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Landau-Niveau

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Die Landau-Niveaus (nach Lew Dawidowitsch Landau) sind in der Quantenmechanik die Niveaus der transversalen Energie eines geladenen Teilchen, das sich in einem homogenen Magnetfeld bewegt. Während nach den Gesetzen der klassischen Physik das Teilchen jede belilebige transversale Energie annehmen kann, ist dies in der Quantenmechanik nicht möglich, sondern die Energie ist quantisiert, das heißt, die transversale Energie kann nur diskrete, durch eine natürliche Zahl charakterisierte Werte annehmen. In Bezug auf die longitudinale Bewegung in Richtung des Magnetfeldes ist die Energie auch nach der quantenmechanischen Behandlung nicht quantisiert und identisch zur klassischen Herangehensweise. Im zweidimensionalen, transversalen Impulsraum bilden die Landau-Niveaus Kreise; im dreidimensionalen Impulsraum die Landau-Zylinder. Die Aufspaltung in Landau-Niveaus lässt sich zum Beispiel in der Festkörperphysik messen (De-Haas-van-Alphen-Effekt). Dort sind die transversalen Impulse zusätzlich aufgrund des Kristallgitters gequantelt. Es lässt sich dann zeigen, dass auf jedem Landau-Zylinder exakt gleich viele Zustände liegen.

Die Energie eines geladenen Teilchens der Masse (z. B. eines Elektrons) und Ladung (beim Elektron ist mit der Elementarladung e) in einem homogenen Magnetfeld in -Richtung, lautet:

Dabei ist der Impuls des Teilchens in -Richtung, die „Zyklotronfrequenz“ (korrekt eigentlich Zyklotronwinkelgeschwindigkeit) und die reduzierte Planck-Konstante. Weist das geladene Teilchen auch einen Spin auf, so führt dies zu einer zusätzlichen Aufspaltung der Niveaus nach der Quantenzahl für die -Komponente (= Magnetfeldrichtung) des Spins:

Die transversalen Bahnkurven der Teilchen in der klassischen Physik sind Kreise; in quantenmechanischer Behandlung können nur Aufenthaltswahrscheinlichkeiten angegeben werden. Diese werden im Fall eines homogenen Magnetfelds durch zwei Quantenzahlen und bestimmt, wobei diese durch in Zusammenhang mit der Energie stehen. Da weder noch direkt in die Energie eingehen, sind die Energieniveaus unendlichfach entartet (zur Form der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Ortsraum siehe unten).

Herleitung mithilfe der Schrödingergleichung Bearbeiten

Die hier dargestellte Herleitung orientiert sich an den Referenzen und der Originalarbeit.

Ein Teilchen der Masse und der Ladung befinde sich in einem homogenen Magnetfeld , das nur eine Komponente in -Richtung aufweise. Dieses Feld kann auf mehrere Weisen durch Vektorpotentiale dargestellt werden (siehe #Eichung des Vektorpotentials). Zur Herleitung der Energieeigenwerte bietet es sich an, die Eichung

zu verwenden, denn rot A = B.

Man erhält dann den Hamilton-Operator dieses Systems zu

indem man die Orts- und Impulsvariablen der Hamilton-Funktion eines klassischen geladenen Teilchens durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt (→ Korrespondenzprinzip). Aus der klassischen Behandlung weiß man, dass die Lösung des Problems eine schraubenförmige Bewegung in -Richtung ist. Darum ist es sinnvoll, die folgende Aufteilung des Hamilton-Operators in einen longitudinalen (entlang der Magnetfeld-Richtung) und einen dazu transversalen Teil vorzunehmen:

wobei ersetzt wurde. Da und vertauschen, kann eine gemeinsame Basis von Eigenzuständen gefunden werden und die Eigenwerte der beiden Operatoren können getrennt voneinander berechnet werden.

  • beschreibt die Bewegung eines freien Teilchens in -Richtung und hat entsprechend ein kontinuierliches Spektrum an Eigenwerten , wobei die Eigenwerte des Impulsoperators sind.
  • Um die Energieeigenwerte von zu erhalten, führt man folgende Operatoren ein:
Damit ist:
was der Form eines quantenharmonischen Oszillators entspricht. Insbesondere gilt zwischen und die Vertauschungsrelation . Das Spektrum von ist somit gleich dem des harmonischen Oszillators diskret mit

Die Gesamtenergie ergibt sich aus der Summe der Eigenenergien von und :

Für eine feste Geschwindigkeit erhält man damit einen zum Magnetfeld proportionalen festen Niveauabstand:

Die Schrödinger-Gleichung berücksichtigt nicht den Spin des geladenen Teilchens. Diesem kann künstlich über einen heuristischen Zusatzterm Rechnung getragen werden, der die Schrödinger-Gleichung in die Pauli-Gleichung überführt. Statt die Pauli-Gleichung zu verwenden, kann bei der Herleitung auch die relativistische Dirac-Gleichung verwendet werden, die den Spin ebenfalls berücksichtigt (siehe unten).

Eichung des Vektorpotentials Bearbeiten

Im Obigen wurde das Magnetfeld durch das Vektorpotential ausgedrückt. Da das Vektorpotential keine Messgröße ist und nur über seine Rotation eingeht, kann man zum Vektorpotential den Gradienten einer beliebigen skalaren Funktion addieren. Beispiele für andere Vektorpotentiale sind oder . Man kann leicht zeigen, dass sich in allen drei Fällen über wieder obiges Magnetfeld ergibt. Die ersten beiden Wahlen des Vektorpotentials erhalten die Translationsinvarianz entweder entlang der y- oder der x-Achse; die dritte Eichung erhält Rotationsinvarianz des Systems. Es ist nicht möglich, ein Vektorpotential zu wählen, das in alle Richtungen translations- als auch rotationsinvariant ist.

Führt man beim Vektorpotential eine Eichung durch, dann ändert sich auch die Wellenfunktion vermittels . Dieser Phasenfaktor hat ebenfalls keinen physikalischen Einfluss. Umgekehrt kann auch, falls die Wellenfunktionen für eine bestimmte Eichung bestimmt wurden, der Phasenfaktor der Wellenfunktion geändert werden, was sich wiederum auf die Eichung auswirkt.

Die im Obigen verwendete Wahl von wird oft als Landau-Eichung bezeichnet; jedoch benutzte Landau selbst die rotationssymmetrische Eichung . Zur Bestimmung der Wellenfunktion führte er jedoch eine Eichtransformation der Wellenfunktion durch, die auf das translationsinvariante Vektorpotential führt. In den modernen Abhandlungen wird gleich diese Eichung verwendet und als „Landau-Eichung“ bezeichnet.

Wellenfunktion Bearbeiten

Für eine detaillierte Lösung des Problems in der rotationsymmetrischen Eichung siehe den frei verfügbaren Artikel von Orion Ciftja.
Der Artikel für die nicht rotationssymmetrische Lösung von Landau ist ebenfalls frei verfügbar.

Zur Bestimmung der Wellenfunktion wird im Folgenden die rotationssymmetrische Eichung in Zylinderkoordinaten verwendet,

Der Vorteil dieser Eichung ist, dass die resultierenden Wellenfunktionen ebenfalls rotationssymmetrisch sind und als Eigenfunktionen des Drehimpulses in -Richtung ausgedrückt werden können. Da der transversale Anteil entkoppelt, wird im Folgenden angenommen. Dann lässt sich der Hamilton-Operator in Ortsdarstellung als

ausdrücken, wobei der Drehimpulsoperator eingeführt wurde. Dieser Drehimpulsoperator vertauscht mit dem Hamilton-Operator, sodass gemeinsame Eigenfunktionen von und gefunden werden können. Die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators sind und die Eigenwerte des Drehimpulsoperators sind . Dieser Winkelanteil ist manifest invariant unter einer Transformation . Dies motiviert den Ansatz

und die Eigenwertgleichung reduziert sich auf eine Differentialgleichung in einer Variablen

Die Variablentransformation führt schließlich zur Differentialgleichung

wobei wieder die Zyklotronfrequenz ist.

Da quadratintegrabel sein soll, darf weder für noch für zu stark divergieren. Ohne auf die mathematische Motivation dieses Ansatzes einzugehen, werden diese Forderungen durch

erfüllt, wobei maximal polynomiell von abhängen darf. Die Exponentialfunktion mit negativem Exponenten sorgt dabei für ein rasches Abfallen für ; der von der Quantenzahl abhängige Term der Wellenfunktion sorgt im Wechselspiel mit den Ableitungsoperatoren dafür, dass dem Term proportional zu im Hamilton-Operator Sorge getragen wird. Dies führt zur Differentialgleichung

deren Lösungen im Allgemeinen die Kummerschen Funktionen mit und sind. Die Kummerschen Funktionen wachsen jedoch, außer für die Wahl , für exponentiell. Dies wird ersichtlich, wenn man für einen Potenzreihenansatz wählt; nur für spezielle Wahlen von bricht die Reihe ab. Die Lösungen für diese ganzzahligen sind die zugeordneten Laguerre-Polynome .

Die Lösung der (nicht normierten) transversalen Eigenfunktionen des Hamiltonoperators lauten daher nach der Rücksubstitution

die Eigenwerte ergeben sich zu

Dies steht insbesondere nicht im Widerspruch zu den obigen Ergebnissen. Der Term kann nur ganzzahlige Werte annehmen, die im vorherigen Kapitel mit unter der gemeinsamen Quantenzahl zusammengefasst wurden. Die Energieeigenwerte sind daher nicht nur in kontinuierlich entartet, sondern ebenfalls diskret in .

Herleitung mithilfe der Dirac-Gleichung Bearbeiten

Die untere Herleitung erfolgt ausgehend von der Dirac-Gleichung. Die obere Herleitung mit der Schrödinger-Gleichung liefert ohne Zusatzterme nicht die Energie-Auspaltung durch die Spin-Einstellung und auch nicht den additiven Term der Ruheenergie. Im Folgenden werden die in der relativistischen Quantenmechanik üblichen natürlichen Einheiten mit verwendet.

Die Dirac-Gleichung lautet:

Dabei ist ein Vierer-Spinor. Die und sind die vier vierdimensionalen Dirac-Matrizen. Eine mögliche Darstellung der Dirac-Matrizen lautet mit den drei zweidimensionalen Pauli-Matrizen und der zweidimensionalen Einheitsmatrix , die in der folgenden Notation unterdrückt wird,

Über die minimale Kopplung wird das Vektorpotential im Impulsterm der Bewegungsgleichung berücksichtigt. Mit dem obigen Vektorpotential für das spezielle Problem ergibt sich:

In dieser Form zerfällt in zwei Zweier-Spinoren und die Matrix-Gleichungen lassen sich ausmulitiplieren. Sie lauten dann:

Einer der beiden Spinoren kann nun eliminiert werden. Auflösen der zweiten Gleichung nach liefert:

Dies wird in die erste Gleichung eingesetzt:

Beim Ausmultiplizieren der rechten Seite ist es notwendig, die Reihenfolge der Operatoren zu beachten. Weiterhin ist es vorteilhaft, in Komponentenform, , zu arbeiten. Dann kann die Relation zwischen den Pauli-Matrizen ausgenutzt werden, um diverse Terme zu vereinfachen, wobei das Kronecker-Symbol und das Levi-Civita-Symbol ist. Damit folgt:

Die ersten beiden Terme können quadratisch ergänzt werden. Es ergibt sich

Da der Spinoperator mit allen anderen Operatoren kommutiert, kann immer eine gemeinsame Eigenbasis dieses Operators mit den anderen gefunden werden und es gilt . Dividiert man die Gleichung durch , bringt den Spin-Term auf die linke Seite und führt die Ersetzung durch, folgt

Diese Gleichung hat bis auf die Ersetzung

dieselbe Form wie im nichtrelativistischen Fall, obgleich ein zweikomponentiger Spinor ist. Da alle Operatoren im Spinraum jedoch proportional zur Einheitsmatrix sind, ist dies für die Lösung nicht von Belang. Aus der Lösung der nichtrelativistischen Schrödingergleichung kann entsprechend die Lösung der Dirac-Gleichung abgeleitet werden:

Ist die Bewegungsenergie in -Richtung und die Bewegungsenergie des harmonischen Oszillators klein gegenüber der Masse, kann die Wurzel im ersten Klammerterm entwickelt werden und es gilt:

Zusätzlich zu den Termen, die aus der Schrödinger-Gleichung folgen, existieren die konstante Ruheenergie, die keinen Einfluss auf die Niveauabstände hat, und der Spin-Term , der Landé-Faktor des Elektrons ergibt sich aus der Diracgleichung also zu g=2.

Weiteres Bearbeiten

Es lässt sich zeigen, dass die Entartung der Landau-Niveaus proportional zur magnetischen Flussdichte ist: . Mit der obigen Erkenntnis, dass die Niveauabstände ebenfalls proportional zu sind, kann man die im De-Haas-van-Alphen-Effekt auftretenden Oszillationen in physikalischen Größen, die von der Zustandsdichte abhängen, erklären: Wird das Magnetfeld erhöht, so steigt die Energie der Landauniveaus an, während gleichzeitig ihre Entartung ansteigt. Elektronen werden daher in ein tiefer gelegenes Niveau wandern. Daher wird, falls das oberste zunächst besetzte Landau-Niveau (also das ehemalige Fermi-Niveau) vollständig geleert wurde, das nächsttiefere Landau-Niveau plötzlich zum Fermi-Niveau.

Literatur Bearbeiten

  • L. Landau: Diamagnetismus der Metalle. In: Zeitschrift für Physik. Band 64, Nr. 9-10, September 1930, ISSN 1434-6001, S. 629–637, doi:10.1007/BF01397213 (Online).
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Quantum Mechanics: Non-relativistic theory. 3. Auflage. Pergamon Press, Oxford 1977, ISBN 0-08-019012-X, S. 455ff.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 3. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2005, ISBN 3-11-013592-2, S. 700.
  • Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57723-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Lev Landau: Diamagnetismus der Metalle. (PDF) Abgerufen am 18. März 2023.
  2. L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Quantum Mechanics: Non-relativistic theory. 3. Auflage. Pergamon Press, Oxford, 1977, S. 455ff.
  3. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 3. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2005, ISBN 3-11-013592-2.
  4. L. Landau: Diamagnetismus der Metalle. In: Zeitschrift für Physik. Band 64, Nr. 9-10, September 1930, ISSN 1434-6001, S. 629–637, doi:10.1007/BF01397213.
  5. Detailed solution of the problem of Landau states in a symmetric gauge. In: iopscience.iop.org. 2020, abgerufen am 21. April 2023 (englisch).
  6. Orion Ciftja: Detailed solution of the problem of Landau states in a symmetric gauge. In: European Journal of Physics. Band 41, Nr. 3, 2020.
  7. Kittel, Festkörperphysik, Auflage 9, S. 286.
  8. Kittel, Festkörperphysik, Auflage 9, S. 287.
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Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Die Landau Niveaus nach Lew Dawidowitsch Landau sind in der Quantenmechanik die Niveaus der transversalen Energie eines geladenen Teilchen das sich in einem homogenen Magnetfeld bewegt Wahrend nach den Gesetzen der klassischen Physik das Teilchen jede belilebige transversale Energie annehmen kann ist dies in der Quantenmechanik nicht moglich sondern die Energie ist quantisiert das heisst die transversale Energie kann nur diskrete durch eine naturliche Zahl n displaystyle n charakterisierte Werte annehmen In Bezug auf die longitudinale Bewegung in Richtung des Magnetfeldes ist die Energie auch nach der quantenmechanischen Behandlung nicht quantisiert und identisch zur klassischen Herangehensweise Im zweidimensionalen transversalen Impulsraum bilden die Landau Niveaus Kreise im dreidimensionalen Impulsraum die Landau Zylinder Die Aufspaltung in Landau Niveaus lasst sich zum Beispiel in der Festkorperphysik messen De Haas van Alphen Effekt Dort sind die transversalen Impulse zusatzlich aufgrund des Kristallgitters gequantelt Es lasst sich dann zeigen dass auf jedem Landau Zylinder exakt gleich viele Zustande liegen Die Energie eines geladenen Teilchens der Masse m displaystyle m z B eines Elektrons und Ladung q displaystyle q beim Elektron ist q e displaystyle q e mit der Elementarladung e in einem homogenen Magnetfeld B displaystyle B in z displaystyle z Richtung lautet 1 E n p z ℏ w c n 1 2 p z 2 2 m n N 0 p z R displaystyle E n p z hbar omega c left n frac 1 2 right frac p z 2 2m quad n in mathbb N 0 p z in mathbb R Dabei ist p z displaystyle p z der Impuls des Teilchens in z displaystyle z Richtung w c q B m displaystyle omega c q cdot B m die Zyklotronfrequenz korrekt eigentlich Zyklotronwinkelgeschwindigkeit und ℏ displaystyle hbar die reduzierte Planck Konstante Weist das geladene Teilchen auch einen Spin auf so fuhrt dies zu einer zusatzlichen Aufspaltung der Niveaus nach der Quantenzahl s z displaystyle s z fur die z displaystyle z Komponente Magnetfeldrichtung des Spins 2 E n p z s z ℏ w c n 1 2 p z 2 2 m g s q ℏ 2 m s z B displaystyle E n p z s z hbar omega c left n frac 1 2 right frac p z 2 2m g s frac q hbar 2m cdot s z B quad wobei g s displaystyle g s der Lande Faktor ist beim Elektron also g s 2 002 3 displaystyle g s 2 0023 dots Die transversalen Bahnkurven der Teilchen in der klassischen Physik sind Kreise in quantenmechanischer Behandlung konnen nur Aufenthaltswahrscheinlichkeiten angegeben werden Diese werden im Fall eines homogenen Magnetfelds durch zwei Quantenzahlen n r N 0 displaystyle n r in mathbb N 0 und ℓ Z displaystyle ell in mathbb Z bestimmt wobei diese durch n n r ℓ ℓ 2 displaystyle n n r tfrac ell ell 2 in Zusammenhang mit der Energie stehen Da weder n r displaystyle n r noch ℓ displaystyle ell direkt in die Energie eingehen sind die Energieniveaus unendlichfach entartet zur Form der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Ortsraum siehe unten Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung mithilfe der Schrodingergleichung 1 1 Eichung des Vektorpotentials 1 2 Wellenfunktion 2 Herleitung mithilfe der Dirac Gleichung 3 Weiteres 4 Literatur 5 EinzelnachweiseHerleitung mithilfe der Schrodingergleichung BearbeitenDie hier dargestellte Herleitung orientiert sich an den Referenzen 3 und der Originalarbeit 4 Ein Teilchen der Masse m displaystyle m nbsp und der Ladung q displaystyle q nbsp befinde sich in einem homogenen Magnetfeld B r B x y z 0 0 B displaystyle vec B vec r vec B x y z left 0 0 B right nbsp das nur eine Komponente in z displaystyle z nbsp Richtung aufweise Dieses Feld kann auf mehrere Weisen durch Vektorpotentiale A r displaystyle vec A vec r nbsp dargestellt werden siehe Eichung des Vektorpotentials Zur Herleitung der 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1 2 m omega c 2 hat Q 2 nbsp dd was der Form eines quantenharmonischen Oszillators entspricht Insbesondere gilt zwischen P displaystyle hat P nbsp und Q displaystyle hat Q nbsp die Vertauschungsrelation Q P x p x displaystyle hat Q hat P hat x hat p x nbsp Das Spektrum von H displaystyle hat H perp nbsp ist somit gleich dem des harmonischen Oszillators diskret mitE ℏ w c n 1 2 n N 0 displaystyle E perp hbar omega c left n tfrac 1 2 right quad n in mathbb N 0 nbsp dd Die Gesamtenergie ergibt sich aus der Summe der Eigenenergien von H displaystyle hat H perp nbsp und H displaystyle hat H parallel nbsp E ℏ w c n 1 2 p z 2 2 m displaystyle E hbar omega c left n frac 1 2 right frac p z 2 2m nbsp Fur eine feste Geschwindigkeit v z displaystyle v z nbsp erhalt man damit einen zum Magnetfeld B displaystyle B nbsp proportionalen festen Niveauabstand D E ℏ w c q B ℏ m displaystyle Delta E hbar omega c frac q cdot B cdot hbar m nbsp Die Schrodinger Gleichung berucksichtigt nicht den Spin des geladenen Teilchens Diesem kann kunstlich uber einen heuristischen Zusatzterm Rechnung getragen werden der die Schrodinger Gleichung in die Pauli Gleichung uberfuhrt Statt die Pauli Gleichung zu verwenden kann bei der Herleitung auch die relativistische Dirac Gleichung verwendet werden die den Spin ebenfalls berucksichtigt siehe unten Eichung des Vektorpotentials Bearbeiten Im Obigen wurde das Magnetfeld durch das Vektorpotential A 0 x B 0 T displaystyle vec A 0 xB 0 mathrm T nbsp ausgedruckt Da das Vektorpotential keine Messgrosse ist und nur uber seine Rotation eingeht kann man zum Vektorpotential den Gradienten einer beliebigen skalaren Funktion f displaystyle vec nabla f nbsp addieren Beispiele fur andere Vektorpotentiale sind A x y B 0 0 T displaystyle vec A vec x yB 0 0 mathrm T nbsp oder A x 1 2 y B x B 0 T displaystyle vec A vec x tfrac 1 2 yB xB 0 mathrm T nbsp Man kann leicht zeigen dass sich in allen drei Fallen uber B A displaystyle vec B vec nabla times vec A nbsp wieder obiges Magnetfeld ergibt Die ersten beiden Wahlen des Vektorpotentials erhalten die Translationsinvarianz entweder entlang der y oder der x Achse die dritte Eichung erhalt Rotationsinvarianz des Systems Es ist nicht moglich ein Vektorpotential zu wahlen das in alle Richtungen translations als auch rotationsinvariant ist Fuhrt man beim Vektorpotential eine Eichung A A f displaystyle vec A vec A vec nabla f nbsp durch dann andert sich auch die Wellenfunktion vermittels ps e i q f ps displaystyle psi e mathrm i qf psi nbsp Dieser Phasenfaktor hat ebenfalls keinen physikalischen Einfluss Umgekehrt kann auch falls die Wellenfunktionen fur eine bestimmte Eichung bestimmt wurden der Phasenfaktor der Wellenfunktion geandert werden was sich wiederum auf die Eichung auswirkt Die im Obigen verwendete Wahl von A displaystyle vec A nbsp wird oft als Landau Eichung bezeichnet jedoch benutzte Landau selbst die rotationssymmetrische Eichung A 1 2 B y e x 1 2 B x e y displaystyle vec A tfrac 1 2 By hat e x tfrac 1 2 Bx hat e y nbsp 1 Zur Bestimmung der Wellenfunktion fuhrte er jedoch eine Eichtransformation der Wellenfunktion durch die auf das translationsinvariante Vektorpotential fuhrt In den modernen Abhandlungen wird gleich diese Eichung verwendet und als Landau Eichung bezeichnet Wellenfunktion Bearbeiten Fur eine detaillierte Losung des Problems in der rotationsymmetrischen Eichung siehe den frei verfugbaren Artikel von Orion Ciftja 5 Der Artikel fur die nicht rotationssymmetrische Losung von Landau ist ebenfalls frei verfugbar 1 Zur Bestimmung der Wellenfunktion wird im Folgenden die rotationssymmetrische Eichung in Zylinderkoordinaten verwendet A 1 2 B r e ϕ displaystyle vec A frac 1 2 Br vec e phi nbsp Der Vorteil dieser Eichung ist dass die resultierenden Wellenfunktionen ebenfalls rotationssymmetrisch sind und als Eigenfunktionen des Drehimpulses in z displaystyle z nbsp Richtung ausgedruckt werden konnen Da der transversale Anteil entkoppelt wird im Folgenden p z 0 displaystyle p z 0 nbsp angenommen Dann lasst sich der Hamilton Operator in Ortsdarstellung als H 1 2 m ℏ 2 r 2 ℏ 2 1 r r ℏ 2 1 r 2 ϕ 2 q 2 B 2 r 2 2 i ℏ q B ϕ 1 2 m ℏ 2 r 2 ℏ 2 1 r r 1 r 2 L z 2 q 2 B 2 r 2 2 q B L z displaystyle begin aligned hat H amp frac 1 2m left hbar 2 partial r 2 hbar 2 frac 1 r partial r hbar 2 frac 1 r 2 partial phi 2 q 2 B 2 r 2 2 mathrm i hbar qB partial phi right amp frac 1 2m left hbar 2 partial r 2 hbar 2 frac 1 r partial r frac 1 r 2 hat L z 2 q 2 B 2 r 2 2qB hat L z right end aligned nbsp ausdrucken wobei der Drehimpulsoperator L z i ℏ ϕ displaystyle hat L z mathrm i hbar partial phi nbsp eingefuhrt wurde Dieser Drehimpulsoperator vertauscht mit dem Hamilton Operator sodass gemeinsame Eigenfunktionen von L z displaystyle hat L z nbsp und H displaystyle hat H nbsp gefunden werden konnen Die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators sind e i ℓ ϕ ℓ Z displaystyle e mathrm i ell phi ell in mathbb Z nbsp und die Eigenwerte des Drehimpulsoperators sind ℏ ℓ displaystyle hbar ell nbsp Dieser Winkelanteil ist manifest invariant unter einer Transformation ϕ ϕ ϕ 2 p displaystyle phi to phi phi 2 pi nbsp Dies motiviert den Ansatz ps r ϕ ps r e i ℓ ϕ displaystyle psi r phi tilde psi r e mathrm i ell phi nbsp und die Eigenwertgleichung reduziert sich auf eine Differentialgleichung in einer Variablen E ps 1 2 m ℏ 2 r 2 ℏ 2 1 r r 1 r 2 ℓ 2 q 2 B 2 r 2 2 q B ℓ ps displaystyle E tilde psi frac 1 2m left hbar 2 partial r 2 hbar 2 frac 1 r partial r frac 1 r 2 ell 2 q 2 B 2 r 2 2qB ell right tilde psi nbsp Die Variablentransformation 3 q B r 2 2 ℏ displaystyle xi tfrac qBr 2 2 hbar nbsp fuhrt schliesslich zur Differentialgleichung 3 3 2 3 ℓ 2 4 3 3 4 E ℏ w c ℓ 2 ps 0 displaystyle left xi partial xi 2 partial xi frac ell 2 4 xi frac xi 4 frac E hbar omega c frac ell 2 right tilde psi 0 nbsp wobei w c displaystyle omega c nbsp wieder die Zyklotronfrequenz ist Da ps displaystyle tilde psi nbsp quadratintegrabel sein soll darf ps displaystyle tilde psi nbsp weder fur r 0 displaystyle r to 0 nbsp noch fur r displaystyle r to infty nbsp zu stark divergieren Ohne auf die mathematische Motivation dieses Ansatzes einzugehen werden diese Forderungen durch ps exp 3 2 3 ℓ 2 R 3 displaystyle tilde psi exp left xi 2 right xi ell 2 R xi nbsp erfullt wobei R 3 displaystyle R xi nbsp maximal polynomiell von r displaystyle r nbsp abhangen darf Die Exponentialfunktion mit negativem Exponenten sorgt dabei fur ein rasches Abfallen fur 3 displaystyle xi to infty nbsp der von der Quantenzahl ℓ displaystyle ell nbsp abhangige Term der Wellenfunktion sorgt im Wechselspiel mit den Ableitungsoperatoren dafur dass dem Term proportional zu 3 1 ℓ 2 displaystyle xi 1 ell 2 nbsp im Hamilton Operator Sorge getragen wird Dies fuhrt zur Differentialgleichung 3 3 2 1 ℓ 3 3 E ℏ w ℓ ℓ 1 2 R 3 0 displaystyle left xi partial xi 2 left 1 ell xi right partial xi left frac E hbar omega frac ell ell 1 2 right right R xi 0 nbsp deren Losungen im Allgemeinen die Kummerschen Funktionen 1 F 1 n r b 3 displaystyle 1 F 1 n r b xi nbsp mit n r E ℏ w ℓ ℓ 1 2 displaystyle textstyle n r frac E hbar omega frac ell ell 1 2 nbsp und b 1 ℓ displaystyle b 1 ell nbsp sind Die Kummerschen Funktionen wachsen jedoch ausser fur die Wahl n r N 0 displaystyle n r in mathbb N 0 nbsp fur 3 displaystyle xi to infty nbsp exponentiell Dies wird ersichtlich wenn man fur R 3 displaystyle R xi nbsp einen Potenzreihenansatz wahlt nur fur spezielle Wahlen von n r displaystyle n r nbsp bricht die Reihe ab Die Losungen fur diese ganzzahligen n r displaystyle n r nbsp sind die zugeordneten Laguerre Polynome L n r ℓ 3 displaystyle L n r ell xi nbsp Die Losung der nicht normierten transversalen Eigenfunktionen des Hamiltonoperators lauten daher nach der Rucksubstitution 6 ps n r ℓ r ϕ exp q B r 2 4 ℏ q B r 2 2 ℏ ℓ 2 L n r ℓ q B r 2 2 ℏ exp i ℓ ϕ displaystyle psi n r ell r phi exp left frac qBr 2 4 hbar right left frac qBr 2 2 hbar right ell 2 L n r ell left frac qBr 2 2 hbar right exp mathrm i ell phi nbsp die Eigenwerte ergeben sich zu E n r ℓ ℏ w n r 1 2 ℓ ℓ 2 displaystyle E n r ell hbar omega left n r frac 1 2 frac ell ell 2 right nbsp Dies steht insbesondere nicht im Widerspruch zu den obigen Ergebnissen Der Term ℓ ℓ 2 displaystyle tfrac ell ell 2 nbsp kann nur ganzzahlige Werte annehmen die im vorherigen Kapitel mit n r displaystyle n r nbsp unter der gemeinsamen Quantenzahl n displaystyle n nbsp zusammengefasst wurden Die Energieeigenwerte sind daher nicht nur in p z displaystyle p z nbsp kontinuierlich entartet sondern ebenfalls diskret in ℓ displaystyle ell nbsp Herleitung mithilfe der Dirac Gleichung BearbeitenDie untere Herleitung erfolgt ausgehend von der Dirac Gleichung Die obere Herleitung mit der Schrodinger Gleichung liefert ohne Zusatzterme nicht die Energie Auspaltung durch die Spin Einstellung und auch nicht den additiven Term der Ruheenergie Im Folgenden werden die in der relativistischen Quantenmechanik ublichen naturlichen Einheiten mit c ℏ 1 displaystyle c hbar 1 nbsp verwendet Die Dirac Gleichung lautet E ps H ps i g 0 g g 0 m ps displaystyle E psi H psi mathrm i gamma 0 vec gamma cdot vec nabla gamma 0 m psi nbsp Dabei ist ps displaystyle psi nbsp ein Vierer Spinor Die g displaystyle vec gamma nbsp und g 0 displaystyle gamma 0 nbsp sind die vier vierdimensionalen Dirac Matrizen Eine mogliche Darstellung der Dirac Matrizen lautet mit den drei zweidimensionalen Pauli Matrizen s displaystyle vec sigma nbsp und der zweidimensionalen Einheitsmatrix I 2 displaystyle I 2 nbsp die in der folgenden Notation unterdruckt wird g 0 I 2 0 0 I 2 g 0 g 0 s s 0 displaystyle gamma 0 begin pmatrix I 2 amp 0 0 amp I 2 end pmatrix qquad gamma 0 vec gamma begin pmatrix 0 amp vec sigma vec sigma amp 0 end pmatrix nbsp Uber die minimale Kopplung i q A displaystyle vec nabla rightarrow vec nabla mathrm i q vec A nbsp wird das Vektorpotential im Impulsterm der Bewegungsgleichung berucksichtigt Mit dem obigen Vektorpotential fur das spezielle Problem ergibt sich E ps i g 0 g q g 0 g A g 0 m ps m i s q x 1 B s 2 i s q x 1 B s 2 m ps displaystyle begin aligned E psi amp mathrm i gamma 0 vec gamma cdot vec nabla q gamma 0 vec gamma cdot vec A gamma 0 m psi amp begin pmatrix m amp mathrm i vec sigma cdot vec nabla qx 1 B sigma 2 mathrm i vec sigma cdot vec nabla qx 1 B sigma 2 amp m end pmatrix psi end aligned nbsp In dieser Form zerfallt ps displaystyle psi nbsp in zwei Zweier Spinoren ps ϕ 1 ϕ 2 displaystyle textstyle psi begin pmatrix phi 1 phi 2 end pmatrix nbsp und die Matrix Gleichungen lassen sich ausmulitiplieren Sie lauten dann E ϕ 1 m ϕ 1 q x 1 B s 2 i s ϕ 2 E ϕ 2 m ϕ 2 q x 1 B s 2 i s ϕ 1 displaystyle begin aligned E phi 1 amp m phi 1 qx 1 B sigma 2 mathrm i vec sigma cdot vec nabla phi 2 E phi 2 amp m phi 2 qx 1 B sigma 2 mathrm i vec sigma cdot vec nabla phi 1 end aligned nbsp Einer der beiden Spinoren kann nun eliminiert werden Auflosen der zweiten Gleichung nach ϕ 2 displaystyle phi 2 nbsp liefert ϕ 2 q x 1 B s 2 i s E m ϕ 1 displaystyle phi 2 frac qx 1 B sigma 2 mathrm i vec sigma cdot vec nabla E m phi 1 nbsp Dies wird in die erste Gleichung eingesetzt E 2 m 2 ϕ 1 q x 1 B s 2 i s 2 ϕ 1 displaystyle E 2 m 2 phi 1 qx 1 B sigma 2 mathrm i vec sigma cdot vec nabla 2 phi 1 nbsp Beim Ausmultiplizieren der rechten Seite ist es notwendig die Reihenfolge der Operatoren zu beachten Weiterhin ist es vorteilhaft in Komponentenform s s i i displaystyle vec sigma cdot vec nabla sigma i partial i nbsp zu arbeiten Dann kann die Relation zwischen den Pauli Matrizen s i s j d i j i e i j k s k displaystyle sigma i sigma j delta ij mathrm i varepsilon ijk sigma k nbsp ausgenutzt werden um diverse Terme zu vereinfachen wobei d i j displaystyle delta ij nbsp das Kronecker Symbol und e i j k displaystyle varepsilon ijk nbsp das Levi Civita Symbol ist Damit folgt E 2 m 2 ϕ 1 q 2 x 1 2 B 2 s 2 2 ϕ 1 i q x 1 B s 2 s i i ϕ 1 i q B s i s 2 i x 1 ϕ 1 s i s j i j ϕ 1 q 2 x 1 2 B 2 ϕ 1 2 i q x 1 B 2 ϕ 1 q B s 3 ϕ 1 i i ϕ 1 displaystyle begin aligned E 2 m 2 phi 1 amp q 2 x 1 2 B 2 sigma 2 2 phi 1 mathrm i qx 1 B sigma 2 sigma i partial i phi 1 mathrm i qB sigma i sigma 2 partial i x 1 phi 1 sigma i sigma j partial i partial j phi 1 amp q 2 x 1 2 B 2 phi 1 2 mathrm i qx 1 B partial 2 phi 1 qB sigma 3 phi 1 partial i partial i phi 1 end aligned nbsp Die ersten beiden Terme konnen quadratisch erganzt werden Es ergibt sich E 2 m 2 ϕ 1 q x 1 B i 2 2 ϕ 1 q B s 3 ϕ 1 1 2 ϕ 1 3 2 ϕ 1 displaystyle E 2 m 2 phi 1 qx 1 B mathrm i partial 2 2 phi 1 qB sigma 3 phi 1 partial 1 2 phi 1 partial 3 2 phi 1 nbsp Da der Spinoperator mit allen anderen Operatoren kommutiert kann immer eine gemeinsame Eigenbasis dieses Operators mit den anderen gefunden werden und es gilt s 3 2 ϕ 1 s z ϕ 1 displaystyle frac sigma 3 2 phi 1 s z phi 1 nbsp Dividiert man die Gleichung durch 2 m displaystyle 2m nbsp bringt den Spin Term auf die linke Seite und fuhrt die Ersetzung i i p i displaystyle mathrm i partial i hat p i nbsp durch folgt E 2 m 2 2 m q B s z m ϕ 1 1 2 m q x 1 B p 2 2 p 1 2 p 3 2 ϕ 1 displaystyle left frac E 2 m 2 2m frac qBs z m right phi 1 frac 1 2m left qx 1 B hat p 2 2 hat p 1 2 hat p 3 2 right phi 1 nbsp Diese Gleichung hat bis auf die Ersetzung E n i c h t r e l E r e l 2 m 2 2 m q B s z m displaystyle E mathrm nichtrel Leftrightarrow frac E mathrm rel 2 m 2 2m frac qBs z m nbsp dieselbe Form wie im nichtrelativistischen Fall obgleich ϕ 1 displaystyle phi 1 nbsp ein zweikomponentiger Spinor ist Da alle Operatoren im Spinraum jedoch proportional zur Einheitsmatrix sind ist dies fur die Losung nicht von Belang Aus der Losung der nichtrelativistischen Schrodingergleichung kann entsprechend die Losung der Dirac Gleichung abgeleitet werden E 2 m 2 2 m q B s z m n 1 2 w c p 3 2 2 m E 2 m n 1 2 w c p 3 2 2 m q B s z m m 2 displaystyle begin aligned frac E 2 m 2 2m frac qBs z m amp left n frac 1 2 right omega c frac p 3 2 2m E amp sqrt 2m left left n frac 1 2 right omega c frac p 3 2 2m frac qBs z m right m 2 end aligned nbsp Ist die Bewegungsenergie in z displaystyle z nbsp Richtung und die Bewegungsenergie des harmonischen Oszillators klein gegenuber der Masse kann die Wurzel im ersten Klammerterm entwickelt werden und es gilt E m n 1 2 w c p 3 2 2 m q B s z m displaystyle E approx m left n frac 1 2 right omega c frac p 3 2 2m frac qBs z m nbsp Zusatzlich zu den Termen die aus der Schrodinger Gleichung folgen existieren die konstante Ruheenergie die keinen Einfluss auf die Niveauabstande hat und der Spin Term q B s z m 2 q B 2 m s z displaystyle tfrac qBs z m 2 cdot tfrac qB 2m s z nbsp der Lande Faktor des Elektrons ergibt sich aus der Diracgleichung also zu g 2 Weiteres BearbeitenEs lasst sich zeigen dass die Entartung D displaystyle D nbsp der Landau Niveaus proportional zur magnetischen Flussdichte ist D B displaystyle D propto B nbsp 7 Mit der obigen Erkenntnis dass die Niveauabstande D E ℏ w c e B ℏ m displaystyle Delta E hbar omega c frac e cdot B cdot hbar m nbsp ebenfalls proportional zu B displaystyle B nbsp sind kann man die im De Haas van Alphen Effekt auftretenden Oszillationen in physikalischen Grossen die von der Zustandsdichte abhangen erklaren Wird das Magnetfeld erhoht so steigt die Energie der Landauniveaus an wahrend gleichzeitig ihre Entartung ansteigt Elektronen werden daher in ein tiefer gelegenes Niveau wandern Daher wird falls das oberste zunachst besetzte Landau Niveau also das ehemalige Fermi Niveau vollstandig geleert wurde das nachsttiefere Landau Niveau plotzlich zum Fermi Niveau 8 Literatur BearbeitenL Landau Diamagnetismus der Metalle In Zeitschrift fur Physik Band 64 Nr 9 10 September 1930 ISSN 1434 6001 S 629 637 doi 10 1007 BF01397213 Online L D Landau E M Lifschitz Quantum Mechanics Non relativistic theory 3 Auflage Pergamon Press Oxford 1977 ISBN 0 08 019012 X S 455ff Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantenmechanik 1 3 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2005 ISBN 3 11 013592 2 S 700 Charles Kittel Einfuhrung in die Festkorperphysik Oldenbourg Munchen 2005 ISBN 3 486 57723 9 Einzelnachweise Bearbeiten a b c Lev Landau Diamagnetismus der Metalle PDF Abgerufen am 18 Marz 2023 L D Landau E M Lifschitz Quantum Mechanics Non relativistic theory 3 Auflage Pergamon Press Oxford 1977 S 455ff Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantenmechanik 1 3 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2005 ISBN 3 11 013592 2 L Landau Diamagnetismus der Metalle In Zeitschrift fur Physik Band 64 Nr 9 10 September 1930 ISSN 1434 6001 S 629 637 doi 10 1007 BF01397213 Detailed solution of the problem of Landau states in a symmetric gauge In iopscience iop org 2020 abgerufen am 21 April 2023 englisch Orion Ciftja Detailed solution of the problem of Landau states in a symmetric gauge In European Journal of Physics Band 41 Nr 3 2020 Kittel Festkorperphysik Auflage 9 S 286 Kittel Festkorperphysik Auflage 9 S 287 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Landau Niveau amp oldid 233387468