In der Mathematik ist eine Hodge Struktur eine algebraische Struktur die die Hodge Zerlegung der Kohomologie kompakter Kahler Mannigfaltigkeiten verallgemeinert Hodge Strukturen haben vielfaltige Anwendungen in komplexer und algebraischer Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 2 1 Hodge Tate Strukturen 2 1 1 Z n 2 1 2 Q n 2 1 3 R n 2 2 Hodge Zerlegungs Satz fur Kahler Mannigfaltigkeiten 3 Hodge Filtrierung 4 LiteraturDefinitionen BearbeitenEine Hodge Zerlegung eines reellen Vektorraums V displaystyle V nbsp ist eine Zerlegung V R C p q Z 2 V p q displaystyle V otimes mathbb R mathbb C bigoplus p q in mathbb Z 2 V p q nbsp mit V q p V p q displaystyle overline V q p V p q nbsp fur alle p q displaystyle p q nbsp Eine Hodge Struktur ist ein reeller Vektorraum zusammen mit einer Hodge Zerlegung Eine reine Hodge Struktur vom Gewicht n displaystyle n nbsp ist eine Hodge Struktur mit V R C p q n V p q displaystyle V otimes mathbb R mathbb C bigoplus p q n V p q nbsp Allgemein hat man fur eine Hodge Struktur eine Gewichtszerlegung V n V n displaystyle V bigoplus n V n nbsp mit V n p q n V p q displaystyle V n bigoplus p q n V p q nbsp Eine ganze Hodge Struktur bzw rationale Hodge Struktur ist ein endlich erzeugter freier Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul bzw ein endlich erzeugter Q displaystyle mathbb Q nbsp Vektorraum A displaystyle A nbsp mit einer Hodge Zerlegung von V A Z R displaystyle V A otimes mathbb Z mathbb R nbsp bzw V A Q R displaystyle V A otimes mathbb Q mathbb R nbsp so dass die Gewichtszerlegung uber Q displaystyle mathbb Q nbsp definiert ist Beispiele BearbeitenHodge Tate Strukturen Bearbeiten Z n Bearbeiten Z 1 displaystyle mathbb Z 1 nbsp ist die ganze Hodge Struktur mit Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul 2 p i Z C displaystyle 2 pi i mathbb Z subset mathbb C nbsp und Z 1 Z C H 1 1 displaystyle mathbb Z 1 otimes mathbb Z mathbb C H 1 1 nbsp Sie ist die einzige 1 dimensionale Hodge Struktur vom Gewicht 2 Mit Z n displaystyle mathbb Z n nbsp wird das n displaystyle n nbsp fache Tensorprodukt Z n Z 1 Z 1 displaystyle mathbb Z n mathbb Z 1 otimes ldots otimes mathbb Z 1 nbsp bezeichnet Q n Bearbeiten Q 1 displaystyle mathbb Q 1 nbsp ist die rationale Hodge Struktur mit Q displaystyle mathbb Q nbsp Vektorraum 2 p i Q C displaystyle 2 pi i mathbb Q subset mathbb C nbsp und Q 1 Q C H 1 1 displaystyle mathbb Q 1 otimes mathbb Q mathbb C H 1 1 nbsp Q n displaystyle mathbb Q n nbsp ist das n displaystyle n nbsp fache Tensorprodukt Q n Q 1 Q 1 displaystyle mathbb Q n mathbb Q 1 otimes ldots otimes mathbb Q 1 nbsp R n Bearbeiten R 1 displaystyle mathbb R 1 nbsp ist die Hodge Struktur mit R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum i R C displaystyle i mathbb R subset mathbb C nbsp und R 1 R C H 1 1 displaystyle mathbb R 1 otimes mathbb R mathbb C H 1 1 nbsp R n displaystyle mathbb R n nbsp ist das n displaystyle n nbsp fache Tensorprodukt R n R 1 R 1 displaystyle mathbb R n mathbb R 1 otimes ldots otimes mathbb R 1 nbsp Hodge Zerlegungs Satz fur Kahler Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Die Kohomologie einer kompakten Kahler Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp tragt eine Hodge Struktur nach dem Satz von Hodge kann man die n displaystyle n nbsp te Kohomologie H n M R displaystyle H n M mathbb R nbsp mit dem Raum der harmonischen Differentialformen H n M displaystyle mathcal H n M nbsp identifizieren und es gilt H n M R C p q n H p q M displaystyle mathcal H n M otimes mathbb R mathbb C bigoplus p q n mathcal H p q M nbsp wobei H p q M displaystyle mathcal H p q M nbsp die harmonischen p q Formen bezeichnet Es gilt H p q M H q p M displaystyle overline mathcal H p q M mathcal H q p M nbsp Hodge Filtrierung BearbeitenZu einer reinen Hodge Struktur vom Gewicht n displaystyle n nbsp bezeichnet man die Filtrierung F p F p 1 displaystyle ldots supset F p supset F p 1 supset ldots nbsp mit F p r p V r s V R C displaystyle F p bigoplus r geq p V r s subset V otimes mathbb R mathbb C nbsp als zugehorige Hodge Filtrierung Die Hodge Filtrierung bestimmt die Hodge Zerlegung durch V p q F p F q displaystyle V p q F p cap overline F q nbsp Die Existenz einer reinen Hodge Zerlegung vom Gewicht n displaystyle n nbsp ist also aquivalent zur Existenz einer Filtrierung F p p Z displaystyle F p p in mathbb Z nbsp von V R C displaystyle V otimes mathbb R mathbb C nbsp mit F p 0 displaystyle F p 0 nbsp fur hinreichend grosse p displaystyle p nbsp und F p F q 1 V R C displaystyle F p oplus overline F q 1 V otimes mathbb R mathbb C nbsp fur alle p q displaystyle p q nbsp mit p q n displaystyle p q n nbsp Literatur BearbeitenWells R O Differential Analysis on Complex Manifolds 3rd ed Springer 2008 ISBN 978 0 387 73891 8 Carlson James Muller Stach Stefan Peters Chris Period mappings and period domains 2nd edition Cambridge Studies in Advanced Mathematics 168 Cambridge Cambridge University Press 2017 ISBN 978 1 316 63956 6 Paperback 978 1 108 42262 8 Hardback 978 1 316 99584 6 E Book Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hodge Struktur amp oldid 237922477
