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Ampèresches Gesetz Das Ampèresche Gesetz Durchflutungssatz Durchflutungsgesetz ist ein Gesetz der Elektrodynamik und ein

Ampèresches Gesetz

Das Ampèresche Gesetz (Durchflutungssatz, Durchflutungsgesetz) ist ein Gesetz der Elektrodynamik und eine der maxwellschen Gleichungen. Es wurde von André-Marie Ampère entdeckt und bildet für den Magnetismus die Analogie zum Induktionsgesetz. In Worten ausgedrückt besagt es, dass elektrische Ströme magnetische Wirbelfelder hervorrufen, deren Stärke im Wesentlichen durch die Stromstärke gegeben ist. (Für eine präzisere quantitative Formulierung, siehe Hauptteil dieses Artikels).

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Integrale Form Bearbeiten

Das Gesetz setzt das Kurvenintegral des magnetischen Feldes entlang einer geschlossenen Kurve in Beziehung zum Strom, der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Fläche fließt.

Die integrale Form des Gesetzes lautet (Annahme konstanter Stromdichte ist nicht erforderlich):

bzw.

wobei

Differentielle Form Bearbeiten

Äquivalent dazu ist die differentielle Form

bzw.

ist die magnetische Feldstärke, das ist die magnetische Flussdichte ohne Berücksichtigung von paramagnetischen und diamagnetischen Beiträgen durch das Medium (im Vakuum gilt ). Analog ist die Stromdichte (Strom pro Fläche) und dieselbe Größe ohne Berücksichtigung des durch para- und diamagnetische Effekte induzierten Stroms. ist der Rotationsoperator.

Die Äquivalenz von integraler und differentieller Form wird durch den Satz von Stokes bewiesen.

Maxwells Erweiterung Bearbeiten

James Clerk Maxwell bemerkte, dass das so formulierte ampèresche Gesetz beim Aufladen eines Kondensators zunächst nicht zutrifft, und folgerte die Unvollständigkeit des Gesetzes. Zur Lösung des Problems entwickelte er das Konzept des Verschiebungsstroms und stellte eine allgemeingültige Form auf, die so eine der vier maxwellschen Gleichungen ist. Sie ist in integraler Form gegeben durch

und in differentieller Form

Dabei sind alle Größen wie oben. ist die elektrische Flussdichte, nämlich die elektrische Feldstärke plus die durch Polarisation erzeugten Felder.

Anwendung Bearbeiten

Einfach formuliert sagt das ampèresche Gesetz folgendes: Ein elektrischer Strom ruft ein ihm proportionales Magnetfeld hervor, dessen Richtung mit der des Stromes eine rechtsdrehende Schraube bildet. Siehe auch: Rechte-Faust-Regel.

Interpretation des Integrals Bearbeiten

Schematische Darstellung eines elektrischen Leiters und der Feldlinien der magnetischen Flussdichte.

Die integrale Formulierung

lässt sich folgendermaßen interpretieren:

Um einen beliebig geformten Leiter – sei es ein Draht, eine Metallplatte, eine Spule, oder auch nur ein sehr kleines Stück eines größeren Leiters – legt man gedanklich einen (Mess-)Rahmen. Dieser Rahmen kann von beliebiger Form sein, z. B. ein Rechteck oder ein Kreis von beliebiger Größe. Wenn durch den Leiter ein Strom fließt, verursacht dies ein Magnetfeld. Wenn man am Rahmen entlang geht und für jedes kleine Stück des Rahmens die Komponente des Magnetfelds in Richtung des kleinen Rahmenstücks addiert, dann erhält man, wenn der Rahmen umrundet ist, eine Summe, die dem Strom durch den Leiter proportional ist.

Magnetfeld der Spule Bearbeiten

Bei direkter Anwendung des ampèreschen Gesetzes zur Bestimmung eines Magnetfelds erhält man meistens nur Lösungen für vereinfachte Fälle, zum Beispiel wenn man annimmt, dass das Magnetfeld einer Spule überall entlang oder entgegen der Achse der Spule und innen homogen ist, was aber nur für die unendlich lange Spule zutrifft.

Man habe eine solche Spule mit Windungen pro Strecke . Man legt einen rechteckigen Rahmen durch die Spule, dessen obere Seite mit der Länge in der Spule liegt, und dessen rechte und linke Seite unendlich lang sind. Zu diesen Seiten steht nach Annahme das Magnetfeld senkrecht, die Komponente in Richtung des Rahmens ist also Null. Die untere Seite ist unendlich weit weg, wo das Magnetfeld Null sein muss. Es bleibt also vom Integral nur die obere Seite, wo die Komponente des Magnetfelds genau parallel ist. Also gilt:

womit man den Betrag des Magnetfelds in der Spule bestimmt hat.

Biot-Savart Bearbeiten

Einfache Fälle wie oben reichen nicht immer aus, um von Strömen induzierte Magnetfelder beschreiben zu können. Um beliebige Stromverteilungen behandeln zu können, liefert das Biot-Savart-Gesetz weitergehende Aussagen. Es lässt sich aus den maxwellschen Gleichungen herleiten, d. h. auch, dass für den nicht offensichtlichen Beweis Maxwells Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes um den Verschiebungsstrom nötig ist.

Literatur Bearbeiten

  • Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Vorlesungen über Physik. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, München/Wien 2001, ISBN 3-486-25589-4.
  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
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Das Amperesche Gesetz Durchflutungssatz Durchflutungsgesetz ist ein Gesetz der Elektrodynamik und eine der maxwellschen Gleichungen Es wurde von Andre Marie Ampere entdeckt und bildet fur den Magnetismus die Analogie zum Induktionsgesetz In Worten ausgedruckt besagt es dass elektrische Strome magnetische Wirbelfelder hervorrufen deren Starke im Wesentlichen durch die Stromstarke gegeben ist Fur eine prazisere quantitative Formulierung siehe Hauptteil dieses Artikels Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Formulierung 1 1 Integrale Form 1 2 Differentielle Form 1 3 Maxwells Erweiterung 2 Anwendung 2 1 Interpretation des Integrals 2 2 Magnetfeld der Spule 2 3 Biot Savart 3 LiteraturMathematische Formulierung BearbeitenIntegrale Form Bearbeiten Das Gesetz setzt das Kurvenintegral des magnetischen Feldes entlang einer geschlossenen Kurve in Beziehung zum Strom der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Flache fliesst Die integrale Form des Gesetzes lautet Annahme konstanter Stromdichte ist nicht erforderlich S B d s m 0 I displaystyle oint mathcal S vec B cdot mathrm d vec s mu 0 I nbsp bzw S H d s I displaystyle oint mathcal S vec H cdot mathrm d vec s I nbsp wobei B displaystyle vec B nbsp das magnetische Feld genauer die magnetische Flussdichte H displaystyle vec H nbsp die magnetische Feldstarke d s displaystyle mathrm d vec s nbsp ein infinitesimales orientiertes Teilstuck der geschlossenen Kurve S displaystyle mathcal S nbsp I displaystyle I nbsp die Stromstarke des innerhalb von S displaystyle mathcal S nbsp fliessenden Stroms m 0 displaystyle mu 0 nbsp die Permeabilitat des Vakuums magnetische Feldkonstante und S displaystyle oint mathcal S nbsp das geschlossene Kurvenintegral entlang der Kurve S displaystyle mathcal S nbsp ist Differentielle Form Bearbeiten Aquivalent dazu ist die differentielle Form rot B m 0 j displaystyle operatorname rot vec B mu 0 vec j nbsp bzw rot H j ext displaystyle operatorname rot vec H vec j text ext nbsp H displaystyle vec H nbsp ist die magnetische Feldstarke das ist die magnetische Flussdichte B displaystyle vec B nbsp ohne Berucksichtigung von paramagnetischen und diamagnetischen Beitragen durch das Medium im Vakuum gilt H m 0 1 B displaystyle vec H mu 0 1 vec B nbsp Analog ist j displaystyle vec j nbsp die Stromdichte Strom pro Flache und j ext displaystyle vec j text ext nbsp dieselbe Grosse ohne Berucksichtigung des durch para und diamagnetische Effekte induzierten Stroms rot displaystyle operatorname rot nbsp ist der Rotationsoperator Die Aquivalenz von integraler und differentieller Form wird durch den Satz von Stokes bewiesen Maxwells Erweiterung Bearbeiten James Clerk Maxwell bemerkte dass das so formulierte amperesche Gesetz beim Aufladen eines Kondensators zunachst nicht zutrifft und folgerte die Unvollstandigkeit des Gesetzes Zur Losung des Problems entwickelte er das Konzept des Verschiebungsstroms und stellte eine allgemeingultige Form auf die so eine der vier maxwellschen Gleichungen ist Sie ist in integraler Form gegeben durch S H d s A D t d A I A D t j ext d A displaystyle oint mathcal S vec H cdot mathrm d vec s iint mathcal A frac partial vec D partial t cdot mathrm d vec A I iint mathcal A left frac partial vec D partial t vec j text ext right cdot mathrm d vec A nbsp und in differentieller Form rot H j ext D t displaystyle operatorname rot vec H vec j text ext frac partial vec D partial t nbsp Dabei sind alle Grossen wie oben D displaystyle vec D nbsp ist die elektrische Flussdichte namlich die elektrische Feldstarke E displaystyle vec E nbsp plus die durch Polarisation erzeugten Felder Anwendung BearbeitenEinfach formuliert sagt das amperesche Gesetz folgendes Ein elektrischer Strom ruft ein ihm proportionales Magnetfeld hervor dessen Richtung mit der des Stromes eine rechtsdrehende Schraube bildet Siehe auch Rechte Faust Regel Interpretation des Integrals Bearbeiten nbsp Schematische Darstellung eines elektrischen Leiters und der Feldlinien der magnetischen Flussdichte Die integrale Formulierung S B d s m 0 I displaystyle oint mathcal S vec B cdot mathrm d vec s mu 0 I nbsp lasst sich folgendermassen interpretieren Um einen beliebig geformten Leiter sei es ein Draht eine Metallplatte eine Spule oder auch nur ein sehr kleines Stuck eines grosseren Leiters legt man gedanklich einen Mess Rahmen Dieser Rahmen kann von beliebiger Form sein z B ein Rechteck oder ein Kreis von beliebiger Grosse Wenn durch den Leiter ein Strom fliesst verursacht dies ein Magnetfeld Wenn man am Rahmen entlang geht und fur jedes kleine Stuck des Rahmens die Komponente des Magnetfelds in Richtung des kleinen Rahmenstucks addiert dann erhalt man wenn der Rahmen umrundet ist eine Summe die dem Strom durch den Leiter proportional ist Magnetfeld der Spule Bearbeiten Bei direkter Anwendung des ampereschen Gesetzes zur Bestimmung eines Magnetfelds erhalt man meistens nur Losungen fur vereinfachte Falle zum Beispiel wenn man annimmt dass das Magnetfeld einer Spule uberall entlang oder entgegen der Achse der Spule und innen homogen ist was aber nur fur die unendlich lange Spule zutrifft Man habe eine solche Spule mit n displaystyle n nbsp Windungen pro Strecke l displaystyle l nbsp Man legt einen rechteckigen Rahmen durch die Spule dessen obere Seite mit der Lange a displaystyle a nbsp in der Spule liegt und dessen rechte und linke Seite unendlich lang sind Zu diesen Seiten steht nach Annahme das Magnetfeld senkrecht die Komponente in Richtung des Rahmens ist also Null Die untere Seite ist unendlich weit weg wo das Magnetfeld Null sein muss Es bleibt also vom Integral nur die obere Seite wo die Komponente des Magnetfelds genau parallel ist Also gilt S B r d s a B r a m 0 I n l B r m 0 I n l displaystyle oint mathcal S vec B vec r cdot mathrm d vec s aB vec r a mu 0 I frac n l quad Leftrightarrow quad B vec r mu 0 I frac n l nbsp womit man den Betrag des Magnetfelds in der Spule bestimmt hat Biot Savart Bearbeiten Einfache Falle wie oben reichen nicht immer aus um von Stromen induzierte Magnetfelder beschreiben zu konnen Um beliebige Stromverteilungen behandeln zu konnen liefert das Biot Savart Gesetz weitergehende Aussagen Es lasst sich aus den maxwellschen Gleichungen herleiten d h auch dass fur den nicht offensichtlichen Beweis Maxwells Erweiterung des Ampereschen Gesetzes um den Verschiebungsstrom notig ist Literatur BearbeitenRichard P Feynman Robert B Leighton Matthew Sands Vorlesungen uber Physik 3 Auflage Oldenbourg Verlag Munchen Wien 2001 ISBN 3 486 25589 4 Horst Stocker Taschenbuch der Physik 4 Auflage Verlag Harry Deutsch Frankfurt am Main 2000 ISBN 3 8171 1628 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Amperesches Gesetz amp oldid 226544814