Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können.
Definition Bearbeiten
Ein Körper heißt vollkommen, wenn alle irreduziblen Polynome separabel sind, das heißt keine Mehrfachnullstellen in ihrem Zerfällungskörper haben.
Beispiele Bearbeiten
Ein Körper ist genau dann vollkommen, wenn er
- entweder Charakteristik 0 hat (insbesondere sind die bekannten Körper , und vollkommen.)
oder
- prime Charakteristik hat und der Frobenius-Homomorphismus ein Automorphismus ist. (Insbesondere sind alle endlichen Körper vollkommen.)
Ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers ist der Funktionenkörper für einen endlichen Körper .
Äquivalente Charakterisierungen Bearbeiten
Ein Körper ist vollkommen, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.
- Kein über irreduzibles Polynom hat mehrfache Nullstellen im Zerfällungskörper.
- Jede endliche Erweiterung von ist separabel.
- Jede algebraische Erweiterung von ist separabel.
- Der separable Abschluss von ist algebraisch abgeschlossen.
Weblinks Bearbeiten
- Perfect Field (Encyclopedia of Mathematics)
- Perfect Field (MathWorld)
Einzelnachweise Bearbeiten
- Kurt Meyberg: Algebra – Teil 2. Hanser 1976, ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.9.10
- Kurt Meyberg: Algebra – Teil 2. Hanser 1976, ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.11