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Thévenin Theorem Das nach Léon Charles Thévenin auch Helmholtz oder Helmholtz Satz besagt in der Theorie linearer elektr

Thévenin-Theorem

Das Thévenin-Theorem (nach Léon Charles Thévenin; auch: Helmholtz-Thévenin-Theorem oder Helmholtz-Satz) besagt in der Theorie linearer elektrischer Netzwerke, dass jede mögliche Kombination von linearen Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen bezüglich zweier Klemmen elektrisch äquivalent zu einer Reihenschaltung aus einer Spannungsquelle und einem ohmschen Widerstand ist. Äquivalenz bedeutet, dass sich bei gleicher äußerer Belastung gleiches Verhalten von Spannung und Stromstärke einstellt.

Diese Ersatzschaltung wird Thévenin-Äquivalent oder Ersatzspannungsquelle genannt. Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet.

Berechnung des Thévenin-Äquivalents Bearbeiten

Jede elektrische Schaltung, die ausschließlich aus linearen Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen besteht, kann in ein Thévenin-Äquivalent umgewandelt werden.

Das Thévenin-Äquivalent besteht aus einem ohmschen Widerstand und einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung . Um die zwei Unbekannten und zu bestimmen, werden zwei Gleichungen benötigt. Diese Gleichungen können auf verschiedene Art und Weise aufgestellt werden.

Wenn sich die Schaltung nicht wie eine ideale Stromquelle verhält, gilt für :

  • Die Ausgangsspannung bei offenen Klemmen A–B ist die Leerlaufspannung und zugleich .

Für gibt es verschiedene Methoden:

  • Im Schaltbild werden alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und alle Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt. Die Innenwiderstände der Quellen verbleiben jedoch in der Schaltung. Damit wird der Ersatzwiderstand berechnet. Dieser ist gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand.
  • Ist ein Kurzschluss von A nach B zulässig und der Kurzschlussstrom bekannt, wird das Ohmsche Gesetz benutzt
  • Ein bekannter Widerstand wird an A–B angeschlossen und die Spannung gemessen. Mit Hilfe des Spannungsteilergesetzes kann dann bestimmt werden.

Der Beweis des Thévenin-Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip.

Umwandlung zwischen Norton- und Thévenin-Äquivalent Bearbeiten

Zwei äquivalente Quellen

Ein Thévenin-Äquivalent (lineare Spannungsquelle) und ein Norton-Äquivalent (lineare Stromquelle) sind gegenseitig äquivalente Quellen. Eine Austauschbarkeit ist unter folgenden zwei Festlegungen gegeben:

  • Das ist in beiden nebenstehend gezeigten Schaltungen dasselbe (wobei sein muss)

Gleichwohl gibt es im Wirkungsgrad einen Unterschied zwischen der Ersatzspannungsquelle und der Ersatzstromquelle, siehe Wirkungsgrad der Stromquelle. Wo immer es auf die Erzielung eines hohen Wirkungsgrades ankommt, sind die Ersatzschaltungen nicht austauschbar. Die unterschiedlichen Wirkungsgrade ergeben sich aus den inneren Verlusten. In den Grenzfällen Kurzschluss und Leerlauf sind sie besonders ausgeprägt.

Bei Kurzschluss
  ()		 In der Stromquelle fließt kein Strom im Innenwiderstand. So entsteht wie im idealen Modell intern kein Verlust.
In der Spannungsquelle liegt die Spannung vollständig am Innenwiderstand. Er wird bei maximalem Strom „geheizt“.
Bei Leerlauf
   ()		 In der Stromquelle fließt der Strom vollständig im Innenwiderstand. Er wird bei maximaler Spannung „geheizt“.
In der Spannungsquelle liegt keine Spannung am Innenwiderstand. So entsteht wie im idealen Modell intern kein Verlust.

Erweiterung für Wechselstrom Bearbeiten

Das Thévenin-Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden, indem elektrische Impedanzen statt der ohmschen Widerstände verwendet werden. Bei Anwendung im Wechselstrombereich ergeben sich jedoch auch Quellen mit frequenzabhängiger Amplitude und Phase. Daher ist eine praktische Anwendung für Wechselstromersatzschaltungen eher selten, oder sie ist auf eine Frequenz beschränkt.

Geschichte Bearbeiten

Das Thévenin-Theorem wurde zuerst vom deutschen Wissenschaftler Hermann von Helmholtz 1853 entdeckt. Es wurde dann 1883 vom französischen Ingenieur Léon Charles Thévenin (1857–1926) wiederentdeckt.

Literatur Bearbeiten

  • Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29290-X.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Marlene Marinescu, Nicolae Marinescu: Elektrotechnik für Studium und Praxis: Gleich-, Wechsel- und Drehstrom, Schalt- und nichtsinusförmige Vorgänge. Springer Vieweg, 2016, S. 61 ff
  2. Heinz Josef Bauckholt: Grundlagen und Bauelemente der Elektrotechnik. Hanser, 7. Aufl., 2013, S. 82–88
  3. ↑ Peter Kurzweil (Hrsg.), Bernhard Frenzel, Florian Gebhard: Physik Formelsammlung: Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg + Teubner, 2. Aufl., 2009, S. 223
  4. Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 1: Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld. Springer Vieweg, 11. Aufl., 2018, S. 47
  5. Johnson, D. H. (2003). Origins of the equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent. Proceedings of the IEEE, 91(4), 636–640. doi:10.1109/JPROC.2003.811716.
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Das Thevenin Theorem nach Leon Charles Thevenin auch Helmholtz Thevenin Theorem oder Helmholtz Satz besagt in der Theorie linearer elektrischer Netzwerke dass jede mogliche Kombination von linearen Spannungsquellen Stromquellen und Widerstanden bezuglich zweier Klemmen elektrisch aquivalent zu einer Reihenschaltung aus einer Spannungsquelle und einem ohmschen Widerstand R displaystyle R ist 1 2 Aquivalenz bedeutet dass sich bei gleicher ausserer Belastung gleiches Verhalten von Spannung und Stromstarke einstellt 3 Diese Ersatzschaltung wird Thevenin Aquivalent oder Ersatzspannungsquelle genannt Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung des Thevenin Aquivalents 2 Umwandlung zwischen Norton und Thevenin Aquivalent 3 Erweiterung fur Wechselstrom 4 Geschichte 5 Literatur 6 EinzelnachweiseBerechnung des Thevenin Aquivalents Bearbeiten nbsp Jede elektrische Schaltung die ausschliesslich aus linearen Spannungsquellen Stromquellen und Widerstanden besteht kann in ein Thevenin Aquivalent umgewandelt werden Das Thevenin Aquivalent besteht aus einem ohmschen Widerstand R Th displaystyle R text Th nbsp und einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U Th displaystyle U text Th nbsp Um die zwei Unbekannten R Th displaystyle R text Th nbsp und U Th displaystyle U text Th nbsp zu bestimmen werden zwei Gleichungen benotigt Diese Gleichungen konnen auf verschiedene Art und Weise aufgestellt werden Wenn sich die Schaltung nicht wie eine ideale Stromquelle verhalt gilt fur U Th displaystyle U text Th nbsp Die Ausgangsspannung bei offenen Klemmen A B ist die Leerlaufspannung und zugleich U Th displaystyle U text Th nbsp Fur R Th displaystyle R text Th nbsp gibt es verschiedene Methoden Im Schaltbild werden alle Spannungsquellen durch Kurzschlusse und alle Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt 4 Die Innenwiderstande der Quellen verbleiben jedoch in der Schaltung Damit wird der Ersatzwiderstand berechnet Dieser ist gleich dem Thevenin Aquivalentwiderstand Ist ein Kurzschluss von A nach B zulassig und der Kurzschlussstrom I K displaystyle I mathrm K nbsp bekannt wird das Ohmsche Gesetz benutztR Th U Th I K displaystyle R text Th frac U text Th I mathrm K nbsp Ein bekannter Widerstand wird an A B angeschlossen und die Spannung gemessen Mit Hilfe des Spannungsteilergesetzes kann dann R Th displaystyle R text Th nbsp bestimmt werden Eine gelaufige Variante dieser Methode ist die der Halb Spannung Der Widerstand an A B ist so veranderlich dass die Halfte der Leerlaufspannung uber A B abfallt Der veranderliche Widerstand ist dann gleich R Th displaystyle R text Th nbsp Der Beweis des Thevenin Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip Umwandlung zwischen Norton und Thevenin Aquivalent Bearbeiten nbsp Zwei aquivalente QuellenEin Thevenin Aquivalent lineare Spannungsquelle und ein Norton Aquivalent lineare Stromquelle sind gegenseitig aquivalente Quellen Eine Austauschbarkeit ist unter folgenden zwei Festlegungen gegeben 3 Das R i displaystyle R mathrm i nbsp ist in beiden nebenstehend gezeigten Schaltungen dasselbe wobei 0 lt R i lt displaystyle 0 lt R text i lt infty nbsp sein muss U 0 I K R i displaystyle U 0 I mathrm K cdot R mathrm i nbsp Gleichwohl gibt es im Wirkungsgrad einen Unterschied zwischen der Ersatzspannungsquelle und der Ersatzstromquelle siehe Wirkungsgrad der Stromquelle Wo immer es auf die Erzielung eines hohen Wirkungsgrades ankommt sind die Ersatzschaltungen nicht austauschbar Die unterschiedlichen Wirkungsgrade ergeben sich aus den inneren Verlusten In den Grenzfallen Kurzschluss und Leerlauf sind sie besonders ausgepragt Bei Kurzschluss U k l 0 displaystyle U mathrm kl 0 nbsp In der Stromquelle fliesst kein Strom im Innenwiderstand So entsteht wie im idealen Modell intern kein Verlust In der Spannungsquelle liegt die Spannung U 0 displaystyle U 0 nbsp vollstandig am Innenwiderstand Er wird bei maximalem Strom I K displaystyle I mathrm K nbsp geheizt Bei Leerlauf I 0 displaystyle I 0 nbsp In der Stromquelle fliesst der Strom I K displaystyle I mathrm K nbsp vollstandig im Innenwiderstand Er wird bei maximaler Spannung U 0 displaystyle U 0 nbsp geheizt In der Spannungsquelle liegt keine Spannung am Innenwiderstand So entsteht wie im idealen Modell intern kein Verlust Erweiterung fur Wechselstrom BearbeitenDas Thevenin Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden indem elektrische Impedanzen statt der ohmschen Widerstande verwendet werden Bei Anwendung im Wechselstrombereich ergeben sich jedoch auch Quellen mit frequenzabhangiger Amplitude und Phase Daher ist eine praktische Anwendung fur Wechselstromersatzschaltungen eher selten oder sie ist auf eine Frequenz beschrankt Geschichte BearbeitenDas Thevenin Theorem wurde zuerst vom deutschen Wissenschaftler Hermann von Helmholtz 1853 entdeckt Es wurde dann 1883 vom franzosischen Ingenieur Leon Charles Thevenin 1857 1926 wiederentdeckt 5 Literatur BearbeitenKarl Kupfmuller W Mathis A Reibiger Theoretische Elektrotechnik Springer Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 29290 X Einzelnachweise Bearbeiten Marlene Marinescu Nicolae Marinescu Elektrotechnik fur Studium und Praxis Gleich Wechsel und Drehstrom Schalt und nichtsinusformige Vorgange Springer Vieweg 2016 S 61 ff Heinz Josef Bauckholt Grundlagen und Bauelemente der Elektrotechnik Hanser 7 Aufl 2013 S 82 88 a b Peter Kurzweil Hrsg Bernhard Frenzel Florian Gebhard Physik Formelsammlung Mit Erlauterungen und Beispielen aus der Praxis fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Vieweg Teubner 2 Aufl 2009 S 223 Wilfried Weissgerber Elektrotechnik fur Ingenieure 1 Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld Springer Vieweg 11 Aufl 2018 S 47 Johnson D H 2003 Origins of the equivalent circuit concept the voltage source equivalent Proceedings of the IEEE 91 4 636 640 doi 10 1109 JPROC 2003 811716 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Thevenin Theorem amp oldid 237816097