www.wikidata.de-de.nina.az

Biot Savart Gesetz Das beschreibt das Magnetfeld bewegter Ladungen Es stellt einen Zusammenhang zwischen der magnetische

Biot-Savart-Gesetz

Das Biot-Savart-Gesetz beschreibt das Magnetfeld bewegter Ladungen. Es stellt einen Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstärke und der elektrischen Stromdichte her und erlaubt die Berechnung räumlicher magnetischer Feldstärkenverteilungen anhand der Kenntnis der räumlichen Stromverteilungen. Hier wird das Gesetz als Beziehung zwischen der magnetischen Flussdichte und der elektrischen Stromdichte behandelt.

Im Vakuum und in magnetisch linearen und isotropen Stoffen besteht zwischen der magnetischen Flussdichte und der magnetischen Feldstärke der Zusammenhang mit der magnetischen Leitfähigkeit als konstantem Proportionalitätsfaktor. Im allgemeinen Fall (z. B. bei Magneten) kann hingegen die magnetische Leitfähigkeit eine Funktion der magnetischen Feldstärke oder der räumlichen Orientierung sein, womit sich deutlich kompliziertere und unter Umständen analytisch nicht mehr darstellbare Zusammenhänge ergeben können.

Benannt wurde dieses Gesetz nach den beiden französischen Mathematikern Jean-Baptiste Biot und Félix Savart, die es 1820 formuliert hatten. Es stellt neben dem ampèreschen Gesetz eines der Grundgesetze der Magnetostatik, eines Teilgebiets der Elektrodynamik, dar.

Formulierung Bearbeiten

Ein Stromleiter mit dem infinitesimalen Längenelement am Ort , der von einem Strom durchflossen wird, erzeugt am Ort die magnetische Flussdichte (unter Verwendung des Kreuzprodukts):

Die ganze magnetische Flussdichte ergibt sich durch Aufsummieren aller vorhandenen infinitesimalen Anteile, also durch Integrieren. Das entstehende Wegintegral kann man unter Benutzung von

in ein Volumenintegral umformen, wobei die elektrische Stromdichte ist. Somit erhält man die integrale Form des biot-savartschen Gesetzes:

Diese beiden Formeln ähneln (mit Strömen statt Ladungen) dem coulombschen Gesetz, das die Gestalt des elektrischen Feldes in Abhängigkeit von einer Ladungsverteilung beschreibt.

In den beiden obigen Formeln wurde dabei vernachlässigt, dass die Stromleiter einen endlichen Querschnitt haben. In vielen realen Anwendungen ist dieser im Vergleich zur Ausdehnung des Magnetfeldes aber auch tatsächlich ohne Bedeutung. Eine weitere Ungenauigkeit besteht darin, dass sich der Beitrag einer Ladung an einem Ort zum Magnetfeld an einem anderen Ort mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Der entsprechende Retardierungseffekt wird im Biot-Savart-Gesetz nicht berücksichtigt. Es ist daher nur für stationäre Ströme streng gültig und für Punktladungen in guter Näherung, sofern ihre Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ist.

Ableitung aus den Maxwell-Gleichungen Bearbeiten

Im Folgenden werden Retardierungseffekte vernachlässigt und der zeitlich konstante Fall in Form der Magnetostatik betrachtet. Aus den Maxwell-Gleichungen folgt dann die Poisson-Gleichung für das Vektorpotential

mit folgender Lösung:

Damit folgt für die magnetische Flussdichte:

Mit Hilfe der Formeln für die Anwendung des Rotationsoperators auf ein Produkt aus skalarer Funktion und Vektorfunktion sowie aus

folgt das Endergebnis, wenn man berücksichtigt, dass im Integral nur auf die Variable und nicht auf wirkt. Häufig ist es vorteilhafter, das Vektorpotential zu berechnen und daraus die magnetische Flussdichte.

Zum selben Ergebnis kommt man, indem man die Helmholtz-Zerlegung und die Maxwellgleichungen für den statischen Fall benutzt.

Anwendung Bearbeiten

Kreisförmige Leiterschleife Bearbeiten

Magnetfeld in einer Stromschleife
Flussdichte in Abhängigkeit vom Abstand entlang der Achse der Leiterschleife

Der Betrag der magnetischen Flussdichte einer kreisförmigen, gegen den Uhrzeigersinn durchflossenen Leiterschleife kann mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes auf der Symmetrieachse senkrecht zur Leiterschleife geschlossen angegeben werden:

Dabei ist der Radius der in der -Ebene liegenden Leiterschleife. Das Feld ist in -Richtung gerichtet.

Durch die Substitution

erhält man daraus

Im Fall kann das Feld der Leiterschleife als Dipolfeld behandelt werden: Beispielsweise zeigt es für Punkte auf der -Achse für große Abstände (große ) eine -Abhängigkeit:

mit dem magnetischen (Dipol-)Moment (Strom × Fläche der Leiterschleife).

Gerader Linienleiter Bearbeiten

Zur Berechnung der Flussdichte eines geraden Linienleiters der Länge eignen sich Zylinderkoordinaten . Dabei legt man den Ursprung des Koordinatensystems mittig in den Linienleiter parallel zur -Achse. Die Stromdichte des Linienleiters ist dann mit der Delta-Distribution und der Heaviside-Funktion . Dadurch vereinfacht sich das Volumenintegral des Biot-Savart-Gesetzes auf ein einfaches Integral über und das Vektorpotential folgt zu:

Im Fall des Linienleiters ist es einfacher, zuerst die Rotation zu bilden und dann zu integrieren. Da das Vektorpotential nur eine -Komponente aufweist und diese nicht von abhängt, ist diese

Die Substitution liefert mit dann

-Feld eines geraden Leiters

Der Fall eines unendlich langen geraden Linienleiters ergibt sich aus dem Grenzfall des geraden Leiters mit .

Dabei hängt die magnetische Flussdichte nur noch vom radialen Abstand des Punktes zum Leiter ab, da aus der Translationssymmetrie die Abhängigkeit von verschwinden muss.

Rahmenspule Bearbeiten

Abhängigkeiten zur Berechnung der Rahmenspule

Nach der runden Spule ist die Rahmenspule (mit Windungen) die am häufigsten verwendete Variante. Die Formel für das Magnetfeld im Zentrum kann aus der Formel für den Linienleiter abgeleitet werden, indem man die geraden Abschnitte der Spule als Linienleiter behandelt.

mit

Für das Magnetfeld auf der -Achse, in großem Abstand von der Spule, ergibt sich

also wieder eine Abhängigkeit wie beim Dipol. Mit magnetischem Moment gilt:

Punktladung mit konstanter Geschwindigkeit Bearbeiten

Im Falle einer Punktladung , die sich mit konstanter Geschwindigkeit gemäß der Maxwell-Gleichungen bewegt, gelten für das elektrische und das magnetische Feld die Gleichungen

worin der Einheitsvektor ist, der von der momentanen (nicht-retardierten) Position des Teilchens zu dem Punkt zeigt, in dem das Feld gemessen wird, und der Winkel zwischen and .

Im Fall können das elektrische und das magnetische Feld näherungsweise wie folgt angegeben werden:

Diese Gleichungen werden (wegen der Analogie mit dem „normalen“ Biot–Savart-Gesetz) „Biot–Savart-Gesetz für eine Punktladung“ genannt. Sie wurden zuerst von Oliver Heaviside im Jahre 1888 hergeleitet.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14. Auflage. Springer, Berlin 1993, ISBN 3-540-56500-0.
  • Klaus Dransfeld, Paul Kienle: Physik II. Elektrodynamik. Oldenbourg 1975.
  • Thorsten Fließbach: Elektrodynamik. Siegen 1993.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Artikel zu Félix Savart. Bei: www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Abgerufen am 21. Mai 2016.
  2. ↑ David J. Griffiths: Introduction to Electrodynamics (3. Aufl.). Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-805326-X, S. 222–224, 435–440.
  3. Archiviert vom Original am 19. Juni 2009; abgerufen am 30. September 2009.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Biot Savart Gesetz beschreibt das Magnetfeld bewegter Ladungen Es stellt einen Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstarke H displaystyle vec H und der elektrischen Stromdichte ȷ displaystyle vec jmath her und erlaubt die Berechnung raumlicher magnetischer Feldstarkenverteilungen anhand der Kenntnis der raumlichen Stromverteilungen Hier wird das Gesetz als Beziehung zwischen der magnetischen Flussdichte B displaystyle vec B und der elektrischen Stromdichte ȷ displaystyle vec jmath behandelt Im Vakuum und in magnetisch linearen und isotropen Stoffen besteht zwischen der magnetischen Flussdichte und der magnetischen Feldstarke der Zusammenhang B m H displaystyle vec B mu vec H mit der magnetischen Leitfahigkeit m textstyle mu als konstantem Proportionalitatsfaktor Im allgemeinen Fall z B bei Magneten kann hingegen die magnetische Leitfahigkeit eine Funktion der magnetischen Feldstarke oder der raumlichen Orientierung sein womit sich deutlich kompliziertere und unter Umstanden analytisch nicht mehr darstellbare Zusammenhange ergeben konnen Benannt wurde dieses Gesetz nach den beiden franzosischen Mathematikern Jean Baptiste Biot und Felix Savart die es 1820 formuliert hatten 1 Es stellt neben dem ampereschen Gesetz eines der Grundgesetze der Magnetostatik eines Teilgebiets der Elektrodynamik dar Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Ableitung aus den Maxwell Gleichungen 3 Anwendung 3 1 Kreisformige Leiterschleife 3 2 Gerader Linienleiter 3 3 Rahmenspule 3 4 Punktladung mit konstanter Geschwindigkeit 4 Siehe auch 5 Literatur 6 AnmerkungenFormulierung BearbeitenEin Stromleiter mit dem infinitesimalen Langenelement d l displaystyle mathrm d vec l nbsp am Ort r displaystyle vec r nbsp der von einem Strom I displaystyle I nbsp durchflossen wird erzeugt am Ort r displaystyle vec r nbsp die magnetische Flussdichte d B displaystyle mathrm d vec B nbsp unter Verwendung des Kreuzprodukts d B r m 0 4 p I d l r r r r 3 displaystyle mathrm d vec B vec r frac mu 0 4 pi I mathrm d vec l times frac vec r vec r vec r vec r 3 nbsp Die ganze magnetische Flussdichte ergibt sich durch Aufsummieren aller vorhandenen infinitesimalen Anteile also durch Integrieren Das entstehende Wegintegral kann man unter Benutzung von I d l v d q v r d V ȷ d V displaystyle I mathrm d vec l vec v mathrm d q vec v rho mathrm d V vec jmath mathrm d V nbsp in ein Volumenintegral umformen wobei ȷ displaystyle vec jmath nbsp die elektrische Stromdichte ist Somit erhalt man die integrale Form des biot savartschen Gesetzes B r m 0 4 p V ȷ r r r r r 3 d V displaystyle vec B vec r frac mu 0 4 pi int V vec jmath vec r times frac vec r vec r vec r vec r 3 mathrm d V nbsp Diese beiden Formeln ahneln mit Stromen statt Ladungen dem coulombschen Gesetz das die Gestalt des elektrischen Feldes in Abhangigkeit von einer Ladungsverteilung beschreibt In den beiden obigen Formeln wurde dabei vernachlassigt dass die Stromleiter einen endlichen Querschnitt haben In vielen realen Anwendungen ist dieser im Vergleich zur Ausdehnung des Magnetfeldes aber auch tatsachlich ohne Bedeutung Eine weitere Ungenauigkeit besteht darin dass sich der Beitrag einer Ladung an einem Ort zum Magnetfeld an einem anderen Ort mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet Der entsprechende Retardierungseffekt wird im Biot Savart Gesetz nicht berucksichtigt Es ist daher nur fur stationare Strome streng gultig und fur Punktladungen in guter Naherung sofern ihre Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ist Ableitung aus den Maxwell Gleichungen BearbeitenIm Folgenden werden Retardierungseffekte vernachlassigt und der zeitlich konstante Fall in Form der Magnetostatik betrachtet Aus den Maxwell Gleichungen folgt dann die Poisson Gleichung fur das Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp D A r m 0 ȷ r displaystyle Delta vec A vec r mu 0 vec jmath vec r nbsp mit folgender Losung A r m 0 4 p d 3 r ȷ r r r displaystyle vec A vec r frac mu 0 4 pi int d 3 r frac vec jmath vec r vec r vec r nbsp Damit folgt fur die magnetische Flussdichte B A m 0 4 p d 3 r ȷ r r r displaystyle vec B vec nabla times vec A frac mu 0 4 pi int d 3 r nabla times left frac vec jmath vec r vec r vec r right nbsp Mit Hilfe der Formeln ϕ ȷ ϕ ȷ ȷ ϕ displaystyle vec nabla times phi vec jmath phi vec nabla times vec jmath vec jmath times vec nabla phi nbsp fur die Anwendung des Rotationsoperators displaystyle nabla times nbsp auf ein Produkt aus skalarer Funktion und Vektorfunktion sowie aus ϕ 1 r r r r r r 3 displaystyle vec nabla phi vec nabla left frac 1 vec r vec r right frac vec r vec r vec r vec r 3 nbsp folgt das Endergebnis wenn man berucksichtigt dass displaystyle vec nabla nbsp im Integral nur auf die Variable r displaystyle vec r nbsp und nicht auf r displaystyle vec r nbsp wirkt Haufig ist es vorteilhafter das Vektorpotential zu berechnen und daraus die magnetische Flussdichte Zum selben Ergebnis kommt man indem man die Helmholtz Zerlegung und die Maxwellgleichungen fur den statischen Fall benutzt Anwendung BearbeitenKreisformige Leiterschleife Bearbeiten nbsp Magnetfeld in einer Stromschleife nbsp Flussdichte B displaystyle vec B nbsp in Abhangigkeit vom Abstand z displaystyle z nbsp entlang der Achse der LeiterschleifeDer Betrag der magnetischen Flussdichte einer kreisformigen gegen den Uhrzeigersinn durchflossenen Leiterschleife kann mit Hilfe des Biot Savart Gesetzes auf der Symmetrieachse senkrecht zur Leiterschleife geschlossen angegeben werden B z m 0 2 R 2 I R 2 z 2 3 2 displaystyle B z frac mu 0 2 frac R 2 I left R 2 z 2 right 3 2 nbsp Dabei ist R displaystyle R nbsp der Radius der in der x y displaystyle xy nbsp Ebene liegenden Leiterschleife Das Feld ist in e z displaystyle vec e z nbsp Richtung gerichtet Durch die Substitution tan a R z displaystyle tan alpha frac R z nbsp erhalt man daraus B a I m 0 2 R sin 3 a displaystyle B left alpha right frac I mu 0 2R sin 3 alpha nbsp Im Fall R r displaystyle R ll r nbsp kann das Feld der Leiterschleife als Dipolfeld behandelt werden Beispielsweise zeigt es fur Punkte auf der z displaystyle z nbsp Achse fur grosse Abstande grosse z displaystyle z nbsp eine 1 z 3 displaystyle tfrac 1 z 3 nbsp Abhangigkeit B m 0 m 2 p z 3 displaystyle B frac mu 0 m 2 pi left z right 3 nbsp mit dem magnetischen Dipol Moment m I p R 2 displaystyle m I pi R 2 nbsp Strom Flache der Leiterschleife Gerader Linienleiter Bearbeiten Zur Berechnung der Flussdichte B displaystyle vec B nbsp eines geraden Linienleiters der Lange 2 L displaystyle 2L nbsp eignen sich Zylinderkoordinaten r f z displaystyle rho varphi z nbsp Dabei legt man den Ursprung des Koordinatensystems mittig in den Linienleiter parallel zur z displaystyle z nbsp Achse Die Stromdichte des Linienleiters ist dann j r I 1 r d r d f 8 L z e z displaystyle vec j vec r I tfrac 1 rho delta rho delta varphi Theta L z vec e z nbsp mit der Delta Distribution d displaystyle delta nbsp und der Heaviside Funktion 8 displaystyle Theta nbsp Dadurch vereinfacht sich das Volumenintegral des Biot Savart Gesetzes auf ein einfaches Integral uber z displaystyle z nbsp und das Vektorpotential folgt zu A r m 0 I 4 p L L d z e z r 2 z z 2 displaystyle vec A vec r frac mu 0 I 4 pi int L L mathrm d z frac vec e z sqrt rho 2 z z 2 nbsp Im Fall des Linienleiters ist es einfacher zuerst die Rotation zu bilden und dann zu integrieren Da das Vektorpotential nur eine z displaystyle z nbsp Komponente aufweist und diese nicht von f displaystyle varphi nbsp abhangt ist diese B A A z r e f m 0 I 4 p L L d z r r 2 z z 2 3 e f displaystyle vec B vec nabla times vec A frac partial A z partial rho vec e varphi frac mu 0 I 4 pi int L L mathrm d z frac rho sqrt rho 2 z z 2 3 vec e varphi nbsp Die Substitution tan 3 z z r displaystyle tan xi tfrac z z rho nbsp liefert mit d z r 1 cos 2 3 d 3 displaystyle mathrm d z rho tfrac 1 cos 2 xi mathrm d xi nbsp dann B r m 0 I 4 p arctan L z r arctan L z r d 3 cos 3 r e f m 0 I 4 p r sin arctan L z r sin arctan L z r e f displaystyle vec B vec r frac mu 0 I 4 pi int arctan frac L z rho arctan frac L z rho mathrm d xi frac cos xi rho vec e varphi frac mu 0 I 4 pi rho left sin arctan frac L z rho sin arctan frac L z rho right vec e varphi nbsp nbsp B displaystyle vec B nbsp Feld eines geraden LeitersDer Fall eines unendlich langen geraden Linienleiters ergibt sich aus dem Grenzfall des geraden Leiters mit L displaystyle L to infty nbsp B r m 0 I 2 p r e f displaystyle vec B vec r frac mu 0 I 2 pi rho vec e varphi nbsp Dabei hangt die magnetische Flussdichte nur noch vom radialen Abstand des Punktes zum Leiter ab da aus der Translationssymmetrie die Abhangigkeit von z displaystyle z nbsp verschwinden muss Rahmenspule Bearbeiten nbsp Abhangigkeiten zur Berechnung der RahmenspuleNach der runden Spule ist die Rahmenspule mit N displaystyle N nbsp Windungen die am haufigsten verwendete Variante Die Formel fur das Magnetfeld im Zentrum kann aus der Formel fur den Linienleiter abgeleitet werden indem man die geraden Abschnitte der Spule als Linienleiter behandelt B m 0 N I 4 p 2 2 sin a a 2 2 sin b b 2 x displaystyle vec B frac mu 0 N I 4 pi 2 left frac 2 sin alpha frac a 2 frac 2 sin beta frac b 2 right vec hat x nbsp B m 0 N I p 2 1 a 2 1 b 2 1 2 x displaystyle vec B frac mu 0 N I pi 2 left frac 1 a 2 frac 1 b 2 right frac 1 2 vec hat x nbsp mit sin a b a 2 b 2 1 2 displaystyle sin alpha frac b left a 2 b 2 right frac 1 2 nbsp sin b a a 2 b 2 1 2 displaystyle sin beta frac a left a 2 b 2 right frac 1 2 nbsp Fur das Magnetfeld auf der x displaystyle x nbsp Achse in grossem Abstand von der Spule ergibt sich B m 0 N I a b 2 p x 3 displaystyle B frac mu 0 N I a b 2 pi x 3 nbsp also wieder eine Abhangigkeit wie beim Dipol Mit magnetischem Moment m N I a b displaystyle m NIab nbsp gilt B m 0 m 2 p x 3 displaystyle B frac mu 0 m 2 pi x 3 nbsp Punktladung mit konstanter Geschwindigkeit Bearbeiten Im Falle einer Punktladung q displaystyle q nbsp die sich mit konstanter Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp gemass der Maxwell Gleichungen bewegt gelten fur das elektrische und das magnetische Feld die Gleichungen 2 E q 4 p e 0 1 v 2 c 2 1 v 2 sin 2 8 c 2 3 2 r r 2 displaystyle vec E frac q 4 pi varepsilon 0 frac 1 v 2 c 2 1 v 2 sin 2 theta c 2 3 2 frac vec hat r vec r 2 nbsp H v D displaystyle vec H vec v times vec D nbsp oder umgeformt B 1 c 2 v E displaystyle vec B frac 1 c 2 vec v times vec E nbsp worin r displaystyle vec hat r nbsp der Einheitsvektor ist der von der momentanen nicht retardierten Position des Teilchens zu dem Punkt zeigt in dem das Feld gemessen wird und 8 displaystyle theta nbsp der Winkel zwischen v displaystyle vec v nbsp and r displaystyle vec r nbsp Im Fall v 2 c 2 displaystyle v 2 ll c 2 nbsp konnen das elektrische und das magnetische Feld naherungsweise wie folgt angegeben werden 2 E q 4 p e 0 r r 2 displaystyle vec E frac q 4 pi varepsilon 0 frac vec hat r vec r 2 nbsp B m 0 q 4 p v r r 2 displaystyle vec B frac mu 0 q 4 pi vec v times frac vec hat r vec r 2 nbsp Diese Gleichungen werden wegen der Analogie mit dem normalen Biot Savart Gesetz Biot Savart Gesetz fur eine Punktladung genannt 3 Sie wurden zuerst von Oliver Heaviside im Jahre 1888 hergeleitet Siehe auch BearbeitenLorentzkraftLiteratur BearbeitenKarl Kupfmuller Gerhard Kohn Theoretische Elektrotechnik und Elektronik 14 Auflage Springer Berlin 1993 ISBN 3 540 56500 0 Klaus Dransfeld Paul Kienle Physik II Elektrodynamik Oldenbourg 1975 Thorsten Fliessbach Elektrodynamik Siegen 1993 Anmerkungen Bearbeiten Artikel zu Felix Savart Bei www groups dcs st and ac uk Abgerufen am 21 Mai 2016 a b David J Griffiths Introduction to Electrodynamics 3 Aufl Prentice Hall 1998 ISBN 0 13 805326 X S 222 224 435 440 Magnetic Field From a Moving Point Charge Archiviert vom Original am 19 Juni 2009 abgerufen am 30 September 2009 Normdaten Sachbegriff GND 4772813 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Biot Savart Gesetz amp oldid 236149856