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Kleinsche Quartik Die ist eine Kurve 4 Grades in der komplexen projektiven Ebene die in homogenen Koordinaten x y z disp

Kleinsche Quartik

Die Kleinsche Quartik ist eine Kurve 4. Grades in der komplexen projektiven Ebene, die in homogenen Koordinaten durch die Gleichung

Dreidimensionales Modell der Klein-Quartik ausgehend von der Parkettierung
Klein-Quartik, animiert

gegeben ist.

Sie wurde 1879 durch Felix Klein eingeführt und besitzt außergewöhnliche Symmetrieeigenschaften. Der algebraischen Kurve entspricht eine Riemannsche Fläche.

Die Symmetrieeigenschaften ergeben sich durch Parkettierung der hyperbolischen Ebene mit Heptagonen, so dass genau drei an jeder Ecke zusammenstoßen (deshalb genannt). Aus genau 24 dieser Heptagone lässt sich ein Torus mit 3 Löchern bilden, die Kleinsche Fläche, topologisch vom Geschlecht 3. Es gibt 24 Transformationen der Parkettierung mit 24 Heptagonen ineinander und für jede noch 7 Drehungen des Heptagons, was 168 Symmetrieoperationen ergibt (mit Spiegelungen doppelt so viele, 336). Unterteilt man die Heptagone in Dreiecke erhält man die zu (Poincaré-)duale Parkettierung (an jeder Ecke stoßen 7 Dreiecke zusammen) und man kann die Fläche zur Klein-Quartik auch aus 56 Dreiecken dieser Parkettierung bilden. 56 Transformationen der Dreiecke in andere Dreiecke und jeweils drei Drehungen ergibt wieder 168 Transformationen.

Parkettierung der hyperbolischen Ebene . Die Klein-Quartik ist ein Quotient dieser Parkettierung.
Die duale Parkettierung . Die Klein-Quartik ist auch ein Quotient dieser Parkettierung.

Das ist auch gleichzeitig die maximale Anzahl von Symmetrien für Flächen vom Geschlecht 3, wie Adolf Hurwitz zeigte (Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen): Eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht hat maximal konforme Transformationen (ohne Spiegelungen). Die konformen Abbildungen lassen sich durch gebrochen-lineare Abbildungen (Möbiustransformationen) darstellen und bilden die projektive spezielle lineare Gruppe . Sie besteht aus komplexen 2×2-Matrizen mit Determinante 1, wobei Matrizen und identifiziert werden.

Fundamentalbereich der Klein-Quartik in der oberen Halbebene, Seiten mit gleichen Zahlenwerten am Rand werden identifiziert

Betrachtet man die hyperbolische Ebene als komplexe obere Halbebene , auf der wirkt, so ist die Riemannsche Fläche zur Klein-Quartik gegeben durch

mit der Kongruenzuntergruppe

Sie ist eine Modulkurve (mit Geschlecht 3 und 24 Spitzen, siehe Modulform).

Ihre Symmetriegruppe ist und hat 168 Elemente (ohne Reflexionen, die die komplexe Struktur nicht erhalten würden). Sie ist auch die Symmetriegruppe der Fano-Ebene und die zweitkleinste einfache nichtabelsche Gruppe. Noch kleiner ist nur die Ikosaedergruppe die Felix Klein in Zusammenhang mit der Gleichung fünften Grades und der Symmetriegruppe des Ikosaeders behandelte (sie hat 60 Elemente).

Da ihre Symmetriegruppe nicht in die dreidimensionale Drehgruppe SO(3) eingebettet werden kann, gibt es auch keine dreidimensionalen Realisierungen der Klein-Quartik, es gibt aber Darstellungen ihrer Form, zum Beispiel eine Skulptur von Helaman Ferguson vor dem MSRI in Berkeley.

Literatur Bearbeiten

  • Silvio Levy (Hrsg.): The Eightfold Way: The Beauty of Klein’s Quartic Curve, Cambridge UP 1999, Online

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Klein, Über die Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen, Mathematische Annalen, Band 14, 1879, S. 428–471, Nachdruck in den Gesammelten Abhandlungen, Springer, Band 3, S. 90–136, Digitalisat, Sub Göttingen
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Die Kleinsche Quartik ist eine Kurve 4 Grades in der komplexen projektiven Ebene die in homogenen Koordinaten x y z displaystyle x y z durch die GleichungDreidimensionales Modell der Klein Quartik ausgehend von der 7 3 displaystyle lbrace 7 3 rbrace ParkettierungKlein Quartik animiert x 3 y y 3 z z 3 x 0 displaystyle x 3 y y 3 z z 3 x 0 gegeben ist Sie wurde 1879 durch Felix Klein 1 eingefuhrt und besitzt aussergewohnliche Symmetrieeigenschaften Der algebraischen Kurve entspricht eine Riemannsche Flache Die Symmetrieeigenschaften ergeben sich durch Parkettierung der hyperbolischen Ebene mit Heptagonen so dass genau drei an jeder Ecke zusammenstossen deshalb 7 3 displaystyle lbrace 7 3 rbrace genannt Aus genau 24 dieser Heptagone lasst sich ein Torus mit 3 Lochern bilden die Kleinsche Flache topologisch vom Geschlecht 3 Es gibt 24 Transformationen der Parkettierung mit 24 Heptagonen ineinander und fur jede noch 7 Drehungen des Heptagons was 168 Symmetrieoperationen ergibt mit Spiegelungen doppelt so viele 336 Unterteilt man die Heptagone in Dreiecke erhalt man die zu 7 3 displaystyle lbrace 7 3 rbrace Poincare duale Parkettierung 3 7 displaystyle lbrace 3 7 rbrace an jeder Ecke stossen 7 Dreiecke zusammen und man kann die Flache zur Klein Quartik auch aus 56 Dreiecken dieser Parkettierung bilden 56 Transformationen der Dreiecke in andere Dreiecke und jeweils drei Drehungen ergibt wieder 168 Transformationen Parkettierung der hyperbolischen Ebene 3 7 displaystyle lbrace 3 7 rbrace Die Klein Quartik ist ein Quotient dieser Parkettierung Die duale Parkettierung 7 3 displaystyle lbrace 7 3 rbrace Die Klein Quartik ist auch ein Quotient dieser Parkettierung Das ist auch gleichzeitig die maximale Anzahl von Symmetrien fur Flachen vom Geschlecht 3 wie Adolf Hurwitz zeigte Satz von Hurwitz uber Automorphismengruppen Eine Riemannsche Flache vom Geschlecht g displaystyle g hat maximal 84 g 1 displaystyle 84 g 1 konforme Transformationen ohne Spiegelungen Die konformen Abbildungen lassen sich durch gebrochen lineare Abbildungen Mobiustransformationen darstellen und bilden die projektive spezielle lineare Gruppe PSL 2 C displaystyle operatorname PSL 2 mathbb C Sie besteht aus komplexen 2 2 Matrizen mit Determinante 1 wobei Matrizen A displaystyle A und A displaystyle A identifiziert werden Fundamentalbereich der Klein Quartik in der oberen Halbebene Seiten mit gleichen Zahlenwerten am Rand werden identifiziertBetrachtet man die hyperbolische Ebene als komplexe obere Halbebene H displaystyle mathbb H auf der PSL 2 Z displaystyle operatorname PSL 2 mathbb Z wirkt so ist die Riemannsche Flache zur Klein Quartik gegeben durch H G 7 displaystyle mathbb H Gamma 7 mit der Kongruenzuntergruppe G 7 a b c d PSL 2 Z c b 0 a d 1 mod 7 displaystyle Gamma 7 left begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix in text PSL 2 mathbb Z c equiv b equiv 0 a equiv d equiv 1 pmod 7 right Sie ist eine Modulkurve mit Geschlecht 3 und 24 Spitzen siehe Modulform Ihre Symmetriegruppe ist PSL 2 Z G 7 PSL 2 Z 7 displaystyle operatorname PSL 2 mathbb Z Gamma 7 operatorname PSL 2 mathbb Z 7 und hat 168 Elemente ohne Reflexionen die die komplexe Struktur nicht erhalten wurden Sie ist auch die Symmetriegruppe der Fano Ebene und die zweitkleinste einfache nichtabelsche Gruppe Noch kleiner ist nur die Ikosaedergruppe PSL 2 Z 5 displaystyle operatorname PSL 2 mathbb Z 5 die Felix Klein in Zusammenhang mit der Gleichung funften Grades und der Symmetriegruppe des Ikosaeders behandelte sie hat 60 Elemente Da ihre Symmetriegruppe nicht in die dreidimensionale Drehgruppe SO 3 eingebettet werden kann gibt es auch keine dreidimensionalen Realisierungen der Klein Quartik es gibt aber Darstellungen ihrer Form zum Beispiel eine Skulptur von Helaman Ferguson vor dem MSRI in Berkeley Literatur BearbeitenSilvio Levy Hrsg The Eightfold Way The Beauty of Klein s Quartic Curve Cambridge UP 1999 OnlineWeblinks BearbeitenKlein Quartic Mathworld John Baez Klein s Quartic CurveEinzelnachweise Bearbeiten Klein Uber die Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen Mathematische Annalen Band 14 1879 S 428 471 Nachdruck in den Gesammelten Abhandlungen Springer Band 3 S 90 136 Digitalisat Sub Gottingen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kleinsche Quartik amp oldid 237757891