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Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen Der nach Adolf Hurwitz 1893 ist eine Aussage der Funktionentheorie Er besagt

Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen

Der Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen (nach Adolf Hurwitz, 1893) ist eine Aussage der Funktionentheorie. Er besagt, dass die Automorphismengruppe einer hyperbolischen kompakten Riemannschen Fläche endlich ist, und gibt eine nur von topologischen Eigenschaften abhängige obere Schranke für deren Größe an.

Aussage Bearbeiten

Sei eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht (d. h. homöomorph zu einer Sphäre , an der „Henkel“ angeklebt sind). Dann ist die Gruppe der holomorphen Automorphismen endlich und enthält maximal Elemente.

Für die Fälle (die Riemannsche Zahlenkugel mit unendlicher Automorphismengruppe) und (Torus, ebenfalls mit unendlicher Automorphismengruppe) gilt die Abschätzung nicht. Die Gültigkeit der Abschätzung für hängt damit zusammen, dass die universelle Überlagerung dieser Flächen die hyperbolische Halbebene ist, was für nicht mehr zutrifft.

Beispiel Bearbeiten

Die Kleinsche Quartik, definiert durch die Gleichung , als Teilmenge vom projektiven Raum aufgefasst, ist eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht . Ihre Automorphismengruppe ist isomorph zu und besteht aus Elementen.

Literatur Bearbeiten

  • A. Hurwitz: Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich. In: Math. Ann. Band 41, 1893, S. 403–442.
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Der Satz von Hurwitz uber Automorphismengruppen nach Adolf Hurwitz 1893 ist eine Aussage der Funktionentheorie Er besagt dass die Automorphismengruppe einer hyperbolischen kompakten Riemannschen Flache endlich ist und gibt eine nur von topologischen Eigenschaften abhangige obere Schranke fur deren Grosse an Aussage BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine kompakte Riemannsche Flache vom Geschlecht g 2 displaystyle g geq 2 nbsp d h homoomorph zu einer Sphare S2 displaystyle S 2 nbsp an der g 2 displaystyle g geq 2 nbsp Henkel angeklebt sind Dann ist die Gruppe der holomorphen Automorphismen Aut X f X Xbijektiv holomorph displaystyle mathrm Aut X left f colon X to X mbox bijektiv holomorph right nbsp endlich und enthalt maximal 84 g 1 displaystyle 84 cdot g 1 nbsp Elemente Fur die Falle g 0 displaystyle g 0 nbsp die Riemannsche Zahlenkugel P1C displaystyle mathbb P 1 mathbb C nbsp mit unendlicher Automorphismengruppe und g 1 displaystyle g 1 nbsp Torus ebenfalls mit unendlicher Automorphismengruppe gilt die Abschatzung nicht Die Gultigkeit der Abschatzung fur g 2 displaystyle g geq 2 nbsp hangt damit zusammen dass die universelle Uberlagerung dieser Flachen die hyperbolische Halbebene H displaystyle mathbb H nbsp ist was fur g 0 1 displaystyle g 0 1 nbsp nicht mehr zutrifft Beispiel BearbeitenDie Kleinsche Quartik definiert durch die Gleichung x3y y3z z3x 0 displaystyle x 3 y y 3 z z 3 x 0 nbsp als Teilmenge vom projektiven Raum P2C displaystyle mathbb P 2 mathbb C nbsp aufgefasst ist eine Riemannsche Flache vom Geschlecht 3 displaystyle 3 nbsp Ihre Automorphismengruppe ist isomorph zu PSL 2 7 displaystyle PSL 2 7 nbsp und besteht aus 168 84 3 1 displaystyle 168 84 cdot 3 1 nbsp Elementen Literatur BearbeitenA Hurwitz Uber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich In Math Ann Band 41 1893 S 403 442 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Hurwitz uber Automorphismengruppen amp oldid 225266742