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Satz von Quillen Suslin Der benannt nach Daniel Quillen und Andrei Suslin ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet

Satz von Quillen-Suslin

Der Satz von Quillen-Suslin, benannt nach Daniel Quillen und Andrei Suslin, ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der kommutativen Algebra. Er besagt, dass endlich erzeugte, projektive Moduln über gewissen Polynomringen frei sind.

Aussage des Satzes Bearbeiten

Es sei ein Hauptidealring. Dann ist jeder endlich erzeugte, projektive -Modul frei.

Hauptidealring bedeutet hier, dass der Ring kommutativ, nullteilerfrei und jedes Ideal von einem Element erzeugt ist. bezeichnet den Ring der Polynome in Unbestimmten mit Koeffizienten aus . Das umfasst damit die wichtigen Fälle des Polynomrings über einem Körper und über dem Ring der ganzen Zahlen.

Bemerkung Bearbeiten

Auf die Kommutativität des Ringes kann nicht verzichtet werden, denn M. Ojanguren und R. Sridharan haben für nicht-kommutative Divisionsringe gezeigt, dass ein nicht-freies, projektives Ideal enthält, so dass .

Historie Bearbeiten

Das unten angegebene Lehrbuch Serre’s Problem on Projective Modules von Tsit Yuen Lam bietet eine umfassende Darstellung des Themenkreises um das Serre-Problem. Jean-Pierre Serre schrieb in einem 1955 erschienenen Artikel, dass es nicht bekannt sei, ob es für einen Körper endlich-erzeugte, projektive, nicht-freie -Moduln gäbe. Diese Frage ist dann als Serre-Vermutung oder, in Abgrenzung zu einer anderen Serre-Vermutung, als Serre-Problem bekannt geworden. Es ist dann 1976 unabhängig von Daniel Quillen und von Andrei Suslin gelöst worden und nun als Satz von Quillen-Suslin bekannt. Für dies und weitere wesentliche Beiträge zur Ringtheorie, insbesondere zur algebraischen K-Theorie, hat Quillen 1978 die Fields-Medaille erhalten.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz IV.3.15
  2. Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press 1979, ISBN 0-12-599250-5, Theorem 4.36
  3. M. Ojanguren, R. Sridharan: Cancellation of Azumaya algebras, Journal of Algebra (1971), Band 18, Seiten 501–505, Proposition 1
  4. Jean-Pierre Serre: Faisceaux algébriques cohérents, Annals of Mathematics (1955), Second Series, Band 61 (2), Seiten 197–278
  5. Daniel Quillen: Projective modules over polynomial rings, Inventiones Mathematicae (1976), Band 36 (1), Seiten 167–171
  6. Andrei A. Suslin: Проективные модули над кольцами многочленов свободны [Projektive Moduln über Polynomringen sind frei], Doklady Akademii Nauk SSSR (1976), Band 229 (5), Seiten 1063–1066
  7. Tsit Yuen Lam: Serre’s Problem on Projective Modules, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-540-23317-2, Introduction
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Der Satz von Quillen Suslin benannt nach Daniel Quillen und Andrei Suslin ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der kommutativen Algebra Er besagt dass endlich erzeugte projektive Moduln uber gewissen Polynomringen frei sind Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Satzes 2 Bemerkung 3 Historie 4 EinzelnachweiseAussage des Satzes BearbeitenEs sei R displaystyle R nbsp ein Hauptidealring Dann ist jeder endlich erzeugte projektive R X 1 X n displaystyle R X 1 ldots X n nbsp Modul frei 1 2 Hauptidealring bedeutet hier dass der Ring kommutativ nullteilerfrei und jedes Ideal von einem Element erzeugt ist R X 1 X n displaystyle R X 1 ldots X n nbsp bezeichnet den Ring der Polynome in n displaystyle n nbsp Unbestimmten mit Koeffizienten aus R displaystyle R nbsp Das umfasst damit die wichtigen Falle des Polynomrings uber einem Korper und uber dem Ring der ganzen Zahlen Bemerkung BearbeitenAuf die Kommutativitat des Ringes R displaystyle R nbsp kann nicht verzichtet werden denn M Ojanguren und R Sridharan haben fur nicht kommutative Divisionsringe D displaystyle D nbsp gezeigt dass D X 1 X 2 displaystyle D X 1 X 2 nbsp ein nicht freies projektives Ideal P displaystyle P nbsp enthalt so dass D X 1 X 2 P D X 1 X 2 D X 1 X 2 displaystyle D X 1 X 2 oplus P cong D X 1 X 2 oplus D X 1 X 2 nbsp 3 Historie BearbeitenDas unten angegebene Lehrbuch Serre s Problem on Projective Modules von Tsit Yuen Lam bietet eine umfassende Darstellung des Themenkreises um das Serre Problem Jean Pierre Serre schrieb in einem 1955 erschienenen Artikel dass es nicht bekannt sei ob es fur einen Korper K displaystyle K nbsp endlich erzeugte projektive nicht freie K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp Moduln gabe 4 Diese Frage ist dann als Serre Vermutung oder in Abgrenzung zu einer anderen Serre Vermutung als Serre Problem bekannt geworden Es ist dann 1976 unabhangig von Daniel Quillen 5 und von Andrei Suslin 6 gelost worden und nun als Satz von Quillen Suslin bekannt 7 Fur dies und weitere wesentliche Beitrage zur Ringtheorie insbesondere zur algebraischen K Theorie hat Quillen 1978 die Fields Medaille erhalten Einzelnachweise Bearbeiten Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Satz IV 3 15 Joseph J Rotman An Introduction to Homological Algebra Academic Press 1979 ISBN 0 12 599250 5 Theorem 4 36 M Ojanguren R Sridharan Cancellation of Azumaya algebras Journal of Algebra 1971 Band 18 Seiten 501 505 Proposition 1 Jean Pierre Serre Faisceaux algebriques coherents Annals of Mathematics 1955 Second Series Band 61 2 Seiten 197 278 Daniel Quillen Projective modules over polynomial rings Inventiones Mathematicae 1976 Band 36 1 Seiten 167 171 Andrei A Suslin Proektivnye moduli nad kolcami mnogochlenov svobodny Projektive Moduln uber Polynomringen sind frei Doklady Akademii Nauk SSSR 1976 Band 229 5 Seiten 1063 1066 Tsit Yuen Lam Serre s Problem on Projective Modules Springer Verlag 2006 ISBN 3 540 23317 2 Introduction Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Quillen Suslin amp oldid 206554359