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Effektives Potential Das effektive Potential V eff displaystyle V text eff ist ein Begriff aus der Mechanik der bei der

Effektives Potential

Das effektive Potential ist ein Begriff aus der Mechanik, der bei der Behandlung von Zentralkräften, wie der Gravitationskraft bei der Planetenbewegung, nützlich ist. Im effektiven Potential sind die potenzielle Energie und die azimutale Bewegungsenergie des umlaufenden Objekts vereinigt. Das effektive Potential ist, trotz seines Namens, genau genommen kein Potential, sondern es hat die Dimension einer Energie.

Effektives Potential im Gravitations­feld (ohne Berücksichti­gung der allgemei­nen Relativitäts­theorie) für einen gegebenen Drehimpuls.
Energien für verschiedene Bahnen: A1: Hyperbel, A2: Parabel; A3: Ellipse; A4: Kreis

Qualitative Beschreibung Bearbeiten

Im Schwerefeld eines Zentralkörpers, beispielsweise der Sonne im Sonnensystem, nimmt die potenzielle Energie mit der Annäherung immer stärker ab. Ein Körper (z. B. ein Komet) stürzt aber nur dann ins Zentrum, wenn er sich genau in Richtung der Sonne bewegt. Anderenfalls hat der Komet einen Drehimpuls, der nach den Gesetzen der Mechanik bei der Annäherung an die Sonne erhalten bleiben muss, was einer immer höheren kinetischen Energie entspricht. Ab einer gewissen Entfernung steigt die hierfür erforderliche kinetischen Energie stärker an, als die potenzielle Energie abnimmt: das effektive Potential hat ein Minimum. Die nebenstehende Abbildung zeigt mögliche Fälle. Wie üblich wird dem Potenzial in unendlicher Entfernung der Wert Null zugeordnet.

  • Bei geringer Energie (E < 0) kann sich der Körper nur zwischen einem Minimalabstand (A3) und einem Maximalabstand (A3′) aufhalten; der Komet oder Planet beschreibt eine Ellipsenbahn;
  • im Fall der geringstmöglichen Energie (Emin) ist der Abstand konstant (A4), der Körper beschreibt eine Kreisbahn;
  • bei hoher Energie (E ≥ 0) beschreibt der Körper eine Parabel- (E = 0) bzw. eine Hyperbelbahn (E > 0).

Nichtrelativistische Mechanik Bearbeiten

Ein Körper der Masse , der sich in einem Zentralkraftfeld im Abstand vom Kraftzentrum bewegt, hat eine mechanische Energie, die sich aus der potentiellen Energie und der kinetischen Energie zusammensetzt. In Polarkoordinaten ergibt sich:

Den azimutalen Anteil der kinetischen Energie kann man durch den Betrag des Drehimpulses , der bei einer Zentralkraft eine Erhaltungsgröße ist, ausdrücken und mit der potentiellen Energie zum effektiven Potential zusammenfassen:

wodurch das effektive Potential definiert ist als:

Den zweiten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung bezeichnet man auch als Zentrifugalpotential oder Drehimpulsbarriere.

Man hat es in Gleichung nun nur noch mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung in der radialen Koordinate zu tun. Die Lösung einer solchen geschieht durch Anwendung der Methode der Trennung der Veränderlichen (dt und dr) mit den Bewegungskonstanten und als Parametern. Ihre Lösung ist durch das elliptische Integral

gegeben. Für eine andere, anschaulichere Lösung, bei der der Radius in Abhängigkeit vom Winkel dargestellt wird, siehe unter Zweikörperproblem.

Anschaulich aus der Kurve des effektiven Potentials ergibt sich ohne weitere mathematische Überlegungen für zunächst zwei Schnittpunkte und mit der effektiven Potentialkurve, zwischen denen sich der Körper auf seiner Bahn bewegt. Für das Minimum des effektiven Potentials fallen beide Distanzen zusammen und man erhält eine Kreisbahn. Für beschreibt der Körper eine ungebundene Bewegung mit nur einem minimalen Abstand.

Allgemeine Relativitätstheorie Bearbeiten

In der allgemeinen Relativitätstheorie erhält das effektive Potential Korrekturterme höherer Ordnung. Die Konstanten der Bewegung in der Schwarzschild-Metrik sind nicht mehr und , sondern und , mit

Ausgehend vom Linienelement fällt der letzte Term in der Rotationsebene wegen weg:

bzw. nach der Eigenzeit umgeformt:

und mit multipliziert:

können der Term auf der linken Seite der potentiellen Energie und die Terme auf der rechten Seite der Reihe nach der Gesamtenergie, der radialen kinetischen Energie und der Rotationsenergie zugeordnet werden, wenn die Gleichung mit multipliziert würde. Die Terme für die potentielle und die Rotationsenergie in der Form des effektiven Potentials zusammengefasst ergeben mit :

sodass das effektive Potential in der allgemeinen Relativitätstheorie als

dargestellt werden kann. Dieses Potential enthält den konstanten Term der Ruheenergie, gegen den das Potential für auch strebt, und ist für imaginär. Objekte mit einem Radius kleiner ihrem Schwarzschild-Radius nennt man Schwarze Löcher.

Während in der klassischen Physik beliebig enge Bahnen um den Zentralkörper möglich sind, da für jedes ein Minimum existiert, ist dies in der Schwarzschild-Lösung nicht der Fall. Das effektive Potential besitzt für ein Maximum (Apoapsis) und ein Minimum (Periapsis) an den Orten

unterhalb dieses Wertes für den Drehimpuls ist es monoton steigend. Eine marginal stabile Umlaufbahn (innermost stable circular orbit, ISCO) ergibt sich somit als Kreisbahn bei

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Goldstein: Classical Mechanics. Addison-Wesley, 1980, ISBN 0-201-02918-9, S. 76 f. (englisch).

Weblinks Bearbeiten

  • Volker Meden (RWTH Aachen): Skript zur Vorlesung Theoretische Physik I (Mechanik). 2014, S. 11 (rwth-aachen.de [PDF; abgerufen am 18. Mai 2021]).
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Das effektive Potential V eff displaystyle V text eff ist ein Begriff aus der Mechanik der bei der Behandlung von Zentralkraften wie der Gravitationskraft bei der Planetenbewegung nutzlich ist Im effektiven Potential sind die potenzielle Energie und die azimutale Bewegungsenergie des umlaufenden Objekts vereinigt Das effektive Potential ist trotz seines Namens genau genommen kein Potential sondern es hat die Dimension einer Energie Effektives Potential im Gravitations feld ohne Berucksichti gung der allgemei nen Relativitats theorie fur einen gegebenen Drehimpuls Energien fur verschiedene Bahnen A1 Hyperbel A2 Parabel A3 Ellipse A4 Kreis Inhaltsverzeichnis 1 Qualitative Beschreibung 2 Nichtrelativistische Mechanik 3 Allgemeine Relativitatstheorie 4 Literatur 5 WeblinksQualitative Beschreibung BearbeitenIm Schwerefeld eines Zentralkorpers beispielsweise der Sonne im Sonnensystem nimmt die potenzielle Energie mit der Annaherung immer starker ab Ein Korper z B ein Komet sturzt aber nur dann ins Zentrum wenn er sich genau in Richtung der Sonne bewegt Anderenfalls hat der Komet einen Drehimpuls der nach den Gesetzen der Mechanik bei der Annaherung an die Sonne erhalten bleiben muss was einer immer hoheren kinetischen Energie entspricht Ab einer gewissen Entfernung steigt die hierfur erforderliche kinetischen Energie starker an als die potenzielle Energie abnimmt das effektive Potential hat ein Minimum Die nebenstehende Abbildung zeigt mogliche Falle Wie ublich wird dem Potenzial in unendlicher Entfernung der Wert Null zugeordnet Bei geringer Energie E lt 0 kann sich der Korper nur zwischen einem Minimalabstand A3 und einem Maximalabstand A3 aufhalten der Komet oder Planet beschreibt eine Ellipsenbahn im Fall der geringstmoglichen Energie Emin ist der Abstand konstant A4 der Korper beschreibt eine Kreisbahn bei hoher Energie E 0 beschreibt der Korper eine Parabel E 0 bzw eine Hyperbelbahn E gt 0 Nichtrelativistische Mechanik BearbeitenEin Korper der Masse m displaystyle m nbsp der sich in einem Zentralkraftfeld im Abstand r displaystyle r nbsp vom Kraftzentrum bewegt hat eine mechanische Energie die sich aus der potentiellen Energie V displaystyle V nbsp und der kinetischen Energie E k i n displaystyle E mathrm kin nbsp zusammensetzt In Polarkoordinaten r f displaystyle r varphi nbsp ergibt sich E V r E k i n V r 1 2 m r 2 V r 1 2 m r f 2 1 2 m r 2 displaystyle begin aligned E amp V r E mathrm kin amp V r frac 1 2 m cdot dot vec r 2 amp V r frac 1 2 m r dot varphi 2 frac 1 2 m cdot dot r 2 end aligned nbsp Den azimutalen Anteil 1 2 m r f 2 displaystyle frac 1 2 m r dot varphi 2 nbsp der kinetischen Energie kann man durch den Betrag des Drehimpulses L m r 2 f displaystyle L m cdot r 2 cdot dot varphi nbsp der bei einer Zentralkraft eine Erhaltungsgrosse ist ausdrucken und mit der potentiellen Energie zum effektiven Potential V eff displaystyle V text eff nbsp zusammenfassen E V r 1 2 L 2 m r 2 1 2 m r 2 V eff r 1 2 m r 2 displaystyle begin alignedat 2 Rightarrow E amp V r frac 1 2 frac L 2 m cdot r 2 amp amp frac 1 2 m cdot dot r 2 amp V text eff r amp amp frac 1 2 m cdot dot r 2 end alignedat nbsp wodurch das effektive Potential definiert ist als V eff r V r 1 2 L 2 m r 2 displaystyle V text eff r V r frac 1 2 frac L 2 m cdot r 2 nbsp Den zweiten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung bezeichnet man auch als Zentrifugalpotential oder Drehimpulsbarriere Man hat es in Gleichung displaystyle nbsp nun nur noch mit einer gewohnlichen Differentialgleichung in der radialen Koordinate r displaystyle r nbsp zu tun Die Losung einer solchen geschieht durch Anwendung der Methode der Trennung der Veranderlichen dt und dr mit den Bewegungskonstanten E displaystyle E nbsp und L displaystyle L nbsp als Parametern Ihre Losung ist durch das elliptische Integral t t 0 r 0 r d r 1 2 m E V eff r displaystyle t t 0 int r 0 r mathrm d r frac 1 sqrt frac 2 m left E V text eff r right nbsp gegeben Fur eine andere anschaulichere Losung bei der der Radius in Abhangigkeit vom Winkel dargestellt wird siehe unter Zweikorperproblem Anschaulich aus der Kurve des effektiven Potentials ergibt sich ohne weitere mathematische Uberlegungen fur E lt 0 displaystyle E lt 0 nbsp zunachst zwei Schnittpunkte r m i n displaystyle r mathrm min nbsp und r m a x displaystyle r mathrm max nbsp mit der effektiven Potentialkurve zwischen denen sich der Korper auf seiner Bahn bewegt Fur das Minimum des effektiven Potentials fallen beide Distanzen zusammen und man erhalt eine Kreisbahn Fur E 0 displaystyle E geq 0 nbsp beschreibt der Korper eine ungebundene Bewegung mit nur einem minimalen Abstand Allgemeine Relativitatstheorie BearbeitenIn der allgemeinen Relativitatstheorie erhalt das effektive Potential Korrekturterme hoherer Ordnung Die Konstanten der Bewegung in der Schwarzschild Metrik sind nicht mehr E V E kin displaystyle E V E text kin nbsp und L v m r displaystyle L vmr nbsp sondern E u m c displaystyle E um c nbsp und L ϕ m r 2 displaystyle L dot phi m r 2 nbsp mit u d x d t v g v 1 v 2 c 2 displaystyle u text d x text d tau v gamma v sqrt 1 tfrac v 2 c 2 nbsp Eigengeschwindigkeit ϕ d ϕ d t w g w 1 v 2 c 2 displaystyle dot phi text d phi text d tau omega gamma omega sqrt 1 tfrac v 2 c 2 nbsp Eigenwinkelgeschwindigkeit m m V c 2 m s m 1 r s r displaystyle m m V c 2 m sigma m sqrt 1 tfrac r text s r nbsp gebundene Masse g 1 1 v 2 c 2 displaystyle gamma 1 sqrt 1 tfrac v 2 c 2 nbsp Lorentzfaktor s 1 r s r displaystyle sigma sqrt 1 tfrac r text s r nbsp Shapirofaktor und r s 2 G M c 2 displaystyle r text s tfrac 2GM c 2 nbsp Schwarzschild Radius Ausgehend vom Linienelement fallt der letzte Term in der Rotationsebene wegen d 8 0 displaystyle d theta 0 nbsp weg d s 2 s 2 c 2 d t 2 d r 2 s 2 r 2 d ϕ 2 displaystyle text d s 2 sigma 2 c 2 text d t 2 text d r 2 sigma 2 r 2 text d phi 2 nbsp bzw nach der Eigenzeit t displaystyle tau nbsp umgeformt c 2 d t 2 s 2 c 2 d t 2 d r 2 s 2 r 2 d ϕ 2 displaystyle c 2 text d tau 2 sigma 2 c 2 text d t 2 text d r 2 sigma 2 r 2 text d phi 2 nbsp und mit s 2 d t 2 displaystyle sigma 2 d tau 2 nbsp multipliziert c 2 s 2 s 4 c 2 d t d t 2 d r d t 2 s 2 r 2 d ϕ d t 2 displaystyle c 2 sigma 2 sigma 4 c 2 text d t text d tau 2 text d r text d tau 2 sigma 2 r 2 text d phi text d tau 2 nbsp konnen der Term auf der linken Seite der potentiellen Energie und die Terme auf der rechten Seite der Reihe nach der Gesamtenergie der radialen kinetischen Energie und der Rotationsenergie zugeordnet werden wenn die Gleichung mit m c 2 displaystyle mc 2 nbsp multipliziert wurde Die Terme fur die potentielle und die Rotationsenergie in der Form des effektiven Potentials zusammengefasst ergeben mit l r 2 d ϕ d t displaystyle l r 2 d phi d tau nbsp s 4 c 2 d t d t 2 d r d t 2 c 2 s 2 s 2 l 2 r 2 displaystyle sigma 4 c 2 text d t text d tau 2 text d r text d tau 2 c 2 sigma 2 sigma 2 l 2 r 2 nbsp sodass das effektive Potential in der allgemeinen Relativitatstheorie als V eff r m c 2 1 r s r 1 L 2 m 2 r 2 c 2 m c 2 1 r s r L 2 m 2 r 2 c 2 L 2 r s m 2 r 3 c 2 displaystyle V text eff r mc 2 sqrt left 1 frac r text s r right left 1 frac L 2 m 2 r 2 c 2 right mc 2 sqrt 1 frac r text s r frac L 2 m 2 r 2 c 2 frac L 2 r text s m 2 r 3 c 2 nbsp dargestellt werden kann Dieses Potential enthalt den konstanten Term der Ruheenergie gegen den das Potential fur r displaystyle r to infty nbsp auch strebt und ist fur r lt r s textstyle r lt r text s nbsp imaginar Objekte mit einem Radius kleiner ihrem Schwarzschild Radius nennt man Schwarze Locher Wahrend in der klassischen Physik beliebig enge Bahnen um den Zentralkorper moglich sind da fur jedes L 2 gt 0 displaystyle L 2 gt 0 nbsp ein Minimum existiert ist dies in der Schwarzschild Losung nicht der Fall Das effektive Potential besitzt fur L 2 gt 3 m 2 c 2 r s 2 displaystyle L 2 gt 3m 2 c 2 r text s 2 nbsp ein Maximum Apoapsis und ein Minimum Periapsis an den Orten r A P L 2 m 2 c 2 r s L 4 m 4 c 4 r s 2 3 L 2 m 2 c 2 displaystyle r text A P frac 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