Eine Galois-Darstellung ist eine Darstellung einer Galoisgruppe auf einem Vektorraum oder allgemeiner einem Modul über einem kommutativen Ring. Häufig fordert man Stetigkeit bezüglich der Krulltopologie der Galoisgruppe und einer Topologie auf dem Koeffizientenring.
Motivation Bearbeiten
Eines der fundamentalen Objekte der Zahlentheorie sind algebraische Zahlkörper. Erkenntnisse über Zahlkörper haben unmittelbare Konsequenzen für die Lösbarkeit von Diophantischen Gleichungen. Eine wichtige Invariante eines Zahlkörpers ist seine absolute Galoisgruppe , das ist die Gruppe der -linearen Körperautomorphismen eines fixierten algebraischen Abschlusses von . Ihre Struktur ist so reichhaltig, dass es sich schwierig gestaltet, sie mit rein gruppentheoretischen Methoden zu untersuchen. Man untersucht in speziellen Situationen Darstellungen von , um somit indirekt etwas über und damit letztlich über zu erfahren.
Artin-Darstellungen Bearbeiten
Sei ein Zahlkörper. Eine Artin-Darstellung von ist eine stetige Darstellung von auf einem endlich-dimensionalen komplexen Vektorraum. Emil Artin formulierte mithilfe dieser Darstellungen das Artinsche Reziprozitätsgesetz. Die bis heute unbewiesene Artin-Vermutung besagt, dass die Artinsche L-Funktion einer nicht trivialen irreduziblen Artin-Darstellung eine eindeutige holomorphe Fortsetzung auf hat.
Da Artin-Darstellungen endliches Bild haben, ist die Kategorie der Artin-Darstellungen einer gegebenen proendlichen Gruppe eine halbeinfache Tannaka-Kategorie.
l-adische Darstellungen Bearbeiten
Sei eine proendliche Gruppe und ein -adischer lokaler Körper, das heißt eine endliche Körpererweiterung von mit der -adischen Topologie. Eine -adische Darstellung von über ist ein endlich-dimensionaler -Vektorraum zusammen mit einem stetigen Homomorphismus . Man spricht von einer -adischen Galois-Darstellung, wenn eine Galoisgruppe ist.
Sei der Ganzheitsring von . Jede -adische Darstellung stabilisiert einen freien -Untermodul von , der als -Vektorraum erzeugt. So kann eine -adische Darstellung auch auf einem freien -Untermodul endlichen Ranges definiert werden.
Manchmal wird als Koeffizientenkörper mit der Vereinigungstopologie endlicher Erweiterungen von genommen. Diese Definition ist im Wesentlichen äquivalent, da jede solche Darstellung einer proendlichen Gruppe über einer endlichen Erweiterung von definiert ist.
Beispiele für -adische Darstellungen sind der -adische zyklotomische Charakter oder der -adische Tate-Modul einer abelschen Varietät.
Mod-l-Darstellungen Bearbeiten
Eine mod--Darstellung einer proendlichen Gruppe ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper der Charakteristik zusammen mit einem stetigen Homomorphismus .
Mod--Darstellungen entstehen durch Reduktion modulo aus -adischen Darstellungen. Die Reduktion einer -adischen Darstellung über einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Darstellungen der Weil-Gruppe Bearbeiten
Ist ein globaler oder lokaler Körper, so ist zu der entsprechenden Klassenformation eine Weil-Gruppe definiert. Durch Verkettung mit dem kanonischen Homomorphismus wird jede stetige Darstellung von zu einer stetigen Darstellung von . Die lokal proendliche Gruppe hat echt mehr stetige Darstellungen als . So ist beispielsweise durch den Betrag ein Charakter mit unendlichem Bild gegeben. Durch den Klassenkörperisomorphismus definiert das einen Charakter von mit unendlichem Bild, die folglich nicht von einem Charakter von kommt.
p-adische Hodge-Theorie Bearbeiten
Ist ein -adischer lokaler Körper, so beschäftigt sich die p-adische Hodge-Theorie mit der Klassifikation -adischer Darstellungen von .
Galois-Kohomologie Bearbeiten
Man kann Gruppenkohomologie auch für proendliche Gruppen definieren. Für Galoisgruppen spricht man dann von Galois-Kohomologie.
Literatur Bearbeiten
- Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Jürgen Neukirch: Cohomology of number fields. Springer, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 2000, 2. Auflage, 2008, ISBN 978-3-540-37888-4
- Jean-Pierre Serre: Galois Cohomology. Springer, Monographs in Mathematics, 1997, ISBN 978-3-642-59141-9
- Joseph Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer, New York, 2009, 2. Auflage, ISBN 978-0-387-09493-9
- Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1999, ISBN 978-3-662-03983-0