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Norton Theorem Das nach Edward Lawry Norton auch Mayer besagt in der Theorie linearer elektrischer Netzwerke dass jede m

Norton-Theorem

Das Norton-Theorem (nach Edward Lawry Norton; auch: Mayer-Norton-Theorem) besagt in der Theorie linearer elektrischer Netzwerke, dass jede mögliche Kombination von linearen Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen bezüglich zweier Klemmen elektrisch äquivalent zu einer Parallelschaltung aus einer Stromquelle und einem ohmschen Widerstand ist. Äquivalenz bedeutet, dass sich bei gleicher äußerer Belastung gleiches Verhalten von Spannung und Stromstärke einstellt.

Diese Ersatzschaltung wird Norton-Äquivalent oder Ersatzstromquelle genannt. Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet.

Berechnung des Norton-Äquivalents Bearbeiten

Jede elektrische Schaltung, die ausschließlich aus linearen Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen besteht, kann in ein Norton-Äquivalent umgewandelt werden.

Das Norton-Äquivalent besteht aus einem ohmschen Widerstand und einer Stromquelle mit dem Kurzschlussstrom . Um die zwei Unbekannten und zu bestimmen, werden zwei Gleichungen benötigt. Diese Gleichungen können auf verschiedene Art und Weise aufgestellt werden.

Wenn sich die Schaltung nicht wie eine ideale Spannungsquelle verhält, gilt für :

  • Der Ausgangsstrom bei Kurzschluss zwischen A und B ist zugleich .

Für gibt es verschiedene Methoden:

  • Im Schaltbild werden alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse ersetzt und alle Stromquellen durch Unterbrechungen. Die Innenwiderstände der Quellen verbleiben jedoch in der Schaltung. Damit wird der Ersatzwiderstand berechnet. Dieser ist gleich dem Norton-Äquivalentwiderstand.
  • Ist ein Leerlauf (keine Verbindung von A nach B) zulässig und die Leerlaufspannung bekannt, wird das ohmsche Gesetz benutzt:
  • Ein bekannter Widerstand wird an A-B angeschlossen und die Stromstärke gemessen. Mit Hilfe des Stromteilergesetzes kann dann bestimmt werden.

Der Beweis des Norton-Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip.

Umwandlung zwischen Norton- und Thévenin-Äquivalent Bearbeiten

Zwei äquivalente Quellen

Ein Norton-Äquivalent (lineare Stromquelle) und ein Thévenin-Äquivalent (lineare Spannungsquelle) sind gegenseitig äquivalente Quellen. Eine Austauschbarkeit ist unter folgenden zwei Festlegungen gegeben:

  • Das ist in beiden nebenstehend gezeigten Schaltungen dasselbe (wobei sein muss)

Frage zum Verständnis Bearbeiten

Diese Frage bewährt sich, um die Grenzen der Theorie von Norton- und Thévenin-Äquivalent zu verdeutlichen.

Mit diesem Unterschied verbunden ist der Unterschied in den Wirkungsgraden der Spannungsquelle und der Stromquelle, siehe Wirkungsgrad der Stromquelle. Wo immer es auf die Erzielung eines hohen Wirkungsgrades ankommt, sind die Äquivalente nicht austauschbar.

Erweiterung für Wechselstrom Bearbeiten

Das Norton-Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden, indem Impedanzen statt der ohmschen Widerstände verwendet werden. Bei Anwendung im Wechselstrombereich ergeben sich jedoch auch Quellen mit frequenzabhängiger Amplitude und Phase. Daher ist eine praktische Anwendung für Wechselstromersatzschaltungen eher selten bzw. auf eine Frequenz beschränkt.

Geschichte Bearbeiten

Das Norton-Theorem ist eine Erweiterung des Thévenin-Theorems.

Es wurde 1926 gleichzeitig und unabhängig durch Hans Ferdinand Mayer (1895–1980) (bei Siemens & Halske) und Edward Lawry Norton (1898–1983) (bei Bell Labs) entdeckt. Mayer veröffentlichte seine Entdeckung in der Zeitschrift Telegraphen- und Fernsprech-Technik, Norton publizierte seine Entdeckung in einem internen Arbeitsbericht der Bell Labs.

Literatur Bearbeiten

  • Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29290-X.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Marlene Marinescu, Nicolae Marinescu: Elektrotechnik für Studium und Praxis: Gleich-, Wechsel- und Drehstrom, Schalt- und nichtsinusförmige Vorgänge. Springer Vieweg, 2016, S. 61 ff
  2. Heinz Josef Bauckholt: Grundlagen und Bauelemente der Elektrotechnik. Hanser, 7. Aufl., 2013, S. 87 f
  3. ↑ Peter Kurzweil (Hrsg.), Bernhard Frenzel, Florian Gebhard: Physik Formelsammlung: Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg + Teubner, 2. Aufl., 2009, S. 223.
  4. Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 1: Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld. Springer Vieweg, 11. Aufl., 2018, S. 47 f
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Das Norton Theorem nach Edward Lawry Norton auch Mayer Norton Theorem besagt in der Theorie linearer elektrischer Netzwerke dass jede mogliche Kombination von linearen Spannungsquellen Stromquellen und Widerstanden bezuglich zweier Klemmen elektrisch aquivalent zu einer Parallelschaltung aus einer Stromquelle und einem ohmschen Widerstand R displaystyle R ist 1 2 Aquivalenz bedeutet dass sich bei gleicher ausserer Belastung gleiches Verhalten von Spannung und Stromstarke einstellt 3 Diese Ersatzschaltung wird Norton Aquivalent oder Ersatzstromquelle genannt Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung des Norton Aquivalents 2 Umwandlung zwischen Norton und Thevenin Aquivalent 3 Frage zum Verstandnis 4 Erweiterung fur Wechselstrom 5 Geschichte 6 Literatur 7 EinzelnachweiseBerechnung des Norton Aquivalents Bearbeiten nbsp Jede elektrische Schaltung die ausschliesslich aus linearen Spannungsquellen Stromquellen und Widerstanden besteht kann in ein Norton Aquivalent umgewandelt werden Das Norton Aquivalent besteht aus einem ohmschen Widerstand R No displaystyle R text No nbsp und einer Stromquelle mit dem Kurzschlussstrom I No displaystyle I text No nbsp Um die zwei Unbekannten R No displaystyle R text No nbsp und I No displaystyle I text No nbsp zu bestimmen werden zwei Gleichungen benotigt Diese Gleichungen konnen auf verschiedene Art und Weise aufgestellt werden Wenn sich die Schaltung nicht wie eine ideale Spannungsquelle verhalt gilt fur I No displaystyle I text No nbsp Der Ausgangsstrom bei Kurzschluss zwischen A und B ist zugleich I No displaystyle I text No nbsp Fur R No displaystyle R text No nbsp gibt es verschiedene Methoden Im Schaltbild werden alle Spannungsquellen durch Kurzschlusse ersetzt und alle Stromquellen durch Unterbrechungen Die Innenwiderstande der Quellen verbleiben jedoch in der Schaltung Damit wird der Ersatzwiderstand berechnet 4 Dieser ist gleich dem Norton Aquivalentwiderstand Ist ein Leerlauf keine Verbindung von A nach B zulassig und die Leerlaufspannung U L displaystyle U text L nbsp bekannt wird das ohmsche Gesetz benutzt R N o U L I N o displaystyle R mathrm No frac U text L I mathrm No nbsp Ein bekannter Widerstand wird an A B angeschlossen und die Stromstarke gemessen Mit Hilfe des Stromteilergesetzes kann dann R N o displaystyle R mathrm No nbsp bestimmt werden Besonders einfach ist die Auswertung wenn der bekannte Widerstand so einstellbar ist dass der halbe Kurzschlussstrom durch den Widerstand fliesst Dann ist der eingestellte Widerstand so gross wie R No displaystyle R text No nbsp Der Beweis des Norton Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip Umwandlung zwischen Norton und Thevenin Aquivalent Bearbeiten nbsp Zwei aquivalente QuellenEin Norton Aquivalent lineare Stromquelle und ein Thevenin Aquivalent lineare Spannungsquelle sind gegenseitig aquivalente Quellen Eine Austauschbarkeit ist unter folgenden zwei Festlegungen gegeben 3 Das R i displaystyle R mathrm i nbsp ist in beiden nebenstehend gezeigten Schaltungen dasselbe wobei 0 lt R i lt displaystyle 0 lt R text i lt infty nbsp sein muss U 0 I K R i displaystyle U 0 I mathrm K cdot R mathrm i nbsp Frage zum Verstandnis BearbeitenFrage In zwei schwarzen Kistchen seien eine Stromquelle mit Parallelwiderstand und eine Spannungsquelle mit Serienwiderstand verborgen so dass obige Gleichungen erfullt sind Kann man von aussen feststellen in welchem schwarzen Kistchen sich die Norton Schaltung befindet Antwort Ja Das Kistchen mit der Norton Schaltung ist warmer denn es nimmt dauernd die Leistung P N o I N o 2 R N o displaystyle P mathrm No I mathrm No 2 R mathrm No nbsp auf Die Thevenin Schaltung nimmt keine Leistung auf und wird deshalb nicht warmer Die Aquivalenz besteht also nur bezuglich der Ausgangsklemmen Belastet man beide Kistchen jedoch mit einem Kurzschluss so nimmt das Kistchen mit der Thevenin Schaltung die Leistung P T h U T h 2 R T h displaystyle P mathrm Th frac U mathrm Th 2 R mathrm Th nbsp auf da nun Strom durch den Thevenin Widerstand fliesst Die Norton Schaltung dagegen nimmt keine Leistung mehr auf da der Norton Widerstand kurzgeschlossen ist Die Leistung die die Norton Schaltung im offenen Fall aufnimmt ist gleich gross wie die Leistung die von der Thevenin Schaltung im kurzgeschlossen Fall aufgenommen wird Diese Frage bewahrt sich um die Grenzen der Theorie von Norton und Thevenin Aquivalent zu verdeutlichen Mit diesem Unterschied verbunden ist der Unterschied in den Wirkungsgraden der Spannungsquelle und der Stromquelle siehe Wirkungsgrad der Stromquelle Wo immer es auf die Erzielung eines hohen Wirkungsgrades ankommt sind die Aquivalente nicht austauschbar Erweiterung fur Wechselstrom BearbeitenDas Norton Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden indem Impedanzen statt der ohmschen Widerstande verwendet werden Bei Anwendung im Wechselstrombereich ergeben sich jedoch auch Quellen mit frequenzabhangiger Amplitude und Phase Daher ist eine praktische Anwendung fur Wechselstromersatzschaltungen eher selten bzw auf eine Frequenz beschrankt Geschichte BearbeitenDas Norton Theorem ist eine Erweiterung des Thevenin Theorems Es wurde 1926 gleichzeitig und unabhangig durch Hans Ferdinand Mayer 1895 1980 bei Siemens amp Halske und Edward Lawry Norton 1898 1983 bei Bell Labs entdeckt Mayer veroffentlichte seine Entdeckung in der Zeitschrift Telegraphen und Fernsprech Technik Norton publizierte seine Entdeckung in einem internen Arbeitsbericht der Bell Labs Literatur BearbeitenKarl Kupfmuller W Mathis A Reibiger Theoretische Elektrotechnik Springer Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 29290 X Einzelnachweise Bearbeiten Marlene Marinescu Nicolae Marinescu Elektrotechnik fur Studium und Praxis Gleich Wechsel und Drehstrom Schalt und nichtsinusformige Vorgange Springer Vieweg 2016 S 61 ff Heinz Josef Bauckholt Grundlagen und Bauelemente der Elektrotechnik Hanser 7 Aufl 2013 S 87 f a b Peter Kurzweil Hrsg Bernhard Frenzel Florian Gebhard Physik Formelsammlung Mit Erlauterungen und Beispielen aus der Praxis fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Vieweg Teubner 2 Aufl 2009 S 223 Wilfried Weissgerber Elektrotechnik fur Ingenieure 1 Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld Springer Vieweg 11 Aufl 2018 S 47 f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Norton Theorem amp oldid 189296702