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Netzwerkanalyse Elektrotechnik Als Netzwerkanalyse bezeichnet man in der Elektrotechnik die Vorgehensweise in einem Netz

Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)

Als Netzwerkanalyse bezeichnet man in der Elektrotechnik die Vorgehensweise, in einem Netzwerk (siehe Bild) aus den bekannten Werten der Schaltelemente sowie den vorgegebenen Quellgrößen alle Ströme und Spannungen zu berechnen. Von Hand und mit analytischen Methoden können mit realistischem Aufwand nur lineare Systeme untersucht werden. Die rechnergestützte Schaltungssimulation dagegen beruht vorwiegend auf iterativen Näherungsverfahren, benötigt sehr viele Rechenschritte, kann aber auch mit nichtlinearen Bauelementen umgehen.

Einfaches elektrisches Netzwerk bestehend aus zwei Maschen und folgenden Bauelementen: 2 Spannungsquellen und 4 Widerstände.

Allgemein Bearbeiten

In einem Netzwerk sind die Zusammenhänge zwischen allen auftretenden Strömen bzw. allen auftretenden Spannungen durch die nach dem deutschen Physiker Gustav Robert Kirchhoff benannten kirchhoffschen Regeln beschrieben. Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung ist durch das ohmsche Gesetz beschrieben, welches die Bauelementegleichung von Widerständen beschreibt. Voraussetzung sind lineare Schaltelemente und eine lineare Kennlinie im Gegensatz z. B. zur Diode.

Bei nicht reellen Widerständen wird die sogenannte komplexe Rechnung erforderlich. So lässt sich auch eine Analyse für Wechselspannung durchführen, wobei jede betrachtete Frequenz einzeln zu berechnen ist.

Damit eine Netzwerkanalyse möglich ist, werden in dem Netzwerk Knotenpunkte, Zweige und Maschen definiert. Mithilfe der kirchhoffschen Regeln und den Strom-Spannungs-Beziehungen der Zweipole können ihnen dann Gleichungen zugeordnet werden. Damit die mathematischen Gleichungssysteme zu einer eindeutigen Lösung führen, müssen die jeweiligen Gleichungen voneinander unabhängig sein.

Knoten 1 des Netzwerks

Ein Knotenpunkt ist dabei ein Punkt im Netzwerk, in dem eine Stromverzweigung auftritt. Wenn ein Netzwerk Knotenpunkte besitzt, dann gibt es insgesamt nur unabhängige Knotengleichungen. Eine hiervon in dem gezeigten Beispiel ist

Zweig 1 des Netzwerks

Ein Zweig ist die Verbindung zweier Knoten durch Zweipolelemente. Wenn das Netzwerk Zweige besitzt, dann gibt es insgesamt auch unabhängige Zweiggleichungen.

Im dargestellten Beispiel sind die Zweiggleichungen nach Ausnutzung der Bauelementgleichungen:

Als (vollständigen) Baum bezeichnet man ein Gerüst aus Zweigen, welches alle Knoten verbindet, wobei kein Knoten zweimal berührt werden darf. Anschaulich ausgedrückt, die gebildete Struktur darf keine Möglichkeiten bieten, um im Kreis zu gehen. Für den Baum sind verschiedene Varianten möglich. Insgesamt sind bei einem vollständig vermaschten Netzwerk (jeder Knoten hat einen Zweig zu jedem anderen Knoten) Varianten denkbar. Im vorliegenden Beispiel ergeben sich drei unterschiedliche Bäume, da mehr als ein Zweig zwei Knoten miteinander verbindet.

Die einzelnen Zweige im Baum werden Baumzweige oder Äste genannt. Wegen des Aufbaus des Baumes gibt es Äste.

Alle Zweige, die nicht zum Baum gehören, bezeichnet man als Sehnen oder auch Verbindungszweige. Deren Anzahl entspricht der Zahl unabhängiger Maschengleichungen , die mit Hilfe des Maschensatzes aufgestellt werden können.

Masche 2 des Netzwerks

Eine Masche ist ein über Zweige geschlossener Umlauf. Für eine einfache Analyse sollte stets ein Umlauf über nur eine Sehne bzw. einen Verbindungszweig gewählt werden. Für den Fortlauf wird dieser Weg genutzt.

Der Umlaufsinn der unabhängigen Maschen kann willkürlich festgelegt werden, ist jedoch relevant für spätere Berechnungen.

Im Beispiel sind die folgenden zwei Maschenumläufe gewählt.

Somit existieren unabhängige Knotengleichungen, unabhängige Maschengleichungen und für jeden Zweig eine Zweipolgleichung, also Zweipolgleichungen. Mit diesem Gleichungssystem aus Gleichungen lassen sich deshalb alle „gesuchten Größen“, d. h. alle Zweigströme und alle Zweigspannungen eindeutig ermitteln.

Zweigstromanalyse Bearbeiten

Lineare elektrische Netzwerke
Ideales Element


 

Elektrisches Bauelement

Reihen- und Parallelschaltung

Netzwerkumformungen

Generatorsätze Netzwerksätze

Methoden der Netzwerkanalyse

Zweitor-Parameter

Zur Lösung mittels Zweigstromanalyse werden alle unabhängigen Knotengleichungen und die unabhängigen Maschengleichungen aufgestellt. Anschließend werden diese sortiert, indem man diese nach Strom/Widerstand auf der einen Seite der Gleichung und Spannungen auf der anderen Seite aufreiht. Als Ergebnis erhält man ein lineares Gleichungssystem.

Im gezeigten obigen Beispiel folgt hiermit dann in geordneter Reihenfolge (Knotengleichung 1, Maschengleichung 1 und Maschengleichung 2):

In Matrixschreibweise lautet nun das Gleichungssystem:

Zur Lösung des linearen Gleichungssystems gibt es Standardmethoden, die hierfür genutzt werden können. Kleinere Gleichungssysteme lassen sich analytisch „von Hand“ lösen, für umfangreichere Schaltkreise werden numerische Methoden (Computerprogramme) verwendet.

Überlagerungsverfahren nach Helmholtz Bearbeiten

Das Überlagerungsverfahren beruht auf dem Superpositionsprinzip bei linearen Systemen.

Vorgehen:

  • Bis auf eine Quelle werden alle anderen entfernt. Spannungsquellen werden durch Kurzschlüsse ersetzt bzw. Stromquellen als Unterbrechung gesehen. Die Innenwiderstände der Quellen verbleiben jedoch in der Schaltung.
  • Die gesuchten Teilströme mit der verbliebenen Quelle werden berechnet.
  • Das Vorgehen wird für jede andere Quelle wiederholt.
  • Zum Schluss wird die vorzeichenrichtige Addition der errechneten Teilströme für die betrachteten Zweige durchgeführt.

Ergebnis: Der gesuchte Teilstrom wurde ermittelt.

Maschenstromverfahren Bearbeiten

Mit zunehmender Komplexität steigt der Aufwand zur Berechnung des Netzwerks mit der Zweigstromanalyse. Eine Reduzierung des Rechenaufwands ergibt sich durch das Maschenstromverfahren (auch als Schleifenanalyse bekannt).

Wien-Brücke
In das Baum-Diagramm eingezeichnete Maschen

Vorgehen (Kurzform):

  1. Netzwerk vereinfachen
  2. Baum wählen, ideale Stromquellen als Sehne
  3. Nicht ideale Stromquellen in eine äquivalente Spannungsquelle umwandeln
  4. Maschen festlegen
  5. Matrix aufstellen:
  6. Gleichungssystem lösen
  7. Zweigströme berechnen anhand der Summe der Maschenströme

Knotenpotentialverfahren Bearbeiten

Wie beim Maschenstromverfahren ergibt sich beim Knotenpotentialverfahren ein reduziertes lineares Gleichungssystem.

Vorgehen (Kurzform):

  1. Spannungsquellen in äquivalente Stromquelle umwandeln
  2. Bezugsknotenpotential („Masse“) wählen, ideale Spannungsquellen an Bezugspotential angeschlossen (ansonsten mit dieser Anleitung nicht lösbar)
  3. Restliche Knoten durchnummerieren
  4. Matrix aufstellen, Knoten mit idealer Spannungsquelle weglassen
  5. Bei mit idealer Spannungsquelle gekoppelter Knoten, Spannungsquelle mit Koppelleitwert multiplizieren und zum Stromvektor addieren, wenn der Spannungspfeil zum Bezugsknotenpotential hin zeigt, andernfalls abziehen.
  6. Gleichungssystem lösen.
  7. Zweigspannung Uij = ui0−uj0 aus den Knotenpotentialen ermitteln und daraus den Zweigstrom erreichen.

Widerstandswürfel Bearbeiten

Widerstandswürfel aus zwölf gleichen Widerständen

Ein Problem der Netzwerkanalyse ist der sogenannte Widerstandswürfel, der von zwölf gleichen würfelförmig miteinander verlöteten ohmschen Widerständen gebildet wird. Für diese Konstruktion ist der Gesamtwiderstand über die Raumdiagonale A'C zu ermitteln.

Würfel mit bezeichneten Ecken und eingezeichneten Diagonalen

Das Problem kann durch Symmetrieüberlegungen vereinfacht werden. Der Widerstandswürfel wird mit zwölf gleichen Widerständen aufgebaut und ist deshalb auch elektrisch symmetrisch (3-fache Rotationssymmetrie um die Raumdiagonale als Achse). Durch die drei an einer Ecke (nur an den Ecken auf der Raumdiagonale) miteinander verbundenen Widerstände fließen wegen der Symmetrie beim Anlegen einer Spannung auch gleich große Ströme. Die der betrachteten Ecke abgewandten Enden dieser drei Widerstände liegen deshalb untereinander ebenfalls auf demselben Potential. Verbindet man Punkte gleichen Potentials, Äquipotentialpunkte, miteinander leitend, fließt über diese Verbindungen kein Strom in Ermangelung einer Spannung zwischen diesen. Daraus folgt, dass diese zusätzlichen Verbindungen die Schaltung nicht verändern. Ferner ist ersichtlich, dass durch die Widerstände der gleiche Strom fließen muss, da an ihnen dieselbe Spannung abfällt. So lassen sich am Widerstandswürfel bei der Ermittlung des Gesamtwiderstands über den Ecken der Raumdiagonalen (in der Grafik die Ecken A' und C) zwei mal drei potentialgleiche Punkte (in der Grafik die Punkte A, B', D' und B, C', D) finden, die ohne eine elektrische Veränderung zu verursachen, jeweils miteinander verbunden werden können. Nach dem Herstellen dieser Verbindungen ergibt sich die übersichtliche Reihenschaltung einer Parallelschaltung von drei Widerständen mit einer Parallelschaltung von sechs Widerständen und einer Parallelschaltung von drei Widerständen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Horst Elschner, Albrecht Möschwitzer, Albrecht Reibiger: Rechnergestützte Analyse in der Elektronik (Reihe Informationselektronik). Verlag Technik, Berlin 1977.
  • Arnold Führer, Klaus Heidemann, Wolfgang Nerreter: Grundgebiete der Elektrotechnik. Band 1: Stationäre Vorgänge. Carl Hanser Verlag, München u. a. 1983, ISBN 3-446-13677-0.
  • L. W. Nagel, R. A. Rohrer: Computer Analysis of Nonlinear Circuits, Excluding Radiation. In: IEEE Journal of Solid State Circuits. Vol. 6, Nr. 4, 1971, ISSN 0018-9200, S. 166–182.
  • L. W. Nagel: Spice 2 – A Computer Programm to Simulate Semiconductor Circuits. University of California, Berkeley CA, Erl-Memorandum, Nr. Erl-M520, 1975.
  • Jiří Vlach, Kishore Singhal: Computer Methods for Circuit Analysis and Design. 2. Auflage. Van Nostrand Reinhold, New York NY 1993, ISBN 0-442-01194-6.
  • Gert Hagmann: Grundlagen der Elektrotechnik. 15. Auflage. AULA-Verlag. Wiebelsheim, ISBN 978-3-89104-747-7

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Heinrich Hemme: Mathematik zum Frühstück. 89 mathematische Rätsel mit ausführlichen Lösungen. 2., neu bearbeitete Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2003, ISBN 3-525-40734-3.
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Als Netzwerkanalyse bezeichnet man in der Elektrotechnik die Vorgehensweise in einem Netzwerk siehe Bild aus den bekannten Werten der Schaltelemente sowie den vorgegebenen Quellgrossen alle Strome und Spannungen zu berechnen Von Hand und mit analytischen Methoden konnen mit realistischem Aufwand nur lineare Systeme untersucht werden Die rechnergestutzte Schaltungssimulation dagegen beruht vorwiegend auf iterativen Naherungsverfahren benotigt sehr viele Rechenschritte kann aber auch mit nichtlinearen Bauelementen umgehen Einfaches elektrisches Netzwerk bestehend aus zwei Maschen und folgenden Bauelementen 2 Spannungsquellen und 4 Widerstande Inhaltsverzeichnis 1 Allgemein 2 Zweigstromanalyse 3 Uberlagerungsverfahren nach Helmholtz 4 Maschenstromverfahren 5 Knotenpotentialverfahren 6 Widerstandswurfel 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseAllgemein BearbeitenIn einem Netzwerk sind die Zusammenhange zwischen allen auftretenden Stromen bzw allen auftretenden Spannungen durch die nach dem deutschen Physiker Gustav Robert Kirchhoff benannten kirchhoffschen Regeln beschrieben Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung ist durch das ohmsche Gesetz beschrieben welches die Bauelementegleichung von Widerstanden beschreibt Voraussetzung sind lineare Schaltelemente und eine lineare Kennlinie im Gegensatz z B zur Diode Bei nicht reellen Widerstanden wird die sogenannte komplexe Rechnung erforderlich So lasst sich auch eine Analyse fur Wechselspannung durchfuhren wobei jede betrachtete Frequenz einzeln zu berechnen ist Damit eine Netzwerkanalyse moglich ist werden in dem Netzwerk Knotenpunkte Zweige und Maschen definiert Mithilfe der kirchhoffschen Regeln und den Strom Spannungs Beziehungen der Zweipole konnen ihnen dann Gleichungen zugeordnet werden Damit die mathematischen Gleichungssysteme zu einer eindeutigen Losung fuhren mussen die jeweiligen Gleichungen voneinander unabhangig sein nbsp Knoten 1 des NetzwerksEin Knotenpunkt ist dabei ein Punkt im Netzwerk in dem eine Stromverzweigung auftritt Wenn ein Netzwerk k displaystyle k nbsp Knotenpunkte besitzt dann gibt es insgesamt nur k 1 displaystyle k 1 nbsp unabhangige Knotengleichungen Eine hiervon in dem gezeigten Beispiel ist I 1 I 2 I 3 0 displaystyle I 1 I 2 I 3 0 nbsp nbsp Zweig 1 des NetzwerksEin Zweig ist die Verbindung zweier Knoten durch Zweipolelemente Wenn das Netzwerk z displaystyle z nbsp Zweige besitzt dann gibt es insgesamt auch z displaystyle z nbsp unabhangige Zweiggleichungen Im dargestellten Beispiel sind die Zweiggleichungen nach Ausnutzung der Bauelementgleichungen U z 1 R 1 I 1 U q 1 displaystyle U z1 R 1 cdot I 1 U q1 nbsp U z 2 R 2 I 2 displaystyle U z2 R 2 cdot I 2 nbsp U z 3 R 3 I 3 R 4 I 3 U q 2 displaystyle U z3 R 3 cdot I 3 R 4 cdot I 3 U q2 nbsp Als vollstandigen Baum bezeichnet man ein Gerust aus Zweigen welches alle Knoten verbindet wobei kein Knoten zweimal beruhrt werden darf Anschaulich ausgedruckt die gebildete Struktur darf keine Moglichkeiten bieten um im Kreis zu gehen Fur den Baum sind verschiedene Varianten moglich Insgesamt sind bei einem vollstandig vermaschten Netzwerk jeder Knoten hat einen Zweig zu jedem anderen Knoten k k 2 displaystyle k k 2 nbsp Varianten denkbar Im vorliegenden Beispiel ergeben sich drei unterschiedliche Baume da mehr als ein Zweig zwei Knoten miteinander verbindet nbsp Die einzelnen Zweige im Baum werden Baumzweige oder Aste genannt Wegen des Aufbaus des Baumes gibt es a k 1 displaystyle a k 1 nbsp Aste Alle Zweige die nicht zum Baum gehoren bezeichnet man als Sehnen oder auch Verbindungszweige Deren Anzahl entspricht der Zahl unabhangiger Maschengleichungen z k 1 displaystyle z k 1 nbsp die mit Hilfe des Maschensatzes aufgestellt werden konnen nbsp Masche 2 des NetzwerksEine Masche ist ein uber Zweige geschlossener Umlauf Fur eine einfache Analyse sollte stets ein Umlauf uber nur eine Sehne bzw einen Verbindungszweig gewahlt werden Fur den Fortlauf wird dieser Weg genutzt Der Umlaufsinn der m displaystyle m nbsp unabhangigen Maschen kann willkurlich festgelegt werden ist jedoch relevant fur spatere Berechnungen Im Beispiel sind die folgenden zwei Maschenumlaufe gewahlt M 1 U q 1 U 1 U 2 0 displaystyle M1 colon U q1 U 1 U 2 0 nbsp M 2 U q 2 U 3 U 4 U 2 0 displaystyle M2 colon U q2 U 3 U 4 U 2 0 nbsp Somit existieren k 1 displaystyle k 1 nbsp unabhangige Knotengleichungen m z k 1 displaystyle m z k 1 nbsp unabhangige Maschengleichungen und fur jeden Zweig eine Zweipolgleichung also z displaystyle z nbsp Zweipolgleichungen Mit diesem Gleichungssystem aus 2 z displaystyle 2z nbsp Gleichungen lassen sich deshalb alle 2 z displaystyle 2z nbsp gesuchten Grossen d h alle z displaystyle z nbsp Zweigstrome und alle z displaystyle z nbsp Zweigspannungen eindeutig ermitteln Zweigstromanalyse BearbeitenLineare elektrische NetzwerkeIdeales Element nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Elektrisches Bauelement nbsp nbsp nbsp nbsp Reihen und Parallelschaltung nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Netzwerkumformungen nbsp nbsp nbsp nbsp Generatorsatze Netzwerksatze nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Methoden der Netzwerkanalyse nbsp nbsp nbsp Zweitor Parameter nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Zur Losung mittels Zweigstromanalyse werden alle unabhangigen Knotengleichungen und die unabhangigen Maschengleichungen aufgestellt Anschliessend werden diese sortiert indem man diese nach Strom Widerstand auf der einen Seite der Gleichung und Spannungen auf der anderen Seite aufreiht Als Ergebnis erhalt man ein lineares Gleichungssystem Im gezeigten obigen Beispiel folgt hiermit dann in geordneter Reihenfolge Knotengleichung 1 Maschengleichung 1 und Maschengleichung 2 K 1 I 1 I 2 I 3 0 displaystyle K1 colon I 1 I 2 I 3 0 nbsp M 1 I 1 R 1 I 2 R 2 U q 1 displaystyle M1 colon I 1 R 1 I 2 R 2 U q1 nbsp M 2 I 2 R 2 I 3 R 3 I 3 R 4 U q 2 displaystyle M2 colon I 2 R 2 I 3 R 3 I 3 R 4 U q2 nbsp In Matrixschreibweise lautet nun das Gleichungssystem 1 1 1 R 1 R 2 0 0 R 2 R 3 R 4 I 1 I 2 I 3 0 U q 1 U q 2 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betrachteten Zweige durchgefuhrt Ergebnis Der gesuchte Teilstrom wurde ermittelt Maschenstromverfahren Bearbeiten Hauptartikel Maschenstromverfahren Mit zunehmender Komplexitat steigt der Aufwand zur Berechnung des Netzwerks mit der Zweigstromanalyse Eine Reduzierung des Rechenaufwands ergibt sich durch das Maschenstromverfahren auch als Schleifenanalyse bekannt nbsp Wien Brucke nbsp In das Baum Diagramm eingezeichnete MaschenVorgehen Kurzform Netzwerk vereinfachen Baum wahlen ideale Stromquellen als Sehne Nicht ideale Stromquellen in eine aquivalente Spannungsquelle umwandeln Maschen festlegen Matrix aufstellen r 11 r 1 n r n 1 r n n i M 1 i M n u q M 1 u q M n displaystyle begin pmatrix r 11 amp dots amp r 1n vdots amp ddots amp vdots r n1 amp dots amp r nn end pmatrix cdot begin pmatrix i M1 vdots i Mn end pmatrix begin pmatrix u qM1 vdots u qMn end pmatrix nbsp r i i R i n M i displaystyle r ii sum R in M i nbsp r i j r j i R in M i und M j Umlaufsinn M i M j displaystyle r ij r ji 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Restliche Knoten durchnummerieren Matrix aufstellen Knoten mit idealer Spannungsquelle weglassen g 11 g 1 n g n 1 g n n u 10 u n 0 i q 1 i q n displaystyle begin pmatrix g 11 amp dots amp g 1n vdots amp ddots amp vdots g n1 amp dots amp g nn end pmatrix cdot begin pmatrix u 10 vdots u n0 end pmatrix begin pmatrix i q1 vdots i qn end pmatrix nbsp g i i G mit Knoten i verbunden displaystyle g ii sum G text mit Knoten i text verbunden nbsp g i j g j i 1 G zwischen den Knoten i und j Koppelleitwerte displaystyle g ij g ji 1 cdot sum G text zwischen den Knoten i text und j text Koppelleitwerte nbsp i q i I q an Knoten I q vom Knoten weg fliessend sind negativ displaystyle i qi sum I q text an Knoten I q text vom Knoten weg fliessend sind negativ nbsp Bei mit idealer Spannungsquelle gekoppelter Knoten Spannungsquelle mit Koppelleitwert multiplizieren und zum Stromvektor addieren wenn der Spannungspfeil zum Bezugsknotenpotential hin zeigt andernfalls abziehen Gleichungssystem losen Zweigspannung Uij ui0 uj0 aus den Knotenpotentialen ermitteln und daraus den Zweigstrom erreichen Widerstandswurfel Bearbeiten nbsp Widerstandswurfel aus zwolf gleichen WiderstandenEin Problem der Netzwerkanalyse ist der sogenannte Widerstandswurfel der von zwolf gleichen wurfelformig miteinander verloteten ohmschen Widerstanden gebildet wird Fur diese Konstruktion ist der Gesamtwiderstand uber die Raumdiagonale A C zu ermitteln nbsp Wurfel mit bezeichneten Ecken und eingezeichneten DiagonalenDas Problem kann durch Symmetrieuberlegungen vereinfacht werden Der Widerstandswurfel wird mit zwolf gleichen Widerstanden aufgebaut und ist deshalb auch elektrisch symmetrisch 3 fache Rotationssymmetrie um die Raumdiagonale als Achse Durch die drei an einer Ecke nur an den Ecken auf der Raumdiagonale miteinander verbundenen Widerstande fliessen wegen der Symmetrie beim Anlegen einer Spannung auch gleich grosse Strome Die der betrachteten Ecke abgewandten Enden dieser drei Widerstande liegen deshalb untereinander ebenfalls auf demselben Potential Verbindet man Punkte gleichen Potentials Aquipotentialpunkte miteinander leitend fliesst uber diese Verbindungen kein Strom in Ermangelung einer Spannung zwischen diesen Daraus folgt dass diese zusatzlichen Verbindungen die Schaltung nicht verandern Ferner ist ersichtlich dass durch die Widerstande der gleiche Strom fliessen muss da an ihnen dieselbe Spannung abfallt So lassen sich am Widerstandswurfel bei der Ermittlung des Gesamtwiderstands uber den Ecken der Raumdiagonalen in der Grafik die Ecken A und C zwei mal drei potentialgleiche Punkte in der Grafik die Punkte A B D und B C D finden die ohne eine elektrische Veranderung zu verursachen jeweils miteinander verbunden werden konnen Nach dem Herstellen dieser Verbindungen ergibt sich die ubersichtliche Reihenschaltung einer Parallelschaltung von drei Widerstanden mit einer Parallelschaltung von sechs Widerstanden und einer Parallelschaltung von drei Widerstanden 1 R g e s 1 3 R 1 6 R 1 3 R 5 6 R displaystyle R mathrm ges frac 1 3 cdot R frac 1 6 cdot R frac 1 3 cdot R frac 5 6 cdot R nbsp Siehe auch BearbeitenNetzwerk Elektrotechnik Norton Theorem Ersatzstromquelle Thevenin Theorem ErsatzspannungsquelleLiteratur BearbeitenHorst Elschner Albrecht Moschwitzer Albrecht Reibiger Rechnergestutzte Analyse in der Elektronik Reihe Informationselektronik Verlag Technik Berlin 1977 Arnold Fuhrer Klaus Heidemann Wolfgang Nerreter Grundgebiete der Elektrotechnik Band 1 Stationare Vorgange Carl Hanser Verlag Munchen u a 1983 ISBN 3 446 13677 0 L W Nagel R A Rohrer Computer Analysis of Nonlinear Circuits Excluding Radiation In IEEE Journal of Solid State Circuits Vol 6 Nr 4 1971 ISSN 0018 9200 S 166 182 L W Nagel Spice 2 A Computer Programm to Simulate Semiconductor Circuits University of California Berkeley CA Erl Memorandum Nr Erl M520 1975 Jiri Vlach Kishore Singhal Computer Methods for Circuit Analysis and Design 2 Auflage Van Nostrand Reinhold New York NY 1993 ISBN 0 442 01194 6 Gert Hagmann Grundlagen der Elektrotechnik 15 Auflage AULA Verlag Wiebelsheim ISBN 978 3 89104 747 7Einzelnachweise Bearbeiten Heinrich Hemme Mathematik zum Fruhstuck 89 mathematische Ratsel mit ausfuhrlichen Losungen 2 neu bearbeitete Auflage Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 2003 ISBN 3 525 40734 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Netzwerkanalyse Elektrotechnik amp oldid 206979907