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Zentralkraft Eine ist eine Kraft die immer auf einen festen Punkt das Kraftzentrum Z displaystyle Z bezogen ist also auf

Zentralkraft

Eine Zentralkraft ist eine Kraft, die immer auf einen festen Punkt (das Kraftzentrum ) bezogen ist, also auf zu bzw. von weg zeigt.

Die Gravitationskraft stellt im Planetensystem eine Zentralkraft dar

Viele Zentralkräfte sind (konservative) Gradientenfelder zu einem kugelsymmetrischen Zentralpotential (auch Zentralfeld, siehe unten). In diesem Artikel werden jedoch auch nichtkonservative Zentralkräfte behandelt, die insbesondere keine Radialsymmetrie aufweisen müssen.

Die Gravitation und die Coulomb-Kraft sind Beispiele für konservative Zentralkräfte. Genau genommen hängt es vom Bezugssystem ab, ob die genannte Definition zutrifft; so ist etwa die Gravitation nur im Schwerpunktsystem (und allen relativ zu ihm ruhenden Systemen) eine Zentralkraft.

Drehimpulserhaltung Bearbeiten

Unter dem Einfluss einer allgemeinen Zentralkraft bleibt der Drehimpuls eines Massenpunktes im Bezugssystem mit dem Ursprung erhalten. Für den Drehimpuls

gilt nämlich

wobei im letzten Schritt verwendet wird, dass die Kraft

parallel zum Ortsvektor liegt.

Das ist gerade der Inhalt des zweiten Keplerschen Gesetzes, das besagt, dass der Ortsvektor pro Zeit die gleiche Fläche überstreicht. Denn für eine kleine Änderung der Zeit gilt:

Beim letzten Ausdruck ist ablesbar, dass die Fläche des überstrichenen Dreiecks pro Zeit konstant ist (der Kreissektor kann durch ein Dreieck angenähert werden, da es sich um eine infinitesimale Änderung in handelt). Die einzige Voraussetzung für das zweite Keplersche Gesetz ist also nur, dass die Kraft in Radialrichtung zeigt.

Aus der Drehimpulserhaltung folgt auch, dass die Bewegung in der Ebene bleibt, in der die Anfangswerte von und liegen. Der Drehimpulsvektor muss nämlich immer senkrecht auf dem Ortsvektor stehen, was daraus folgt, dass das Spatprodukt mit zwei gleichen Vektoren immer null ist: .

Zentralpotential Bearbeiten

Unter einem Zentralpotential versteht man ein Potential, das nur vom Abstand zum Kraftzentrum abhängt. Es gilt also . Von einem Zentralpotential lassen sich nur Zentralkraftfelder ableiten, die keine Winkelabhängigkeit besitzen, die also kugelsymmetrisch sind.

Das wird klar, wenn man sich den Nabla-Operator in Kugelkoordinaten ansieht:

Damit ein Kraftfeld nur in Radialrichtung zeigt, müssen und sein. Wenn aber nicht von den Winkeln abhängt, dann wird es auch nicht.

Winkelabhängige Zentralkraftfelder Bearbeiten

Eine Konsequenz aus dem vorigen Abschnitt ist, dass winkelabhängige Zentralkraftfelder nicht konservativ sind; es gibt kein Zentralpotential, aus dem sie abgeleitet werden können. In ihnen hängt die verrichtete Arbeit vom Weg ab. Es gilt dann zwar der Flächensatz (Drehimpulserhaltung), nicht aber die Energieerhaltung.

Zentralbewegung Bearbeiten

Die Bahn eines Massenpunktes in einem Zentralfeld liegt bei Gültigkeit der klassischen Mechanik in einer Ebene. Wichtige Systeme, die mit einer Zentralbewegung modelliert werden, sind:

Kraftzentrum Bearbeiten

Das (physikalische) Kraftzentrum liegt

  • für Ellipsen-, Parabel- und Hyperbelbahnen in einem der Brennpunkte der Bahn. Die zum Brennpunkt gerichtete Zentralkraft ist aufzuteilen in
  • für Kreisbahnen im Mittelpunkt des Kreises und damit auch des Krümmungskreises; in diesem Fall stimmt die Zentralkraft mit der Zentripetalkraft der Bahn überein.

Abgrenzung von der Zentripetalkraft Bearbeiten

Die Zentripetalkraft wird ermittelt aus der Geschwindigkeit und der Bahnkrümmung der Bewegung eines Körpers an seinem aktuellen Ort und weist zum Mittelpunkt des (lokalen) Krümmungskreises, der nicht mit dem physikalischen Kraftzentrum übereinstimmen muss.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Central Force. In: ScienceWorld. Wolfram Research, abgerufen am 2. April 2013.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Zentralkraft ist eine Kraft die immer auf einen festen Punkt das Kraftzentrum Z displaystyle Z bezogen ist also auf Z displaystyle Z zu bzw von Z displaystyle Z weg zeigt 1 Die Gravitationskraft stellt im Planetensystem eine Zentralkraft darViele Zentralkrafte sind konservative Gradientenfelder zu einem kugelsymmetrischen Zentralpotential auch Zentralfeld siehe unten In diesem Artikel werden jedoch auch nichtkonservative Zentralkrafte behandelt die insbesondere keine Radialsymmetrie aufweisen mussen Die Gravitation und die Coulomb Kraft sind Beispiele fur konservative Zentralkrafte Genau genommen hangt es vom Bezugssystem ab ob die genannte Definition zutrifft so ist etwa die Gravitation nur im Schwerpunktsystem und allen relativ zu ihm ruhenden Systemen eine Zentralkraft Inhaltsverzeichnis 1 Drehimpulserhaltung 2 Zentralpotential 3 Winkelabhangige Zentralkraftfelder 4 Zentralbewegung 5 Kraftzentrum 6 Abgrenzung von der Zentripetalkraft 7 Siehe auch 8 EinzelnachweiseDrehimpulserhaltung BearbeitenUnter dem Einfluss einer allgemeinen Zentralkraft bleibt der Drehimpuls L displaystyle vec L nbsp eines Massenpunktes im Bezugssystem mit dem Ursprung Z displaystyle Z nbsp erhalten Fur den Drehimpuls L r p r m r displaystyle vec L vec r times vec p vec r times m dot vec r nbsp gilt namlich d L d t m r r r r r F 0 displaystyle frac mathrm d vec L mathrm d t m left dot vec r times dot vec r vec r times ddot vec r right vec r times vec F vec 0 nbsp wobei im letzten Schritt verwendet wird dass die Kraft F r F r r r F r e r displaystyle vec F vec r F r frac vec r r F r vec e r nbsp parallel zum Ortsvektor liegt Das ist gerade der Inhalt des zweiten Keplerschen Gesetzes das besagt dass der Ortsvektor pro Zeit die gleiche Flache uberstreicht Denn fur eine kleine Anderung der Zeit d t displaystyle mathrm d t nbsp gilt 1 2 m L 1 2 r d r d t 1 d t 1 2 r d r const displaystyle frac 1 2m vec L frac 1 2 left Vert vec r times frac mathrm d vec r mathrm d t right Vert frac 1 mathrm d t cdot frac 1 2 vec r times mathrm d vec r text const nbsp Beim letzten Ausdruck ist ablesbar dass die Flache des uberstrichenen Dreiecks A 1 2 r d r textstyle A frac 1 2 vec r times mathrm d vec r nbsp pro Zeit konstant ist der Kreissektor kann durch ein Dreieck angenahert werden da es sich um eine infinitesimale Anderung in r displaystyle vec r nbsp handelt Die einzige Voraussetzung fur das zweite Keplersche Gesetz ist also nur dass die Kraft in Radialrichtung zeigt Aus der Drehimpulserhaltung folgt auch dass die Bewegung in der Ebene bleibt in der die Anfangswerte von r displaystyle vec r nbsp und r displaystyle dot vec r nbsp liegen Der Drehimpulsvektor L displaystyle vec L nbsp muss namlich immer senkrecht auf dem Ortsvektor r textstyle vec r nbsp stehen was daraus folgt dass das Spatprodukt mit zwei gleichen Vektoren immer null ist 0 r r r r 1 m L textstyle 0 vec r cdot vec r times dot vec r vec r cdot frac 1 m vec L nbsp Zentralpotential BearbeitenUnter einem Zentralpotential versteht man ein Potential das nur vom Abstand r displaystyle r nbsp zum Kraftzentrum abhangt Es gilt also V r V r V r displaystyle V vec r V vec r V r nbsp Von einem Zentralpotential lassen sich nur Zentralkraftfelder ableiten die keine Winkelabhangigkeit besitzen die also kugelsymmetrisch sind Das wird klar wenn man sich den Nabla Operator displaystyle vec nabla nbsp in Kugelkoordinaten ansieht e r r e 8 1 r 8 e f 1 r sin 8 f displaystyle vec nabla vec e r frac partial partial r vec e theta frac 1 r frac partial partial theta vec e varphi frac 1 r sin theta frac partial partial varphi nbsp Damit ein Kraftfeld F q F displaystyle vec F q vec nabla Phi nbsp nur in Radialrichtung zeigt mussen 8 F 0 displaystyle tfrac partial partial theta Phi 0 nbsp und f F 0 displaystyle tfrac partial partial varphi Phi 0 nbsp sein Wenn F displaystyle Phi nbsp aber nicht von den Winkeln abhangt dann wird es auch F displaystyle vec F nbsp nicht Winkelabhangige Zentralkraftfelder BearbeitenEine Konsequenz aus dem vorigen Abschnitt ist dass winkelabhangige Zentralkraftfelder nicht konservativ sind es gibt kein Zentralpotential aus dem sie abgeleitet werden konnen In ihnen hangt die verrichtete Arbeit vom Weg ab Es gilt dann zwar der Flachensatz Drehimpulserhaltung nicht aber die Energieerhaltung Zentralbewegung BearbeitenDie Bahn eines Massenpunktes in einem Zentralfeld liegt bei Gultigkeit der klassischen Mechanik in einer Ebene Wichtige Systeme die mit einer Zentralbewegung modelliert werden sind das Atom mit seinen Elektronen Das Verhalten der Elektronen wird durch die Losung eines quantenmechanischen Zentralproblems Wasserstoffproblem erklart Doppelsterne Ein Doppelsternsystem ist ein Beispiel fur ein Zweikorperproblem Dieses wird als die Bewegung zweier Korper um ihren gemeinsamen Schwerpunkt aufgefasst Je nach erforderlicher Genauigkeit kommt z B die klassische Mechanik oder die allgemeine Relativitatstheorie zum Einsatz naherungsweise das Sonnensystem Naherungsweise kann die Bewegung der Planeten im Sonnensystem als Bewegung im Gravitationsfeld der Sonne betrachtet werden Die Korper im Sonnensystem haben jedoch selbst Gravitationsfelder und storen damit die Bewegung der anderen Korper so dass eine Planetenbahn nicht genau durch die Bewegung im Schwerefeld der Sonne erklart werden kann Kraftzentrum BearbeitenDas physikalische Kraftzentrum liegt fur Ellipsen Parabel und Hyperbelbahnen in einem der Brennpunkte der Bahn Die zum Brennpunkt gerichtete Zentralkraft ist aufzuteilen in eine Normalkomponente zum Zentrum des lokalen Krummungskreises und damit in die gleiche Richtung wie die Zentripetalkraft s u eine Tangentialkomponente in Bahnrichtung Sie sorgt z B dafur dass ein Planet sich auf dem Weg vom Perihel zum Aphel verlangsamt fur Kreisbahnen im Mittelpunkt des Kreises und damit auch des Krummungskreises in diesem Fall stimmt die Zentralkraft mit der Zentripetalkraft der Bahn uberein Abgrenzung von der Zentripetalkraft BearbeitenDie Zentripetalkraft wird ermittelt aus der Geschwindigkeit und der Bahnkrummung der Bewegung eines Korpers an seinem aktuellen Ort und weist zum Mittelpunkt des lokalen Krummungskreises der nicht mit dem physikalischen Kraftzentrum ubereinstimmen muss Siehe auch BearbeitenEffektives PotentialEinzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Central Force In ScienceWorld Wolfram Research abgerufen am 2 April 2013 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentralkraft amp oldid 230274993