Die absolute Galoisgruppe eines Körpers ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen , insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.
Beispiele Bearbeiten
- Für einen perfekten Körper ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also .
- Wegen ist , wobei die komplexe Konjugation bezeichnet.
- Für wurde bisher keine explizite Charakterisierung von gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert. Die Absolute Galoisgruppe über den rationalen Zahlen ist wichtig in der Zahlentheorie und Gegenstand der inzwischen bewiesenen Serre-Vermutung.
- Wenn der Körper mit Elementen ist, gilt , wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von , die Gruppe der proendlichen Zahlen, steht.
Literatur Bearbeiten
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.