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Kirchhoffsche Regeln

Die kirchhoffschen Regeln werden im Rahmen der elektrischen Schaltungstechnik bei der Netzwerkanalyse verwendet. Sie unterteilen sich in zwei grundlegende und zusammenhängende Sätze, den Knotenpunktsatz und den Maschensatz, und beschreiben jeweils den Zusammenhang zwischen mehreren elektrischen Strömen und zwischen mehreren elektrischen Spannungen in elektrischen Netzwerken. Sie wurden 1845 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert, nachdem sie bereits 1833 von Carl Friedrich Gauß entdeckt worden waren.

Der Knotenpunktsatz (Knotenregel) – 1. Kirchhoffsches Gesetz Bearbeiten

In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Bepfeilt man alle anliegenden Zweigströme so, dass alle zugehörigen Zählpfeile zum Knoten hin oder alle zugehörigen Pfeile vom Knoten weg zeigen, so kann man den Knotenpunktsatz für einen Knoten mit Zweigströmen folgendermaßen aufschreiben:

Diese Regel gilt zunächst für Gleichstromnetzwerke.

Für Wechselstromnetzwerke gilt sie unter der Bedingung, dass man nur konzentrierte Bauelemente verwendet und somit beispielsweise Ladungsspeicherungseffekte in den Knoten und Leitungen aufgrund der dort vorhandenen Kapazitäten ausbleiben.

Anstelle der Zeitwerte kann man auch die Zeigerdarstellungen der Ströme betrachten:

Für ein Netzwerk mit Knoten lassen sich linear unabhängige Knotengleichungen aufstellen.

Erweiterung Bearbeiten

Sofern man von konzentrierten Bauelementen ausgeht, gilt die Knotenregel nicht nur für einzelne Knoten, sondern auch für ganze Schaltungen. Allerdings wird davon ausgegangen, dass der Knoten elektrisch neutral bleibt. Möchte man z. B. nur eine Kondensatorplatte betrachten (und nicht den ganzen Kondensator), ist diese Forderung nicht mehr erfüllt. Man müsste die Betrachtung in diesem Fall um den sogenannten Verschiebungsstrom, der zwischen den Kondensatorplatten fließt, erweitern. Zur Beschreibung dieser nicht mehr quellenfreien Felder muss das ampèresche Gesetz benutzt werden.

Beispiel eines Knotens Bearbeiten

Stromknoten mit zu- und abfließenden Strömen

Wie auf dem Bild zu erkennen ist, fließen die Ströme und in den Knoten hinein und die Ströme , und aus dem Knoten heraus. Nach der Knotenregel ergibt sich folgende Formel:

oder umgeformt:

Beispiel eines Netzwerkknotens Bearbeiten

Netzwerk mit zu- und abfließenden Strömen

Auch ganze Netzwerke können als Knoten angesehen werden. Im Beispiel fließen die Wechselströme und in den Knoten hinein und der Strom aus dem Knoten heraus.

Es gilt also:

Sind für die zufließenden Ströme folgende komplexe Effektivwerte gegeben (mit der in der Elektrotechnik üblichen imaginären Einheit ):

So ergibt sich für den abfließenden Strom aus der Knotenregel:

Der Maschensatz (Maschenregel) – 2. Kirchhoffsches Gesetz Bearbeiten

Beispiel für die Anwendung des Maschensatzes: Die Teilspannungen U1 bis U5 addieren sich zu null. Die in der Darstellung verwendeten Spannungspfeile legen die Zählrichtung für das Vorzeichen fest.

Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null. Die Richtung des Umlaufes kann beliebig gewählt werden; sie legt dann aber die Vorzeichen der Teilspannungen fest. Soweit Zählpfeile entgegen der Umlaufrichtung zeigen, sind die Spannungen mit umgekehrten Vorzeichen einzusetzen.

In einem Umlauf mit Teilspannungen eines elektrischen Netzes gilt folgende Formel:

Auch diese Regel gilt für beliebig zeitlich abhängige Ströme und für Netzwerke mit nichtlinearen Bauelementen.

In Wechselstromnetzwerken kann die Summe der komplexen Effektivwerte oder komplexen Amplituden der Spannung betrachtet werden:

Die Maschengleichung gilt in diesem Fall jedoch nur für die Klemmenspannungen. Diese entspricht nicht der elektrischen Feldstärke in den Bauelementen selbst (beispielsweise innerhalb des Spulendrahtes).

Ein Netzwerk mit Zweigen und unabhängigen Knotengleichungen hat unabhängige Maschengleichungen.

Hintergrund Bearbeiten

Ein einfacher Stromkreis

Beide kirchhoffschen Regeln sind Schlussfolgerungen aus physikalischen Erhaltungssätzen, der 1. und 3. maxwellschen Gleichung:

  • Die Knotenpunktregel beschreibt die Erhaltung der elektrischen Ladung und sagt aus, dass in den Knoten weder Ladungen vernichtet noch zwischengespeichert werden.
  • Die Maschenregel beschreibt die Erhaltung der elektrischen Energie in der Elektrostatik. Darin gilt, dass eine Ladung bei einem einmaligen Umlauf des Stromkreises insgesamt keine Arbeit am elektrischen Feld verrichtet. So bewegen sich in dem nebenstehenden einfachen Stromkreis die Ladungen innerhalb des Widerstandes mit dem elektrischen Feld, und innerhalb der Spannungsquelle bewegen sie sich dem Feld entgegen.

Die Maschenregel ist formal eine Schlussfolgerung aus dem Induktionsgesetz. Sie gilt nur für den Fall, dass innerhalb der Masche keine Änderung des magnetischen Flusses erfolgt () und somit auch auf magnetischem Weg keine Energie in das Netzwerk eingespeist oder von dort entnommen wird. Bei Abwesenheit von magnetischen Wechselfeldern liefert das Induktionsgesetz

was exakt der Aussage der Maschenregel entspricht. Der Ausdruck bezeichnet dabei die Umlaufspannung für einen Weg, der die Bauelemente umgeht, aber deren Pole enthält.

Bei der Anwendung der kirchhoffschen Gleichungen ist allgemein zu beachten, dass alle Verbindungen zwischen den einzelnen Stromkreiselementen als ideal leitend vorausgesetzt werden. Außerdem werden die Bauelemente als konzentrierte Bauelemente angesehen. Konzentrierte Bauelemente lassen sich in ihrem elektrischen Verhalten vollständig durch die an den Anschlüssen fließenden Ströme und außen anliegenden Spannungen beschreiben. Sollten in der zu untersuchenden Schaltung nicht konzentrierte Bauelemente vorkommen, so müssen diese durch Ersatzschaltungen konzentrierter Stromkreiselemente ersetzt werden.

Für praktische Anwendungen wurde die Darstellung der allgemeinen kirchhoffschen Regeln verschiedenartig modifiziert. So beschreibt unter anderem der im englischsprachigen Raum gebräuchliche Satz von Millman ein auf den kirchhoffschen Regeln basierendes Verfahren, um die Summenspannung von mehreren parallel geschalteten Spannungs- und Stromquellen zu ermitteln.

Erfassung zeitveränderlicher externer Magnetfelder Bearbeiten

Wenn durch die Maschen eines Netzwerks mit feldkapselnden passiven oder aktiven Elementen (z. B. Widerstände, Kondensatoren, Spulen, Dioden, Elektromotoren, Kraftwerksgeneratoren, elektrochemische Zellen, Thermoelemente, Photozellen usw.) externe (nicht durch die Ströme des Netzwerks erregte) zeitveränderliche Flüsse treten, ist die Hauptvoraussetzung des Kirchhoff’schen Maschensatzes (nämlich ) verletzt. Dann gilt für eine Masche die mit dem Induktionsgesetz herleitbare Spannungsgleichung

Die linke Seite der Gleichung ist genau wie oben (d. h. ohne äußeres Magnetfeld) mit den Klemmenspannungen der Elemente zu bilden. Dabei kann der Umlaufsinn der Summierung nicht mehr willkürlich gewählt werden, sondern ist rechtsschraubend mit der Bezugsrichtung des magnetischen Flusses zu orientieren.

Der Fall tritt z. B. bei geomagnetisch induzierten Strömen auf.

Literatur Bearbeiten

  • Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-56500-0.
  • Gustav Robert Kirchhoff: Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige. In: Annalen der Physik und Chemie. Band LXIV, 1845, S. 497–514 (Gallica).
  • Gert Hagmann: Grundlagen der Elektrotechnik. 15. Auflage. AULA-Verlag. Wiebelsheim, ISBN 978-3-89104-747-7

Weblinks Bearbeiten

Commons: Kirchhoffsche Regeln – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gustav Robert Kirchhoff: Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige. In: Annalen der Physik und Chemie. Band LXIV, 1845, S. 513 (Gallica).
  2. Dunnington: Gauss – Titan of Science. American Mathematical Society, S. 161.
  3. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Definitive Edition (= Feynman Vorlesungen über Physik. Band II). 5., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München; Wien 2007, ISBN 978-3-486-58107-2, Abschnitt 22.3, S. 419 f. (The Feynman Lectures on Physics Website – englisch: The Feynman Lectures on Physics. 2006. Übersetzt von Marlis Mitter).
  4. Gemeint sind Elemente, deren elektromagnetische Felder sich allenfalls durch vernachlässigbare Streueffekte nach außen bemerkbar machen.
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Veröffentlichungsdatum:
Lineare elektrische NetzwerkeIdeales Element Elektrisches BauelementReihen und ParallelschaltungNetzwerkumformungenGeneratorsatze NetzwerksatzeMethoden der NetzwerkanalyseZweitor ParameterDie kirchhoffschen Regeln werden im Rahmen der elektrischen Schaltungstechnik bei der Netzwerkanalyse verwendet Sie unterteilen sich in zwei grundlegende und zusammenhangende Satze den Knotenpunktsatz und den Maschensatz und beschreiben jeweils den Zusammenhang zwischen mehreren elektrischen Stromen und zwischen mehreren elektrischen Spannungen in elektrischen Netzwerken Sie wurden 1845 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert 1 nachdem sie bereits 1833 von Carl Friedrich Gauss entdeckt worden waren 2 Inhaltsverzeichnis 1 Der Knotenpunktsatz Knotenregel 1 Kirchhoffsches Gesetz 1 1 Erweiterung 1 2 Beispiel eines Knotens 1 3 Beispiel eines Netzwerkknotens 2 Der Maschensatz Maschenregel 2 Kirchhoffsches Gesetz 3 Hintergrund 4 Erfassung zeitveranderlicher externer Magnetfelder 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDer Knotenpunktsatz Knotenregel 1 Kirchhoffsches Gesetz BearbeitenIn einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufliessenden Strome gleich der Summe der abfliessenden Strome Bepfeilt man alle anliegenden Zweigstrome so dass alle zugehorigen Zahlpfeile zum Knoten hin oder alle zugehorigen Pfeile vom Knoten weg zeigen so kann man den Knotenpunktsatz fur einen Knoten mit n displaystyle n nbsp Zweigstromen folgendermassen aufschreiben k 1 n I k 0 displaystyle sum k 1 n I k 0 nbsp Diese Regel gilt zunachst fur Gleichstromnetzwerke Fur Wechselstromnetzwerke gilt sie unter der Bedingung dass man nur konzentrierte Bauelemente verwendet und somit beispielsweise Ladungsspeicherungseffekte in den Knoten und Leitungen aufgrund der dort vorhandenen Kapazitaten ausbleiben Anstelle der Zeitwerte kann man auch die Zeigerdarstellungen der Strome betrachten k 1 n I k 0 displaystyle sum k 1 n underline I k 0 nbsp Fur ein Netzwerk mit m displaystyle m nbsp Knoten lassen sich m 1 displaystyle m 1 nbsp linear unabhangige Knotengleichungen aufstellen Erweiterung Bearbeiten Sofern man von konzentrierten Bauelementen ausgeht gilt die Knotenregel nicht nur fur einzelne Knoten sondern auch fur ganze Schaltungen Allerdings wird davon ausgegangen dass der Knoten elektrisch neutral bleibt Mochte man z B nur eine Kondensatorplatte betrachten und nicht den ganzen Kondensator ist diese Forderung nicht mehr erfullt Man musste die Betrachtung in diesem Fall um den sogenannten Verschiebungsstrom der zwischen den Kondensatorplatten fliesst erweitern Zur Beschreibung dieser nicht mehr quellenfreien Felder muss das amperesche Gesetz benutzt werden Beispiel eines Knotens Bearbeiten nbsp Stromknoten mit zu und abfliessenden StromenWie auf dem Bild zu erkennen ist fliessen die Strome I 1 displaystyle I 1 nbsp und I 3 displaystyle I 3 nbsp in den Knoten hinein und die Strome I 2 displaystyle I 2 nbsp I 4 displaystyle I 4 nbsp und I 5 displaystyle I 5 nbsp aus dem Knoten heraus Nach der Knotenregel ergibt sich folgende Formel I 1 I 3 I 2 I 4 I 5 0 displaystyle I 1 I 3 I 2 I 4 I 5 0 nbsp oder umgeformt I 1 I 3 I 2 I 4 I 5 displaystyle I 1 I 3 I 2 I 4 I 5 nbsp Beispiel eines Netzwerkknotens Bearbeiten nbsp Netzwerk mit zu und abfliessenden StromenAuch ganze Netzwerke konnen als Knoten angesehen werden Im Beispiel fliessen die Wechselstrome I 1 displaystyle underline I 1 nbsp und I 2 displaystyle underline I 2 nbsp in den Knoten hinein und der Strom I 3 displaystyle underline I 3 nbsp aus dem Knoten heraus Es gilt also I 1 I 2 I 3 0 displaystyle underline I 1 underline I 2 underline I 3 0 nbsp Sind fur die zufliessenden Strome folgende komplexe Effektivwerte gegeben mit der in der Elektrotechnik ublichen imaginaren Einheit j displaystyle mathrm j nbsp I 1 3 A e j 15 displaystyle underline I 1 mathrm 3 A cdot e j cdot 15 circ nbsp I 2 1 A e j 35 displaystyle underline I 2 mathrm 1 A cdot e j cdot 35 circ nbsp So ergibt sich fur den abfliessenden Strom aus der Knotenregel I 3 I 1 I 2 3 A e j 15 1 A e j 35 3 73 A e j 3 12 displaystyle underline I 3 underline I 1 underline I 2 mathrm 3 A cdot e j cdot 15 circ 1 A cdot e j cdot 35 circ approx 3 73 A cdot e j cdot 3 12 circ nbsp Der Maschensatz Maschenregel 2 Kirchhoffsches Gesetz Bearbeiten nbsp Beispiel fur die Anwendung des Maschensatzes Die Teilspannungen U1 bis U5 addieren sich zu null Die in der Darstellung verwendeten Spannungspfeile legen die Zahlrichtung fur das Vorzeichen fest Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null Die Richtung des Umlaufes kann beliebig gewahlt werden sie legt dann aber die Vorzeichen der Teilspannungen fest Soweit Zahlpfeile entgegen der Umlaufrichtung zeigen sind die Spannungen mit umgekehrten Vorzeichen einzusetzen In einem Umlauf mit n displaystyle n nbsp Teilspannungen eines elektrischen Netzes gilt folgende Formel k 1 n U k 0 displaystyle sum k 1 n U k 0 nbsp Auch diese Regel gilt fur beliebig zeitlich abhangige Strome und fur Netzwerke mit nichtlinearen Bauelementen In Wechselstromnetzwerken kann die Summe der komplexen Effektivwerte oder komplexen Amplituden der Spannung betrachtet werden k 1 n U k 0 displaystyle sum k 1 n underline U k 0 nbsp Die Maschengleichung gilt in diesem Fall jedoch nur fur die Klemmenspannungen Diese entspricht nicht der elektrischen Feldstarke in den Bauelementen selbst beispielsweise innerhalb des Spulendrahtes Ein Netzwerk mit z displaystyle z nbsp Zweigen und m displaystyle m nbsp unabhangigen Knotengleichungen hat z m displaystyle z m nbsp unabhangige Maschengleichungen Hintergrund Bearbeiten nbsp Ein einfacher StromkreisBeide kirchhoffschen Regeln sind Schlussfolgerungen aus physikalischen Erhaltungssatzen der 1 und 3 maxwellschen Gleichung Die Knotenpunktregel beschreibt die Erhaltung der elektrischen Ladung und sagt aus dass in den Knoten weder Ladungen vernichtet noch zwischengespeichert werden Die Maschenregel beschreibt die Erhaltung der elektrischen Energie in der Elektrostatik Darin gilt dass eine Ladung Q displaystyle Q nbsp bei einem einmaligen Umlauf des Stromkreises insgesamt keine Arbeit am elektrischen Feld verrichtet So bewegen sich in dem nebenstehenden einfachen Stromkreis die Ladungen innerhalb des Widerstandes mit dem elektrischen Feld und innerhalb der Spannungsquelle bewegen sie sich dem Feld entgegen Die Maschenregel ist formal eine Schlussfolgerung aus dem Induktionsgesetz Sie gilt nur fur den Fall dass innerhalb der Masche keine Anderung des magnetischen Flusses erfolgt d F d t 0 displaystyle mathrm d Phi mathrm d t 0 nbsp und somit auch auf magnetischem Weg keine Energie in das Netzwerk eingespeist oder von dort entnommen wird Bei Abwesenheit von magnetischen Wechselfeldern liefert das Induktionsgesetz E d s d F d t 0 displaystyle oint E mathrm d s frac mathrm d Phi mathrm d t 0 nbsp was exakt der Aussage der Maschenregel entspricht Der Ausdruck E d s displaystyle oint E mathrm d s nbsp bezeichnet dabei die Umlaufspannung fur einen Weg der die Bauelemente umgeht aber deren Pole enthalt 3 Bei der Anwendung der kirchhoffschen Gleichungen ist allgemein zu beachten dass alle Verbindungen zwischen den einzelnen Stromkreiselementen als ideal leitend vorausgesetzt werden Ausserdem werden die Bauelemente als konzentrierte Bauelemente angesehen Konzentrierte Bauelemente lassen sich in ihrem elektrischen Verhalten vollstandig durch die an den Anschlussen fliessenden Strome und aussen anliegenden Spannungen beschreiben Sollten in der zu untersuchenden Schaltung nicht konzentrierte Bauelemente vorkommen so mussen diese durch Ersatzschaltungen konzentrierter Stromkreiselemente ersetzt werden Fur praktische Anwendungen wurde die Darstellung der allgemeinen kirchhoffschen Regeln verschiedenartig modifiziert So beschreibt unter anderem der im englischsprachigen Raum gebrauchliche Satz von Millman ein auf den kirchhoffschen Regeln basierendes Verfahren um die Summenspannung von mehreren parallel geschalteten Spannungs und Stromquellen zu ermitteln Erfassung zeitveranderlicher externer Magnetfelder BearbeitenWenn durch die Maschen eines Netzwerks mit feldkapselnden 4 passiven oder aktiven Elementen z B Widerstande Kondensatoren Spulen Dioden Elektromotoren Kraftwerksgeneratoren elektrochemische Zellen Thermoelemente Photozellen usw externe nicht durch die Strome des Netzwerks erregte zeitveranderliche Flusse F t displaystyle Phi t nbsp treten ist die Hauptvoraussetzung des Kirchhoff schen Maschensatzes namlich d F t d t 0 displaystyle mathrm d Phi t mathrm d t 0 nbsp verletzt Dann gilt fur eine Masche die mit dem Induktionsgesetz herleitbare Spannungsgleichung k 1 n U k d F d t displaystyle sum limits k 1 n U k frac mathrm d Phi mathrm d t nbsp Die linke Seite der Gleichung ist genau wie oben d h ohne ausseres Magnetfeld mit den Klemmenspannungen der Elemente zu bilden Dabei kann der Umlaufsinn der Summierung nicht mehr willkurlich gewahlt werden sondern ist rechtsschraubend mit der Bezugsrichtung des magnetischen Flusses zu orientieren Der Fall tritt z B bei geomagnetisch induzierten Stromen auf Literatur BearbeitenKarl Kupfmuller Gerhard Kohn Theoretische Elektrotechnik und Elektronik 14 Auflage Springer 1993 ISBN 3 540 56500 0 Gustav Robert Kirchhoff Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene insbesondere durch eine kreisformige In Annalen der Physik und Chemie Band LXIV 1845 S 497 514 Gallica Gert Hagmann Grundlagen der Elektrotechnik 15 Auflage AULA Verlag Wiebelsheim ISBN 978 3 89104 747 7Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Kirchhoffsche Regeln Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Kirchhoff Gesetze auf Schulerniveau LEIFI elektronik kompendium wisc online englisch facstaff bucknell englisch Einzelnachweise Bearbeiten Gustav Robert Kirchhoff Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene insbesondere durch eine kreisformige In Annalen der Physik und Chemie Band LXIV 1845 S 513 Gallica Dunnington Gauss Titan of Science American Mathematical Society S 161 Richard P Feynman Robert B Leighton Matthew Sands Elektromagnetismus und Struktur der Materie Definitive Edition Feynman Vorlesungen uber Physik Band II 5 verbesserte Auflage Oldenbourg Verlag Munchen Wien 2007 ISBN 978 3 486 58107 2 Abschnitt 22 3 S 419 f The Feynman Lectures on Physics Website englisch The Feynman Lectures on Physics 2006 Ubersetzt von Marlis Mitter Gemeint sind Elemente deren elektromagnetische Felder sich allenfalls durch vernachlassigbare Streueffekte nach aussen bemerkbar machen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kirchhoffsche Regeln amp oldid 239400463