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Serre Vermutung Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Der Satz von Quillen Suslin wird ebenso als bezeichnet Die ist

Serre-Vermutung

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galois-Darstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung Bearbeiten

Die Vermutung betrifft Darstellungen (Galois-Darstellungen) der absoluten Galoisgruppe der rationalen Zahlen . Die absolute Galoisgruppe enthält alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkörpern, die als endliche galoissche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen gegeben sind.

Sei eine absolut irreduzible, stetige und ungerade zweidimensionale Darstellung von über einem endlichen Körper

der Charakteristik ,

Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe der Stufe , Gewicht , und Nebentypus

festgelegt, wobei Modulformen in Charakteristik mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die Hecke-Operatoren beschrieben, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte Hecke-Eigenform, sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung

Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe , die Frobeniuselemente zur Primzahl p, beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkörper. Nach der Vermutung von Serre gilt weiter für alle Primzahlen , teilerfremd zu :

und

Das heißt, Spur und Determinante – und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung – werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt. Serre vermutete sogar (und zeigte dies explizit an Beispielen), dass sich die Parameter der Darstellung (Stufe, Gewicht, Nebentypus) explizit berechnen lassen (starke Serre-Vermutung).

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Gorō Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten der Beweise:

  • Chandrashekhar Khare: Serre's modularity conjecture: The level one case, Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
  • Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: Serre’s Modularity Conjecture, Teil 1,2, Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485–504, 505–586, Teil I (PDF-Datei; 344 kB), Teil II (PDF-Datei; 974 kB)
  • Khare, Wintenberger: On Serre’s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(), Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
  • Luis Dieulefait: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.
  • Mark Kisin: Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations, Inventiones Mathematicae, Band 178, 2009, S. 587–634, Preprints, Kisin

Zur Serre-Vermutung:

  • William A. Stein, Ken Ribet: Lectures on Serre’s conjecture, in: Brian Conrad, Karl Rubin (Hrsg.), Arithmetical algebraic geometry (Park City 1999), IAS/Park City Lectures 9, American Mathematical Society, 2001, S. 143–232, pdf
  • Gabor Wiese: Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkörpern, Essener Unikate Nr. 33, 2007, pdf
  • L. J. P. Kilford: Modular forms, Imperial College Press 2008, Kapitel 6.2 (Galois representations attached to mod p modular forms), S. 152ff

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Serre, Valeurs propres de opérateurs de Hecke modulo l, Astérisque, Band 24/25, 1975, S. 109–117
  2. Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de , Duke Mathematical Journal, Band 54, 1987, S. 179–230
  3. Ungerade bedeutet, dass das Element der Galoisgruppe, das der komplexen Konjugation entspricht, in der Darstellung durch die Matrix -1 repräsentiert ist
  4. Für die Definition der Begriffe siehe Modulform
  5. Siehe Theorem 3.26 in Haruzo Hida: Modular Forms and Galois cohomology. Cambridge University Press, Cambridge 2000.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Der Satz von Quillen Suslin wird ebenso als Serre Vermutung bezeichnet Die Serre Vermutung ist ein mathematischer Satz uber Galois Darstellungen und Modulformen der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare Jean Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde Die Serre Vermutung impliziert den Modularitatssatz und damit auch den grossen Satz von Fermat Die Serre Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean Pierre Serre zuruck 1 2 Unabhangig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfalle der Serre Vermutung die fur den Beweis des grossen Satzes von Fermat ausreichen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Literatur 3 Einzelnachweise 4 WeblinksFormulierung BearbeitenDie Vermutung betrifft Darstellungen Galois Darstellungen der absoluten Galoisgruppe G Q displaystyle G mathbb Q nbsp der rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp Die absolute Galoisgruppe enthalt alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkorpern die als endliche galoissche Erweiterungen des Korpers der rationalen Zahlen gegeben sind Sei r displaystyle rho nbsp eine absolut irreduzible stetige und ungerade 3 zweidimensionale Darstellung von G Q displaystyle G mathbb Q nbsp uber einem endlichen Korper F F l r displaystyle F mathbb F l r nbsp der Charakteristik l displaystyle l nbsp r G Q G L 2 F displaystyle rho G mathbb Q rightarrow GL 2 F nbsp Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe G 0 N displaystyle Gamma 0 N nbsp der Stufe N N r displaystyle N N rho nbsp Gewicht k k r displaystyle k k rho nbsp und Nebentypus 4 x Z N Z F displaystyle chi mathbb Z N mathbb Z rightarrow F nbsp festgelegt wobei Modulformen in Charakteristik l displaystyle l nbsp mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in F displaystyle F nbsp betrachtet werden Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die Hecke Operatoren beschrieben linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs Es gibt eine normierte Hecke Eigenform sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren mit der Fourierentwicklung f q a 2 q 2 a 3 q 3 displaystyle f q a 2 q 2 a 3 q 3 cdots nbsp Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe G Q displaystyle G mathbb Q nbsp die Frobeniuselemente Frob p displaystyle operatorname Frob p nbsp zur Primzahl p beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkorper Nach der Vermutung von Serre gilt weiter fur alle Primzahlen p displaystyle p nbsp teilerfremd zu N l displaystyle N l nbsp Trace r Frob p a p displaystyle operatorname Trace rho operatorname Frob p a p nbsp und det r Frob p p k 1 x p displaystyle det rho operatorname Frob p p k 1 chi p nbsp Das heisst Spur und Determinante und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung werden durch die Hecke Eigenform festgelegt Serre vermutete sogar und zeigte dies explizit an Beispielen dass sich die Parameter der Darstellung r displaystyle rho nbsp Stufe Gewicht Nebentypus explizit berechnen lassen starke Serre Vermutung Es war bereits sehr lange durch tiefe Satze von Gorō Shimura Pierre Deligne Barry Mazur und Robert Langlands 5 bekannt dass man jeder Hecke Eigenform f S k N x displaystyle f in S k N chi nbsp eine Darstellung wie oben gefordert zuordnen kann Die Serre Vermutung behauptet die Umkehrung Jede irreduzible stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform Literatur BearbeitenOriginalarbeiten der Beweise Chandrashekhar Khare Serre s modularity conjecture The level one case Duke Mathematical Journal Band 134 2006 S 557 589 Chandrashekhar Khare Jean Pierre Wintenberger Serre s Modularity Conjecture Teil 1 2 Inventiones Mathematicae Band 158 2009 S 485 504 505 586 Teil I PDF Datei 344 kB Teil II PDF Datei 974 kB Khare Wintenberger On Serre s reciprocity conjecture for 2 dimensional mod p representations of Gal Q Q displaystyle bar mathbb Q mathbb Q nbsp Annals of Mathematics Band 169 2009 S 229 253 Luis Dieulefait The level 1 weight 2 case of Serre s conjecture Revista Matematica Iberoamericana Band 23 2007 S 1115 1124 Mark Kisin Modularity of 2 adic Barsotti Tate representations Inventiones Mathematicae Band 178 2009 S 587 634 Preprints KisinZur Serre Vermutung William A Stein Ken Ribet Lectures on Serre s conjecture in Brian Conrad Karl Rubin Hrsg Arithmetical algebraic geometry Park City 1999 IAS Park City Lectures 9 American Mathematical Society 2001 S 143 232 pdf Gabor Wiese Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkorpern Essener Unikate Nr 33 2007 pdf L J P Kilford Modular forms Imperial College Press 2008 Kapitel 6 2 Galois representations attached to mod p modular forms S 152ffEinzelnachweise Bearbeiten Serre Valeurs propres de operateurs de Hecke modulo l Asterisque Band 24 25 1975 S 109 117 Serre Sur les representations modulaires de degre 2 de G a l Q Q displaystyle Gal overline mathbb Q mathbb Q nbsp 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