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Siegelsche Modulform en sind Verallgemeinerungen von Modulformen in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für Autom

Siegelsche Modulform

Siegelsche Modulformen sind Verallgemeinerungen von Modulformen in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für Automorphe Formen und Shimura-Varietäten.

Sie sind auf dem Siegelschen Halbraum definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen -Matrizen mit positiv definitem Imaginärteil. Siegelsche Modulformen sind holomorphe Funktionen auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.

Sie stehen in ähnlicher Relation zu Abelschen Varietäten wie elliptische Modulformen zu elliptischen Kurven. Ursprünglich wurden sie von Carl Ludwig Siegel 1935 eingeführt im Rahmen seiner analytischen Theorie quadratischer Formen und finden Anwendungen in der Zahlentheorie.

Es gibt Siegelsche Modulformen, die analog Eisensteinreihen bei Modulformen konstruiert sind, und solche, die Thetafunktionen zu quadratischen Formen sind. Die Theorie wurde in möglichst weitgehender Anlehnung an die der elliptischen Modulformen aufgebaut.

Definition Bearbeiten

Sei

die Gruppe symplektischer Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist die -Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen , und mit einer symmetrischen Matrix bzw. einer Matrix . Diese 3 Matrix-Typen bilden ein Erzeugendensystem der Gruppe.

Die Gruppe operiert auf dem Siegelschen Halbraum über

Eine Siegelsche Modulform ist eine im Siegelschen Halbraum holomorphe Funktion mit

heißt der Grad (manchmal auch Geschlecht), das Gewicht.

Zusätzlich wird noch verlangt, dass die Modulform im Siegelschen Halbraum beschränkt ist (für folgt das aus dem sogenannten Koecher-Prinzip).

Es gilt:

Das liefert das Transformationsverhalten unter den Erzeugenden der Siegelschen Modulgruppe .

Es lässt sich zeigen, dass Siegelsche Modulformen eine Fourierentwicklung besitzen.

mit symmetrischen () positiv semidefiniten Matrizen T (kurz: ).

In arithmetischen Anwendungen wird statt der symplektischen Gruppe auch eine Kongruenzuntergruppe genommen (mit einer natürlichen Zahl , der Stufe):

Bemerkung: Es gibt auch eine erweiterte Definition, in der die Siegelsche Modulform vektorwertig ist (die oben definierte Siegelsche Modulform heißt dann skalarwertig).

Dazu wird für die Definition des Gewichts eine rationale Darstellung

in einem komplexen Vektorraum herangezogen. Mit der Definition

ist die holomorphe Funktion

eine Siegelsche Modulform vom Grad , falls

für alle .

Literatur Bearbeiten

  • Eberhard Freitag: Siegelsche Modulformen, Springer 1983
  • Eberhard Freitag: Siegelsche Modulfunktionen, Jahresbericht DMV, Band 79, 1977, S. 79–86, pdf
  • Helmut Klingen: Introductory Lectures on Siegel Modular Forms, Cambridge University Press 1990

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Siegelsche Modulformen sind Verallgemeinerungen von Modulformen in mehreren komplexen Variablen und Beispiele fur Automorphe Formen und Shimura Varietaten Sie sind auf dem Siegelschen Halbraum H g displaystyle mathcal H g definiert dem Raum der komplexen symmetrischen g g displaystyle g times g Matrizen mit positiv definitem Imaginarteil Siegelsche Modulformen sind holomorphe Funktionen auf dem Siegelschen Halbraum die eine Automorphiebedingung erfullen Sie stehen in ahnlicher Relation zu Abelschen Varietaten wie elliptische Modulformen zu elliptischen Kurven Ursprunglich wurden sie von Carl Ludwig Siegel 1935 eingefuhrt im Rahmen seiner analytischen Theorie quadratischer Formen und finden Anwendungen in der Zahlentheorie Es gibt Siegelsche Modulformen die analog Eisensteinreihen bei Modulformen konstruiert sind und solche die Thetafunktionen zu quadratischen Formen sind Die Theorie wurde in moglichst weitgehender Anlehnung an die der elliptischen Modulformen aufgebaut Definition BearbeitenSei G g S p 2 g Z g G L 2 g Z g T 0 I g I g 0 g 0 I g I g 0 A B C D G L 2 g Z A T C C T A B T D D T B A T D C T B I g displaystyle begin aligned Gamma g amp Sp 2g mathbb Z left gamma in GL 2g mathbb Z big gamma mathrm T begin pmatrix 0 amp I g I g amp 0 end pmatrix gamma begin pmatrix 0 amp I g I g amp 0 end pmatrix right amp left begin pmatrix A amp B C amp D end pmatrix in GL 2g mathbb Z A T C C T A B T D D T B A T D C T B I g right end aligned nbsp die Gruppe symplektischer Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen Siegelsche Modulgruppe Dabei ist I g displaystyle I g nbsp die g g displaystyle g times g nbsp Einheitsmatrix Beispiele sind die Matrizen I g S 0 I g displaystyle begin pmatrix I g amp S 0 amp I g end pmatrix nbsp U 0 0 U 1 T displaystyle begin pmatrix U amp 0 0 amp U 1 T end pmatrix nbsp und 0 I g I g 0 displaystyle begin pmatrix 0 amp I g I g amp 0 end pmatrix nbsp mit einer symmetrischen Matrix S S T displaystyle S S T nbsp bzw einer Matrix U G L g Z displaystyle U in GL g mathbb Z nbsp Diese 3 Matrix Typen bilden ein Erzeugendensystem der Gruppe Die Gruppe operiert auf dem Siegelschen Halbraum uber Z A Z B C Z D 1 displaystyle Z to AZ B CZ D 1 nbsp Eine Siegelsche Modulform ist eine im Siegelschen Halbraum holomorphe Funktion f displaystyle f nbsp mit f A Z B C Z D 1 det C Z D k f Z displaystyle f AZ B CZ D 1 det CZ D k f Z nbsp g displaystyle g nbsp heisst der Grad manchmal auch Geschlecht k displaystyle k nbsp das Gewicht Zusatzlich wird noch verlangt dass die Modulform im Siegelschen Halbraum beschrankt ist fur g gt 1 displaystyle g gt 1 nbsp folgt das aus dem sogenannten Koecher Prinzip Es gilt f Z S f Z displaystyle f Z S f Z nbsp fur alle ganzzahligen symmetrischen g g displaystyle g times g nbsp Matrizen S S T displaystyle S S T nbsp f U Z U T det U k f Z displaystyle f UZU T det U k f Z nbsp fur alle U G L g Z displaystyle U in GL g mathbb Z nbsp f Z 1 det Z k f Z displaystyle f Z 1 det Z k f Z nbsp Das liefert das Transformationsverhalten unter den Erzeugenden der Siegelschen Modulgruppe S p 2 g Z displaystyle Sp 2g mathbb Z nbsp Es lasst sich zeigen dass Siegelsche Modulformen eine Fourierentwicklung besitzen f Z T a T e p i S p T Z displaystyle f Z sum T a T e pi iSp TZ nbsp mit symmetrischen T T T displaystyle T T T nbsp positiv semidefiniten Matrizen T kurz T 0 displaystyle T geq 0 nbsp In arithmetischen Anwendungen wird statt der symplektischen Gruppe G g S p 2 g Z displaystyle Gamma g Sp 2g mathbb Z nbsp auch eine Kongruenzuntergruppe genommen G g N displaystyle Gamma g N nbsp mit einer naturlichen Zahl N displaystyle N nbsp der Stufe G g N g G g g I 2 g mod N displaystyle Gamma g N left gamma in Gamma g gamma equiv I 2g mod N right nbsp Bemerkung Es gibt auch eine erweiterte Definition in der die Siegelsche Modulform vektorwertig ist die oben definierte Siegelsche Modulform heisst dann skalarwertig Dazu wird fur die Definition des Gewichts eine rationale Darstellung r GL g C GL V displaystyle rho textrm GL g mathbb C rightarrow textrm GL V nbsp in einem komplexen Vektorraum V displaystyle V nbsp herangezogen Mit der Definition f g Z r C Z D 1 f g Z displaystyle f big gamma Z rho CZ D 1 f gamma Z nbsp ist die holomorphe Funktion f H g V displaystyle f mathcal H g rightarrow V nbsp eine Siegelsche Modulform vom Grad g displaystyle g nbsp falls f g f displaystyle f big gamma f nbsp fur alle g G g displaystyle gamma in Gamma g nbsp Literatur BearbeitenEberhard Freitag Siegelsche Modulformen Springer 1983 Eberhard Freitag Siegelsche Modulfunktionen Jahresbericht DMV Band 79 1977 S 79 86 pdf Helmut Klingen Introductory Lectures on Siegel Modular Forms Cambridge University Press 1990Weblinks BearbeitenWinfried Kohnen A short course on Siegel modular forms pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Siegelsche Modulform amp oldid 224717796