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Shimura Varietät en sind höherdimensionale Analoga von Modulkurven Sie werden gebildet als Quotient eines symmetrischen

Shimura-Varietät

Shimura-Varietäten sind höherdimensionale Analoga von Modulkurven. Sie werden gebildet als Quotient eines symmetrischen hermiteschen Raumes bezüglich einer Kongruenzuntergruppe einer reduktiven algebraischen Gruppe (definiert über den rationalen Zahlen).

Hauptteil Bearbeiten

Elliptische Modulfunktionen und -formen wurden im 19. Jahrhundert intensiv untersucht, auch in Verbindung mit zahlentheoretischen Fragen. Hilberts 12. Problem fragte nach speziellen Funktionen, die die gleiche Rolle bei der Beschreibung der Erweiterung algebraischer Zahlkörper spielen wie die Exponentialfunktion beim Satz von Kronecker-Weber. Erste Beispiele untersuchte David Hilbert selbst mit Hilbertschen Modulflächen. Diese sind – neben den erwähnten Modulkurven (z. B. Kleinsche Quartik) – auch Beispiele für Shimura-Varietäten, ebenso wie Siegelsche Modulformen. Die eigentliche Theorie der Shimura-Varietäten begann mit Goro Shimura (und Yutaka Taniyama), und dessen Theorie abelscher Varietäten mit komplexer Multiplikation. Shimura zeigte, dass Shimura-Varietäten (die Benennung erfolgte 1968 durch Yasutaka Ihara) kanonische Modelle über bestimmten Zahlkörpern hatten. Die Theorie wurde von Pierre Deligne verallgemeinert und axiomatisiert und Shimura-Varietäten spielen eine bedeutende Rolle im Langlands-Programm. Langlands testete damit 1979 seine Vermutung, dass alle motivischen L-Funktionen automorphe L-Funktionen sind und sie dienen dort auch als Quelle für Galoisdarstellungen.

Shimura-Varietäten parametrisieren gemischte Hodge-Strukturen speziellen Typs. Ein Spezialfall sind wieder Modulkurven, die elliptische Kurven parametrisieren.

Formale Definition Bearbeiten

Notation:

wobei über die endlichen primen Elemente von läuft.

Shimura-Datum Bearbeiten

Ein Shimura-Datum ist ein Paar bestehend aus einer reduktiven Gruppe über und einer -Konjugationsklasse von Homomorphismen , welche folgende Punkte erfüllen:

2) Für alle ist eine Cartan-Involution von .
3) hat keinen -Faktor auf dem die Projektion von trivial ist.

Beispiel Bearbeiten

  • und definiert durch
und sei die Menge der -Konjugierten von
Dann ist ein Shimura-Datum.

Shimura-Varietät Bearbeiten

Sei ein Shimura-Datum.

Doppelnebenklassen-Raum Bearbeiten

Für eine kompakte, offene Teilgruppe , definiere den Doppelnebenklassen-Raum (englisch double coset space)

mit der Operation

Diese Operation bedeutet operiert auf beiden Komponenten und jeweils von links. operiert nur auf der zweiten Komponente und zwar von rechts.

Vereinigung von algebraischen Varietäten Bearbeiten

ist eine endliche disjunkte Vereinigung von arithmetischen lokal-symmetrischen Varietäten

(siehe z. B. für die Definition solcher algebraischer Varietäten ).

Inverses System Bearbeiten

Wenn wir (genügend klein) variieren, erhalten wir ein inverses System (auch projektives System genannt) von algebraischen Varietäten

operiert auf diesem System durch

und

Dieses inverse System ausgestattet mit der Operation von heißt Shimura-Varietät und wird mit notiert.

André-Oort-Vermutung Bearbeiten

Die von Yves André (1989) und Frans Oort (1995, in verallgemeinerter Form) aufgestellte Vermutung betrifft die Verteilung sogenannter spezieller Punkte (auch CM-Punkte genannt, da sie Varietäten mit komplexer Multiplikation parametrisieren) auf Untervarietäten von Shimura-Varietäten. Diese Untervarietäten müssen nicht selbst Shimua-Varietäten sein. Die Vermutung von André und Oort besagt, dass sie Shimura-Varietäten (bzw. Vereinigungen von Shimura-Varietäten) sind, falls sie besonders viele spezielle Punkte enthalten (technisch: sie beinhalten eine Zariski-dichte Menge von speziellen Punkten). Umgekehrt enthalten Untervarietäten, die keine Shimura-Varietäten sind, nur eine beschränkte Anzahl spezieller Punkte. Nach verschiedenen Spezialfällen konnte 2014 die Vermutung selbst unter Voraussetzung der verallgemeinerten Riemannvermutung (Bruno Klingler, Andrei Yafaev, Emmanuel Ullmo) – einer recht starken Einschränkung – gezeigt werden. Im Jahr 2021 bewiesen Jonathan Pila, Ananth N. Shankar, Jacob Tsimerman, Hélène Esnault und Michael Groechenig die André-Oort-Vermutung in voller Allgemeinheit. Pila gelang ein Fortschritt bei der Aufzählung spezieller Punkte auf Shimura-Varietäten über die Einführung von neuartigen Höhen als Maße für die Punkte. Die Vervollständigung des Beweises gelang Pila, Shankar und Tsimerman nach Vorarbeiten von Gal Biniyamini, Harry Schmidt und Andrei Yafaev (2019/20) und einem Beitrag von Hélène Esnault und Michael Groechenig (2021, Appendix zur Arbeit von Pila, Shankar, Tsimerman).

Literatur Bearbeiten

  • James Milne: Introduction to Shimura Varieties. In: Clay Math. Proc. Band 4, 2005, American Mathematical Society, S. 265–378, [1] (PDF überarbeitete Fassung).
  • J. S. Milne: What is a Shimura variety ? Notices AMS, 2012, Nr. 12 [2] (PDF).
  • Goro Shimura: Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton UP 1971.
  • Goro Shimura: Automorphic functions and number theory. Springer 1968.
  • Pierre Deligne: Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, Nr. 389, 1970/71 (Lecture Notes in Mathematics Nr. 244, 1971).
  • Pierre Deligne: Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques. In: Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. Sympos. Pure Math. 33, Band 2, American Mathematical Society 1979.
  • Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi: Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. In: Lecture Notes in Mathematics. 900, Springer 1982.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Langlands: Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen. In: Armand Borel, William Casselman (Hrsg.): Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. Band 33, Teil 1, Chelsea Publ. 1979, S. 205–246.
  2. Victor Roger: Introduction to Shimura Varieties. Hrsg.: Centre de Recerca Matemàtica. 2005, S. 20 (upc.edu [PDF]).
  3. James Milne: Introduction to Shimura Varieties. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Clay Math. Proc. Band 4, 2005, S. 26 (jmilne.org [PDF]).
  4. James Milne: Introduction to Shimura Varieties. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Clay Math. Proc. Band 4, 2005, S. 42 (jmilne.org [PDF]).
  5. James Milne: Introduction to Shimura Varieties. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Clay Math. Proc. Band 4, 2005, S. 54–55 (jmilne.org [PDF]).
  6. James Milne: Introduction to Shimura Varieties. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Clay Math. Proc. Band 4, 2005, S. 55 (jmilne.org [PDF]).
  7. James Milne: Introduction to Shimura Varieties. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Clay Math. Proc. Band 4, 2005, S. 38–39 (jmilne.org [PDF]).
  8. James Milne: Introduction to Shimura Varieties. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Clay Math. Proc. Band 4, 2005, S. 57–58 (jmilne.org [PDF]).
  9. Jonathan Pila, Ananth N. Shankar, Jacob Tsimerman, Hélène Esnault, Michael Groechenig: Canonical Heights on Shimura Varieties and the André-Oort Conjecture. 2021, arxiv:2109.08788.
  10. Leila Sloman: Mathematicians prove 30 year old André-Oort conjecture. In: Quanta Magazine. 3. Februar 2022.
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Veröffentlichungsdatum:
Shimura Varietaten sind hoherdimensionale Analoga von Modulkurven Sie werden gebildet als Quotient eines symmetrischen hermiteschen Raumes bezuglich einer Kongruenzuntergruppe einer reduktiven algebraischen Gruppe definiert uber den rationalen Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Hauptteil 2 Formale Definition 2 1 Shimura Datum 2 1 1 Beispiel 2 2 Shimura Varietat 2 2 1 Doppelnebenklassen Raum 2 2 2 Vereinigung von algebraischen Varietaten 2 2 3 Inverses System 3 Andre Oort Vermutung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseHauptteil BearbeitenElliptische Modulfunktionen und formen wurden im 19 Jahrhundert intensiv untersucht auch in Verbindung mit zahlentheoretischen Fragen Hilberts 12 Problem fragte nach speziellen Funktionen die die gleiche Rolle bei der Beschreibung der Erweiterung algebraischer Zahlkorper spielen wie die Exponentialfunktion beim Satz von Kronecker Weber Erste Beispiele untersuchte David Hilbert selbst mit Hilbertschen Modulflachen Diese sind neben den erwahnten Modulkurven z B Kleinsche Quartik auch Beispiele fur Shimura Varietaten ebenso wie Siegelsche Modulformen Die eigentliche Theorie der Shimura Varietaten begann mit Goro Shimura und Yutaka Taniyama und dessen Theorie abelscher Varietaten mit komplexer Multiplikation Shimura zeigte dass Shimura Varietaten die Benennung erfolgte 1968 durch Yasutaka Ihara kanonische Modelle uber bestimmten Zahlkorpern hatten Die Theorie wurde von Pierre Deligne verallgemeinert und axiomatisiert und Shimura Varietaten spielen eine bedeutende Rolle im Langlands Programm Langlands testete damit 1979 1 seine Vermutung dass alle motivischen L Funktionen automorphe L Funktionen sind und sie dienen dort auch als Quelle fur Galoisdarstellungen Shimura Varietaten parametrisieren gemischte Hodge Strukturen speziellen Typs Ein Spezialfall sind wieder Modulkurven die elliptische Kurven parametrisieren Formale Definition BearbeitenNotation G m displaystyle mathbb G m nbsp bezeichnet die multiplikative Gruppe eine algebraische Gruppe d h G m Spec k S T S T 1 displaystyle mathbb G m operatorname Spec k S T ST 1 nbsp 2 S Res C R G m displaystyle mathbb S operatorname Res mathbb C mathbb R mathbb G m nbsp bezeichnet den Deligne Torus das heisst den algebraischen Torus uber R displaystyle mathbb R nbsp den man von G m displaystyle mathbb G m nbsp uber C displaystyle mathbb C nbsp erhalt durch die Weil Restriktion auch Restriktion der Skalare genannt 3 G R ad displaystyle G mathbb R operatorname ad nbsp bezeichnet die adjungierte Gruppe von G R displaystyle G mathbb R nbsp das heisst die Quotienten Gruppe von G R displaystyle G mathbb R nbsp und seinem Zentrum A f displaystyle mathbb A f nbsp ist der Ring der endlichen Adele von Q displaystyle mathbb Q nbsp das heisst das eingeschrankte topologische ProduktA f l Q l Z l a l Q l fur fast alle l gilt a l Z l displaystyle mathbb A f prod l mathbb Q l mathbb Z l left a l in prod mathbb Q l mid text fur fast alle l text gilt a l in mathbb Z l right nbsp dd wobei l 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displaystyle operatorname ad h i nbsp eine Cartan Involution von G R ad displaystyle G mathbb R operatorname ad nbsp 3 G ad displaystyle G operatorname ad nbsp hat keinen Q displaystyle mathbb Q nbsp Faktor auf dem die Projektion von h displaystyle h nbsp trivial ist 5 Beispiel Bearbeiten G G l 2 Q displaystyle G Gl 2 mathbb Q nbsp und h S G l 2 R displaystyle h mathbb S to Gl 2 mathbb R nbsp definiert durchh a b i a b b a displaystyle h a bi mapsto begin pmatrix a amp b b amp a end pmatrix nbsp dd und X displaystyle X nbsp sei die Menge der G l 2 R displaystyle Gl 2 mathbb R nbsp Konjugierten von h displaystyle h nbsp X h g g h g 1 g G l 2 R displaystyle X h g ghg 1 g in Gl 2 mathbb R nbsp dd Dann ist G X displaystyle G X nbsp ein Shimura Datum 6 Shimura Varietat Bearbeiten Sei G X displaystyle G X nbsp ein Shimura Datum Doppelnebenklassen Raum Bearbeiten Fur eine kompakte offene Teilgruppe K G A f displaystyle K subset G mathbb A f nbsp definiere den Doppelnebenklassen Raum englisch double coset space Sh K G X G Q X G A f K displaystyle operatorname Sh K G X G mathbb Q setminus X times G mathbb A f K nbsp mit der Operation q x a k q x q a k q G Q x X a G A f k K displaystyle q x a k qx qak quad q in G mathbb Q quad x in X quad a in G mathbb A f quad k in K nbsp Diese Operation bedeutet G Q displaystyle G mathbb Q nbsp operiert auf beiden Komponenten X displaystyle X nbsp und G A f displaystyle G mathbb A f nbsp jeweils von links K displaystyle K nbsp operiert nur auf der zweiten Komponente G A f displaystyle G mathbb A f nbsp und zwar von rechts Vereinigung von algebraischen Varietaten Bearbeiten Sh K G X displaystyle operatorname Sh K G X nbsp ist eine endliche disjunkte Vereinigung von arithmetischen lokal symmetrischen Varietaten Sh K G X g G g X displaystyle operatorname Sh K G X bigsqcup g Gamma g setminus X nbsp siehe z B 7 fur die Definition solcher algebraischer Varietaten G g X displaystyle Gamma g setminus X nbsp Inverses System Bearbeiten Wenn wir K displaystyle K nbsp genugend klein variieren erhalten wir ein inverses System auch projektives System genannt von algebraischen Varietaten Sh K G X K displaystyle operatorname Sh K G X K nbsp G A f displaystyle G mathbb A f nbsp operiert auf diesem System durch K g 1 K g g G A f displaystyle K mapsto g 1 Kg quad g in G mathbb A f nbsp und T g Sh K G X Sh g 1 K g G X x a x a g displaystyle begin aligned mathcal T g operatorname Sh K G X amp to operatorname Sh g 1 Kg G X x a amp mapsto x ag end aligned nbsp Dieses inverse System ausgestattet mit der Operation von G A f displaystyle G mathbb A f nbsp heisst Shimura Varietat und wird mit Sh G X displaystyle operatorname Sh G X nbsp notiert 8 Andre Oort Vermutung BearbeitenDie von Yves Andre 1989 und Frans Oort 1995 in verallgemeinerter Form aufgestellte Vermutung betrifft die Verteilung sogenannter spezieller Punkte auch CM Punkte genannt da sie Varietaten mit komplexer Multiplikation parametrisieren auf Untervarietaten von Shimura Varietaten Diese Untervarietaten mussen nicht selbst Shimua Varietaten sein Die Vermutung von Andre und Oort besagt dass sie Shimura Varietaten bzw Vereinigungen von Shimura Varietaten sind falls sie besonders viele spezielle Punkte enthalten technisch sie beinhalten eine Zariski dichte Menge von speziellen Punkten Umgekehrt enthalten Untervarietaten die keine Shimura Varietaten sind nur eine beschrankte Anzahl spezieller Punkte Nach verschiedenen Spezialfallen konnte 2014 die Vermutung selbst unter Voraussetzung der verallgemeinerten Riemannvermutung Bruno Klingler Andrei Yafaev Emmanuel Ullmo einer recht starken Einschrankung gezeigt werden Im Jahr 2021 bewiesen Jonathan Pila Ananth N Shankar Jacob Tsimerman Helene Esnault und Michael Groechenig die Andre Oort Vermutung in voller Allgemeinheit 9 10 Pila gelang ein Fortschritt bei der Aufzahlung spezieller Punkte auf Shimura Varietaten uber die Einfuhrung von neuartigen Hohen als Masse fur die Punkte Die Vervollstandigung des Beweises gelang Pila Shankar und Tsimerman nach Vorarbeiten von Gal Biniyamini Harry Schmidt und Andrei Yafaev 2019 20 und einem Beitrag von Helene Esnault und Michael Groechenig 2021 Appendix zur Arbeit von Pila Shankar Tsimerman Literatur BearbeitenJames Milne Introduction to Shimura Varieties In Clay Math Proc Band 4 2005 American Mathematical Society S 265 378 1 PDF uberarbeitete Fassung J S Milne What is a Shimura variety Notices AMS 2012 Nr 12 2 PDF Goro Shimura Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions Princeton UP 1971 Goro Shimura Automorphic functions and number theory Springer 1968 Pierre Deligne Travaux de Shimura Seminaire Bourbaki Nr 389 1970 71 Lecture Notes in Mathematics Nr 244 1971 Pierre Deligne Varietes de Shimura interpretation modulaire et techniques de construction de modeles canoniques In Automorphic forms representations and L functions Proc Sympos Pure Math 33 Band 2 American Mathematical Society 1979 Pierre Deligne James S Milne Arthur Ogus Kuang yen Shi Hodge cycles motives and Shimura varieties In Lecture Notes in Mathematics 900 Springer 1982 Weblinks BearbeitenJ S Milne Shimura varieties Encyclopedia of Mathematics Springer Shimura Varietaten Spektrum Lexikon der MathematikEinzelnachweise Bearbeiten Langlands Automorphic Representations Shimura Varieties and Motives Ein Marchen In Armand Borel William Casselman Hrsg Automorphic Forms Representations and L Functions Symposium in Pure Mathematics Band 33 Teil 1 Chelsea Publ 1979 S 205 246 Victor Roger Introduction to Shimura Varieties Hrsg Centre de Recerca Matematica 2005 S 20 upc edu PDF James Milne Introduction to Shimura Varieties In American Mathematical Society Hrsg Clay Math Proc Band 4 2005 S 26 jmilne org PDF James Milne Introduction to Shimura Varieties In American Mathematical Society Hrsg Clay Math Proc Band 4 2005 S 42 jmilne org PDF James Milne Introduction to Shimura Varieties In American Mathematical Society Hrsg Clay Math Proc Band 4 2005 S 54 55 jmilne org PDF James Milne Introduction to Shimura Varieties In American Mathematical Society Hrsg Clay Math Proc Band 4 2005 S 55 jmilne org PDF James Milne Introduction to Shimura Varieties In American Mathematical Society Hrsg Clay Math Proc Band 4 2005 S 38 39 jmilne org PDF James Milne Introduction to Shimura Varieties In American Mathematical Society Hrsg Clay Math Proc Band 4 2005 S 57 58 jmilne org PDF Jonathan Pila Ananth N Shankar Jacob Tsimerman Helene Esnault Michael Groechenig Canonical Heights on Shimura Varieties and the Andre Oort Conjecture 2021 arxiv 2109 08788 Leila Sloman Mathematicians prove 30 year old Andre Oort conjecture In Quanta Magazine 3 Februar 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Shimura Varietat amp oldid 237783270 Andre Oort Vermutung