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Potts Modell Das ist ein mathematisches Modell welches das in der statistischen Physik häufig verwendete Ising Modell ve

Potts-Modell

Das Potts-Modell ist ein mathematisches Modell, welches das in der statistischen Physik häufig verwendete Ising-Modell verallgemeinert. Auf einem Gitter befinden sich statt Spins mit nur zwei Zuständen, wie im Ising-Modell, Variablen mit verschiedenen Zuständen. Im einfachsten Fall beschränkt sich die Wechselwirkung auf benachbarte Gitterplätze.

Angewendet wird dieses Modell unter anderem, außer in der statistischen Physik (insbesondere beim Studium von Phasenübergängen), auch in der Informatik (Signalverarbeitung) und der Biologie (neuronale Netze). Das Modell wurde nach Renfrey Potts benannt, welcher das Modell 1951 in seiner Dissertation definierte. Einen Spezialfall behandelten schon 1943 Julius Ashkin und Edward Teller. Einen Überblick zu Geschichte und Analyse des Modells gibt ein Übersichtsartikel von Fa-Yueh Wu aus dem Jahr 1982.

Definition Bearbeiten

Die Unterscheidung von planarem und Standard-Potts-Modell stammt von Cyril Domb (1974).

Planares Potts-Modell Bearbeiten

Das Potts-Modell besteht aus einem -dimensionalen Gittergraphen , z. B. einem zweidimensionalen Rechteckgitter, einer Menge von Knotenbelegungen (Knotenkonfigurationen) und einem Hamiltonoperator auf dieser Menge. Jeder Knoten wird belegt mit einem Element aus der Menge

Diese können als Punkte auf dem 2-dimensionalen Einheitskreis interpretiert werden und sind die Richtungen, die die „Spins“ auf den jeweiligen Gitterpunkten annehmen können.

Der Hamiltonoperator ist im planaren Potts-Modell (auch Vektor-Potts-Modell oder Uhren-Modell, clock model) gegeben durch

Summiert wird über alle benachbarten Knoten für . Die Kopplungskonstante beschreibt die Wechselwirkung zwischen Spins auf den benachbarten Knoten.

Standard-Potts-Modell Bearbeiten

Alternativ zum gerade beschriebenen planaren Potts-Modell gibt es das Standard-Potts-Modell (oder einfach: Potts-Modell). Dabei werden die Knoten belegt mit Elementen aus der Menge

Der Hamiltonoperator ist hier gegeben durch

wobei das Kronecker-Delta ist.

Das heißt, falls zwei benachbarte Knoten verschiedene Werte der Spins besitzen, verschwindet der entsprechende Summand. Das negative Vorzeichen von ist eine Konvention, motiviert vom Ising-Modell. Das Standard-Potts-Modell ist ferromagnetisch für und antiferromagnetisch für .

Verhältnis zu anderen statistischen Modellen Bearbeiten

Allgemeine Version Bearbeiten

Auf dem Gittergraphen mit der Menge der Knotenbelegungen kann eine allgemeinere Version des Potts-Modells definiert werden:

Im Unterschied zum ursprünglichen Modell variiert die Wechselwirkung zwischen den benachbarten Knoten. Außerdem kann ein äußeres Feld ergänzt werden:

Hierbei ist wie üblich mit der Boltzmann-Konstanten und der Temperatur .

Die Wechselwirkungen müssen nicht auf nächstbenachbarte Gitterplätze beschränkt werden. In verdünnten Potts-Modellen gibt es freie Gitterplätze (Gitter-Gas) oder auch Wechselwirkungen verschiedener Stärke. Durch geeignete Randbedingungen können interessante Effekte, wie z. B. Benetzung oder Grenzflächenadsorption, induziert werden.

Das Ising-Modell als Spezialfall Bearbeiten

Setzt man , so folgt aus dem Potts-Modell das Ising-Modell.

Das XY-Modell als Spezialfall Bearbeiten

Für erhält man das XY-Modell, welches wiederum als Spezialfall des N-Vektor-Modells mit verstanden werden kann. Betrachtet man das planare Potts-Modell, so ist der Zustandsraum der Spins keine endliche Teilmenge des Einheitskreises, sondern der ganze 2-dimensionale Einheitskreis.

Ashkin-Teller-Modell Bearbeiten

Das Ashkin-Teller-Modell ist das planare Potts-Modell mit Zuständen.

Sonstige Bearbeiten

Es gibt auch Verbindungen zum Heisenberg-Modell, N-Vektor-Modell, (ice-rule-)Vertex-Modellen und zur Perkolationstheorie (zuerst von P.W. Kasteleyn und C.M. Fortuin 1969 für Bond-Perkolation, später auch für Site-Perkolation).

Das Kirchhoffsche Gesetz für Netzwerke aus linearen Widerständen ergibt sich als Grenzwert des Potts-Modells (Kasteleyn, Fortuin 1972).

Diskussion Bearbeiten

Potts betrachtete das planare Modell und konnte ähnlich wie beim Ising-Modell mit Kramers-Wannier-Dualität den kritischen Punkt bestimmen für das Rechteckgitter und . Am Ende seiner Arbeit gab er den kritischen Punkt des Standard-Potts-Modells für alle .

Das planare und das Standard-Modell sind identisch für (Ising-Modell) mit und für mit . Außerdem ist das planare Modell mit für beliebige Gitter auf das Modell mit reduzierbar. Für gibt es dagegen keine offensichtlichen Bezüge zwischen dem planaren und dem Standard-Modell.

Auf einem zweidimensionalen Gitter hat das Potts-Modell mit einen Phasenübergang erster Ordnung für und ansonsten einen kontinuierlicher Phasenübergang (2. Ordnung) wie beim Isingmodell () (Rodney Baxter 1973, 1978). Baxter benutzte dabei die Identifizierung des zweidimensionalen Potts-Modells mit dem Ice-rule-Vertexmodell durch Temperley und Elliott Lieb (1971 für ein Gitter aus Quadraten).

Das eindimensionale Potts-Modell ist exakt lösbar (mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode) und ebenso das zweidimensionale Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Gitterplätzen. Im Allgemeinen liefern insbesondere Monte-Carlo-Simulationen und die Renormierungsgruppentheorie verlässliche Ergebnisse.

Potts-Maß Bearbeiten

Mit der Hamilton-Funktion wie oben

und der üblichen Definition der Zustandssumme

kann man das Potts-Maß definieren, das als Wahrscheinlichkeitsmaß zu den Boltzmannverteilungen gehört:

Die freie Energie ist wie üblich:

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. C.Domb, J. Phys. A, Band 7, 1974, S. 1335
  2. S.Dietrich, in Phase transitions and critical phenomena (Hrsg. C. Domb und J.L. Lebowitz), Band 12, 1988
  3. W.Selke, W.Pesch, Z. Phys. B, Band 47, 1982, S. 335
  4. P. W. Kasteleyn, C.M. Fortuin, J. Phys. Soc. Japan, Band 26 (Suppl.),1969, S. 11
  5. D.P.Landau, K.Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, 2014
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Veröffentlichungsdatum:
Das Potts Modell ist ein mathematisches Modell welches das in der statistischen Physik haufig verwendete Ising Modell verallgemeinert Auf einem Gitter befinden sich statt Spins mit nur zwei Zustanden wie im Ising Modell Variablen mit q displaystyle q verschiedenen Zustanden Im einfachsten Fall beschrankt sich die Wechselwirkung auf benachbarte Gitterplatze Angewendet wird dieses Modell unter anderem ausser in der statistischen Physik insbesondere beim Studium von Phasenubergangen auch in der Informatik Signalverarbeitung und der Biologie neuronale Netze Das Modell wurde nach Renfrey Potts benannt welcher das Modell 1951 in seiner Dissertation definierte Einen Spezialfall behandelten schon 1943 Julius Ashkin und Edward Teller Einen Uberblick zu Geschichte und Analyse des Modells gibt ein Ubersichtsartikel von Fa Yueh Wu aus dem Jahr 1982 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Planares Potts Modell 1 2 Standard Potts Modell 2 Verhaltnis zu anderen statistischen Modellen 2 1 Allgemeine Version 2 2 Das Ising Modell als Spezialfall 2 3 Das XY Modell als Spezialfall 2 4 Ashkin Teller Modell 2 5 Sonstige 3 Diskussion 4 Potts Mass 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Unterscheidung von planarem und Standard Potts Modell stammt von Cyril Domb 1974 1 Planares Potts Modell Bearbeiten Das Potts Modell besteht aus einem d displaystyle d nbsp dimensionalen Gittergraphen L V E displaystyle L V E nbsp z B einem zweidimensionalen Rechteckgitter einer Menge von Knotenbelegungen S V displaystyle S V nbsp Knotenkonfigurationen und einem Hamiltonoperator H displaystyle H nbsp auf dieser Menge Jeder Knoten wird belegt mit einem Element aus der Menge S 8 s 2 p s q 0 s q q 2 3 displaystyle S theta s frac 2 pi s q 0 leq s leq q quad q in 2 3 ldots nbsp dd Diese konnen als Punkte auf dem 2 dimensionalen Einheitskreis interpretiert werden und sind die Richtungen die die Spins auf den jeweiligen Gitterpunkten annehmen konnen Der Hamiltonoperator ist im planaren Potts Modell auch Vektor Potts Modell oder Uhren Modell clock model gegeben durch H s J 1 i j E cos 8 s i 8 s j s 8 s 1 8 s 2 S V displaystyle H sigma J 1 sum langle i j rangle in E cos theta s i theta s j quad sigma theta s 1 theta s 2 dots in S V nbsp Summiert wird uber alle benachbarten Knoten i j displaystyle langle i j rangle nbsp fur i j V displaystyle i j in V nbsp Die Kopplungskonstante J 1 displaystyle J 1 nbsp beschreibt die Wechselwirkung zwischen Spins auf den benachbarten Knoten Standard Potts Modell Bearbeiten Alternativ zum gerade beschriebenen planaren Potts Modell gibt es das Standard Potts Modell oder einfach Potts Modell Dabei werden die Knoten belegt mit Elementen aus der Menge S 0 1 q displaystyle S 0 1 dots q nbsp dd Der Hamiltonoperator ist hier gegeben durch H s J i j E d s i s j s s 1 s 2 S V displaystyle H sigma J sum langle i j rangle in E delta s i s j quad sigma s 1 s 2 dots in S V nbsp wobei d displaystyle delta nbsp das Kronecker Delta ist Das heisst falls zwei benachbarte Knoten verschiedene Werte der Spins besitzen verschwindet der entsprechende Summand Das negative Vorzeichen von J displaystyle J nbsp ist eine Konvention motiviert vom Ising Modell Das Standard Potts Modell ist ferromagnetisch fur J gt 0 displaystyle J gt 0 nbsp und antiferromagnetisch fur J lt 0 displaystyle J lt 0 nbsp Verhaltnis zu anderen statistischen Modellen BearbeitenAllgemeine Version Bearbeiten Auf dem Gittergraphen L V E displaystyle L V E nbsp mit der Menge der Knotenbelegungen 1 2 q 1 V displaystyle 1 2 dots q 1 V nbsp kann eine allgemeinere Version des Potts Modells definiert werden H s i j E J i j d s i s j b 1 i 1 2 V h i s i s s 1 s 2 S V displaystyle H sigma sum langle i j rangle in E J ij delta s i s j beta 1 sum i in 1 2 dots V h i s i quad sigma s 1 s 2 dots in S V nbsp Im Unterschied zum ursprunglichen Modell variiert die Wechselwirkung zwischen den benachbarten Knoten Ausserdem kann ein ausseres Feld erganzt werden b 1 i 1 2 V h i s i displaystyle beta 1 sum i in 1 2 dots V h i s i nbsp Hierbei ist wie ublich b 1 k B T displaystyle beta tfrac 1 k mathrm B T nbsp mit der Boltzmann Konstanten k B displaystyle k mathrm B nbsp und der Temperatur T displaystyle T nbsp Die Wechselwirkungen J i j displaystyle J ij nbsp mussen nicht auf nachstbenachbarte Gitterplatze beschrankt werden In verdunnten Potts Modellen gibt es freie Gitterplatze Gitter Gas oder auch Wechselwirkungen verschiedener Starke Durch geeignete Randbedingungen konnen interessante Effekte wie z B Benetzung 2 oder Grenzflachenadsorption 3 induziert werden Das Ising Modell als Spezialfall Bearbeiten Setzt man q 2 displaystyle q 2 nbsp so folgt aus dem Potts Modell das Ising Modell Das XY Modell als Spezialfall Bearbeiten Fur q displaystyle q to infty nbsp erhalt man das XY Modell welches wiederum als Spezialfall des N Vektor Modells mit N 2 displaystyle N 2 nbsp verstanden werden kann Betrachtet man das planare Potts Modell so ist der Zustandsraum der Spins keine endliche Teilmenge des Einheitskreises sondern der ganze 2 dimensionale Einheitskreis Ashkin Teller Modell Bearbeiten Das Ashkin Teller Modell ist das planare Potts Modell mit q 4 displaystyle q 4 nbsp Zustanden Sonstige Bearbeiten Es gibt auch Verbindungen zum Heisenberg Modell N Vektor Modell ice rule Vertex Modellen und zur Perkolationstheorie zuerst von P W Kasteleyn und C M Fortuin 1969 4 fur Bond Perkolation spater auch fur Site Perkolation Das Kirchhoffsche Gesetz fur Netzwerke aus linearen Widerstanden ergibt sich als q 0 displaystyle q 0 nbsp Grenzwert des Potts Modells Kasteleyn Fortuin 1972 Diskussion BearbeitenPotts betrachtete das planare Modell und konnte ahnlich wie beim Ising Modell mit Kramers Wannier Dualitat den kritischen Punkt bestimmen fur das Rechteckgitter und q 2 3 4 displaystyle q 2 3 4 nbsp Am Ende seiner Arbeit gab er den kritischen Punkt des Standard Potts Modells fur alle q displaystyle q nbsp Das planare und das Standard Modell sind identisch fur q 2 displaystyle q 2 nbsp Ising Modell mit J 2 J 1 displaystyle J 2J 1 nbsp und fur q 3 displaystyle q 3 nbsp mit J 3 2 J 1 displaystyle J tfrac 3 2 J 1 nbsp Ausserdem ist das planare Modell mit q 4 displaystyle q 4 nbsp fur beliebige Gitter auf das Modell mit q 2 displaystyle q 2 nbsp reduzierbar Fur q gt 4 displaystyle q gt 4 nbsp gibt es dagegen keine offensichtlichen Bezuge zwischen dem planaren und dem Standard Modell Auf einem zweidimensionalen Gitter hat das Potts Modell mit J gt 0 displaystyle J gt 0 nbsp einen Phasenubergang erster Ordnung fur q gt 4 displaystyle q gt 4 nbsp und ansonsten einen kontinuierlicher Phasenubergang 2 Ordnung wie beim Isingmodell q 2 displaystyle q 2 nbsp Rodney Baxter 1973 1978 Baxter benutzte dabei die Identifizierung des zweidimensionalen Potts Modells mit dem Ice rule Vertexmodell durch Temperley und Elliott Lieb 1971 fur ein Gitter aus Quadraten Das eindimensionale Potts Modell ist exakt losbar mit Hilfe der Transfer Matrix Methode und ebenso das zweidimensionale Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Gitterplatzen Im Allgemeinen liefern insbesondere Monte Carlo Simulationen 5 und die Renormierungsgruppentheorie verlassliche Ergebnisse Potts Mass BearbeitenMit der Hamilton Funktion wie oben H s J i j E d s i s j s s 1 s 2 S V displaystyle H sigma J sum langle i j rangle in E delta s i s j quad sigma s 1 s 2 dots in S V nbsp und der ublichen Definition der Zustandssumme Z displaystyle Z nbsp Z b s S V e b H s b 0 displaystyle Z beta sum sigma in S V e beta H sigma quad beta in 0 infty nbsp kann man das Potts Mass p displaystyle pi nbsp definieren das als Wahrscheinlichkeitsmass zu den Boltzmannverteilungen gehort p s Z b 1 e b H s s S V displaystyle pi sigma Z beta 1 e beta H sigma quad sigma in S V nbsp Die freie Energie ist wie ublich F b b 1 ln Z b b 0 displaystyle F beta beta 1 ln Z beta quad beta in 0 infty nbsp Literatur BearbeitenJulius Ashkin Edward Teller Statistics of Two Dimensional Lattices With Four Components In Phys Rev 64 Jahrgang Nr 5 6 1943 S 178 184 doi 10 1103 PhysRev 64 178 bibcode 1943PhRv 64 178A Renfrey B Potts Some Generalized Order Disorder Transformations In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 48 Jahrgang Nr 1 1952 S 106 109 doi 10 1017 S0305004100027419 bibcode 1952PCPS 48 106P Fa Yueh Wu The Potts model In Reviews of Modern Physics 54 Jahrgang Nr 1 1982 S 235 268 doi 10 1103 RevModPhys 54 235 bibcode 1982RvMP 54 235W Einzelnachweise Bearbeiten C Domb J Phys A Band 7 1974 S 1335 S Dietrich in Phase transitions and critical phenomena Hrsg C Domb und J L Lebowitz Band 12 1988 W Selke W Pesch Z Phys B Band 47 1982 S 335 P W Kasteleyn C M Fortuin J Phys Soc Japan Band 26 Suppl 1969 S 11 D P Landau K Binder A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics 2014 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Potts Modell amp oldid 208613170