 0 x u x 0 dx Bigr dx right nbsp Verallgemeinerung BearbeitenEtwas allgemeiner wird die semilineare parabolische Differentialgleichung u t a D u b g r a d u 2 0 displaystyle frac partial u partial t a Delta u b mathrm grad u 2 0 nbsp durch die Transformation u a b ln ϕ displaystyle u frac a b ln phi nbsp in die Warmeleitungsgleichung ϕ t a D ϕ 0 displaystyle frac partial phi partial t a Delta phi 0 nbsp uberfuhrt Quellen BearbeitenJ D Cole On a quasi linear parabolic equation occurring in aerodynamics In Quart Appl Math 9 1951 S 225 236 L Debnath Nonlinear partial differential equations for scientists and engineers Birkhauser 1997 ISBN 0 8176 3902 0 S 289 293 L C Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society 1999 ISBN 0 8218 0772 2 S 194 195 E Hopf The partial differential equation u t u u x m u x x displaystyle u t uu x mu u xx nbsp In Commun Pure Appl Math 3 1950 S 201 230 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hopf Cole Transformation amp oldid 224255275