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Motiv Mathematik In der algebraischen Geometrie ist die Theorie der Motive eine mutmaßlich universelle Kohomologietheori

Motiv (Mathematik)

In der algebraischen Geometrie ist die Theorie der Motive eine mutmaßlich universelle Kohomologietheorie von Schemata, aus der sich die De-Rham-Kohomologie, die l-adische Kohomologie und die kristalline Kohomologie der zu dem Schema über verschiedenen Körpern assoziierten algebraischen Varietäten gewinnen lassen.

Die Theorie der Motive wurde von Alexander Grothendieck entwickelt und zuerst in einem Brief an Jean-Pierre Serre 1964 eingeführt. Sie soll ihre Verallgemeinerung in der Theorie der gemischten Motive finden, deren derivierte Kategorie von Wladimir Wojewodski konstruiert wurde.

Der Name stammt von Yuri Manin, der im Mai 1967 das Seminar von Grothendieck am IHES besuchte, auf dem er das Konzept der Motive von Grothendieck selbst lernte, und 1968 die erste Arbeit über das Thema veröffentlichte, in der er auch das Motiv einer Aufblasung berechnete ohne Grothendiecks Standardvermutungen zu benutzen.

Zitat Bearbeiten

Unter all den Dingen, die ich entdecken und ans Licht bringen durfte, erscheint mir diese Welt der Motive immer noch als die faszinierendste, am meisten mit Mysterium aufgeladene - der eigentliche Kern der tiefen Identität von „Geometrie“ und „Arithmetik“. Und das "Yoga der Motive". . . Es ist vielleicht das mächtigste Werkzeug, das ich in dieser ersten Periode meines Lebens als Mathematiker freigelegt habe.

Entgegen dem, was in der gewöhnlichen Topologie passierte, findet man sich dort also vor eine beunruhigende Fülle verschiedener kohomologischer Theorien gestellt. Man hat den entschiedenen Eindruck (aber auf eine Art, die vage bleibt), dass jede dieser Theorien "dasselbe ist", dass sie "dieselben Ergebnisse liefern". Um diese Verwandtschaft dieser verschiedenen kohomologischen Theorien auszudrücken, formulierte ich den Begriff des „Motivs“, das zu einer algebraischen Varietät assoziiert ist. Mit diesem Begriff will ich nahelegen, dass es das "gemeinsame Motiv" (oder der "gemeinsame Grund") hinter dieser Vielzahl von mit einer algebraischen Varietät assoziierten kohomologischen Invarianten ist, oder tatsächlich hinter allen a priori möglichen kohomologischen Invarianten.

(Alexandre Grothendieck: Récoltes et semailles: Réflexions et témoignages sur un passé de mathématicien. Université des Sciences et Technologies du Languedoc, Montpellier, et Centre National de la Recherche Scientifique, 1986.)

Definition (Grothendieck) Bearbeiten

Die Kategorie der Motive Bearbeiten

Ein Motiv ist ein Tripel aus einer glatten projektiven Varietät , einer idempotenten Korrespondenz und einer ganzen Zahl .

Morphismen zwischen Motiven und sind die Elemente von , wobei die Gruppe der Korrespondenzen vom Grad bezeichnet und die Gruppe ihrer Äquivalenzklassen modulo numerischer Äquivalenz.

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

Zu jeder glatten projektiven Varietät hat man ein assoziiertes Motiv , wobei die Diagonale in ist.

Es existiert ein universeller "Realisierungs"-Funktor von der Kategorie der Motive in die Kategorie der -graduierten abelschen Gruppen, so dass für jede glatte projektive Varietät ihre Chow-Gruppe die Realisierung von ist.

Die Realisierung bildet auf das Bild des Homomorphismus

ab, wobei die erste Abbildung von der Inklusion in den ersten Faktor, die zweite Abbildung von dem Schnittprodukt mit und die dritte Abbildung von der Projektion auf den zweiten Faktor induziert ist.

System von Realisierungen Bearbeiten

Zu einem Motiv gehört ein System von Realisierungen (manche Autoren wie Deligne verwenden dies auch als Definition eines Motivs), das sind

  • -Moduln und ,
  • ein -Modul und
  • für jede Primzahl ein -Modul
  • mit Morphismen zwischen den (Basiswechseln der) Moduln,
  • mit Filtrierungen und ,
  • mit einer -Wirkung auf und
  • mit einem „Frobenius“-Automorphismus auf jedem .

Im Fall des zu einem Schema assoziierten Motivs ist

Motive als universelle Kohomologietheorie Bearbeiten

Motive bilden eine universelle Kohomologietheorie, wenn (in jeder Kohomologietheorie) die Kohomologieklasse jedes numerisch null-äquivalenten algebraischen Zykels verschwindet. Diese Vermutung ist eine schwache Form der Lefschetz-Standardvermutung, aus der sich gemeinsam mit der Hodge-Standardvermutung ein Beweis der (mit anderen Methoden von Deligne bewiesenen) Weil-Vermutungen ergäbe. Sie ist in Charakteristik 0 bewiesen für abelsche Varietäten und würde allgemein aus der Hodge-Vermutung folgen.

Eigenschaften Bearbeiten

L-Funktionen von Motiven Bearbeiten

Für reine Motive über definiert man ihre Zetafunktion als charakteristisches Polynom des Frobenius-Homomorphismus (falls das Motiv von ungeradem Gewicht ist) oder dessen Inversen (falls das Motiv von geradem Gewicht ist). Für direkte Summen reiner Motive über definiert man die Zetafunktion als das Produkt der Zetafunktionen der reinen Summanden.

Für Motive über kann man für fast alle ("guten") Primzahlen das Motiv zu einem Motiv über reduzieren und definiert dann

Diese Funktion wird als motivische L-Funktion bezeichnet.

Die Modularitätsvermutung aus dem Langlands-Programm besagt, dass jede motivische L-Funktion ein alternierendes Produkt automorpher L-Funktionen ist.

Literatur Bearbeiten

  • Uwe Jannsen, Steven Kleiman, Jean-Pierre Serre: Motives, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 55, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1994. ISBN 978-0-8218-1636-3
  • Yves André: Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses 17, Paris: Société Mathématique de France, 2004. ISBN 978-2-85629-164-1
  • Jacob Murre, Jan Nagel, Chris Peters: Lectures on the theory of pure motives, American Mathematical Society 2010
  • Barry Mazur: What is a Motive ?, Notices AMS, Band 51, November 2004, S. 1214–1216, pdf

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Manin, Correspondences, Mofifs and monoidal transformations, Math. USSR-Sb., Band 6, 1968, S. 439–470, Russische Version bei mathnet.ru
  2. Manin, Forgotten motives: the varieties of scientific experience, in: Leila Schneps, Alexandre Grothendieck, a mathematical portrait, International Press, Boston 2014, Arxiv
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Veröffentlichungsdatum:
In der algebraischen Geometrie ist die Theorie der Motive eine mutmasslich universelle Kohomologietheorie von Schemata aus der sich die De Rham Kohomologie die l adische Kohomologie und die kristalline Kohomologie der zu dem Schema uber verschiedenen Korpern assoziierten algebraischen Varietaten gewinnen lassen Die Theorie der Motive wurde von Alexander Grothendieck entwickelt und zuerst in einem Brief an Jean Pierre Serre 1964 eingefuhrt Sie soll ihre Verallgemeinerung in der Theorie der gemischten Motive finden deren derivierte Kategorie von Wladimir Wojewodski konstruiert wurde Der Name stammt von Yuri Manin der im Mai 1967 das Seminar von Grothendieck am IHES besuchte auf dem er das Konzept der Motive von Grothendieck selbst lernte und 1968 die erste Arbeit uber das Thema veroffentlichte in der er auch das Motiv einer Aufblasung berechnete ohne Grothendiecks Standardvermutungen zu benutzen 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Zitat 2 Definition Grothendieck 2 1 Die Kategorie der Motive 2 2 Universelle Eigenschaft 3 System von Realisierungen 4 Motive als universelle Kohomologietheorie 5 Eigenschaften 6 L Funktionen von Motiven 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseZitat BearbeitenUnter all den Dingen die ich entdecken und ans Licht bringen durfte erscheint mir diese Welt der Motive immer noch als die faszinierendste am meisten mit Mysterium aufgeladene der eigentliche Kern der tiefen Identitat von Geometrie und Arithmetik Und das Yoga der Motive Es ist vielleicht das machtigste Werkzeug das ich in dieser ersten Periode meines Lebens als Mathematiker freigelegt habe Entgegen dem was in der gewohnlichen Topologie passierte findet man sich dort also vor eine beunruhigende Fulle verschiedener kohomologischer Theorien gestellt Man hat den entschiedenen Eindruck aber auf eine Art die vage bleibt dass jede dieser Theorien dasselbe ist dass sie dieselben Ergebnisse liefern Um diese Verwandtschaft dieser verschiedenen kohomologischen Theorien auszudrucken formulierte ich den Begriff des Motivs das zu einer algebraischen Varietat assoziiert ist Mit diesem Begriff will ich nahelegen dass es das gemeinsame Motiv oder der gemeinsame Grund hinter dieser Vielzahl von mit einer algebraischen Varietat assoziierten kohomologischen Invarianten ist oder tatsachlich hinter allen a priori moglichen kohomologischen Invarianten Alexandre Grothendieck Recoltes et semailles Reflexions et temoignages sur un passe de mathematicien Universite des Sciences et Technologies du Languedoc Montpellier et Centre National de la Recherche Scientifique 1986 Definition Grothendieck BearbeitenDie Kategorie der Motive Bearbeiten Ein Motiv ist ein Tripel X p m displaystyle X p m nbsp aus einer glatten projektiven Varietat X displaystyle X nbsp einer idempotenten Korrespondenz p X X displaystyle p colon X vdash X nbsp und einer ganzen Zahl m displaystyle m nbsp Morphismen zwischen Motiven X p m displaystyle X p m nbsp und Y q n displaystyle Y q n nbsp sind die Elemente von C o r r n m X Y Q displaystyle Corr sim n m X Y otimes mathbb Q nbsp wobei C o r r n m X Y displaystyle Corr n m X Y nbsp die Gruppe der Korrespondenzen X Y displaystyle X vdash Y nbsp vom Grad n m displaystyle n m nbsp bezeichnet und C o r r n m X Y displaystyle Corr sim n m X Y nbsp die Gruppe ihrer Aquivalenzklassen modulo numerischer Aquivalenz Universelle Eigenschaft Bearbeiten Zu jeder glatten projektiven Varietat X displaystyle X nbsp hat man ein assoziiertes Motiv M X X D X 0 displaystyle mathcal M X X Delta X 0 nbsp wobei D X displaystyle Delta X nbsp die Diagonale in X X displaystyle X times X nbsp ist Es existiert ein universeller Realisierungs Funktor von der Kategorie der Motive in die Kategorie der Z displaystyle mathbb Z nbsp graduierten abelschen Gruppen so dass fur jede glatte projektive Varietat X displaystyle X nbsp ihre Chow Gruppe C H X displaystyle CH X nbsp die Realisierung von M X displaystyle mathcal M X nbsp ist Die Realisierung bildet X p m displaystyle X p m nbsp auf das Bild des Homomorphismus C H X C H X X C H X X C H X displaystyle CH X to CH X times X to CH X times X to CH X nbsp ab wobei die erste Abbildung von der Inklusion in den ersten Faktor die zweite Abbildung von dem Schnittprodukt mit p displaystyle p nbsp und die dritte Abbildung von der Projektion auf den zweiten Faktor induziert ist System von Realisierungen BearbeitenZu einem Motiv gehort ein System von Realisierungen manche Autoren wie Deligne verwenden dies auch als Definition eines Motivs das sind Q displaystyle mathbb Q nbsp Moduln M B displaystyle M B nbsp und M d R displaystyle M dR nbsp ein A f displaystyle A f nbsp Modul M A f displaystyle M A f nbsp und fur jede Primzahl p displaystyle p nbsp ein Q p displaystyle mathbb Q p nbsp Modul M c r i s p displaystyle M cris p nbsp mit Morphismen c o m p d R B c o m p A f B c o m p c r i s p d R displaystyle comp dR B comp A f B comp cris p dR nbsp zwischen den Basiswechseln der Moduln mit Filtrierungen W displaystyle W nbsp und H displaystyle H nbsp mit einer G a l Q Q displaystyle Gal overline mathbb Q mathbb Q nbsp Wirkung auf M A f displaystyle M A f nbsp und mit einem Frobenius Automorphismus auf jedem M c r i s p displaystyle M cris p nbsp Im Fall des zu einem Schema X displaystyle X nbsp assoziierten Motivs M X displaystyle mathcal M X nbsp ist M B displaystyle M B nbsp die Betti Kohomologie von X C displaystyle X mathbb C nbsp M d R displaystyle M dR nbsp die De Rham Kohomologie von X C displaystyle X mathbb C nbsp M A f displaystyle M A f nbsp die l adische Kohomologie uber einem beliebigen Feld der Charakteristik p l displaystyle p not l nbsp mit ihrer G a l Q Q displaystyle Gal overline mathbb Q mathbb Q nbsp Wirkung M c r i s p displaystyle M cris p nbsp die kristalline Kohomologie von X Q p displaystyle X mathbb Q p nbsp mit ihrem Frobenius Homomorphismus W displaystyle W nbsp die Gewichtsfiltrierung der Kohomologie von X C displaystyle X mathbb C nbsp H displaystyle H nbsp die Hodge Filtrierung der Kohomologie von X C displaystyle X mathbb C nbsp Motive als universelle Kohomologietheorie BearbeitenMotive bilden eine universelle Kohomologietheorie wenn in jeder Kohomologietheorie die Kohomologieklasse jedes numerisch null aquivalenten algebraischen Zykels verschwindet Diese Vermutung ist eine schwache Form der Lefschetz Standardvermutung aus der sich gemeinsam mit der Hodge Standardvermutung ein Beweis der mit anderen Methoden von Deligne bewiesenen Weil Vermutungen ergabe Sie ist in Charakteristik 0 bewiesen fur abelsche Varietaten und wurde allgemein aus der Hodge Vermutung folgen Eigenschaften BearbeitenDie Morphismen M o r X p m Y q n displaystyle Mor X p m Y q n nbsp bilden endlich dimensionale Q displaystyle mathbb Q nbsp Vektorraume Die Motive bilden eine additive Kategorie d h man kann direkte Summen von Motiven bilden Jeder idempotente Endomorphismus eines Motivs zerlegt es als direkte Summe seines Kernes und Bildes Die Kategorie der Motive ist abelsch und halbeinfach Auf der Kategorie der Motive ist ein Tensorprodukt definiert so dass die Kunneth Formel gilt Jedes Motiv M displaystyle M nbsp hat ein duales Motiv M displaystyle M vee nbsp und eine Auswertungsabbildung M M 1 displaystyle M vee otimes M to 1 nbsp mit einer universellen Eigenschaft L Funktionen von Motiven BearbeitenFur reine Motive M p displaystyle M p nbsp uber F p displaystyle F p nbsp definiert man ihre Zetafunktion Z M p t displaystyle Z M p t nbsp als charakteristisches Polynom des Frobenius Homomorphismus falls das Motiv von ungeradem Gewicht ist oder dessen Inversen falls das Motiv von geradem Gewicht ist Fur direkte Summen reiner Motive uber F p displaystyle F p nbsp definiert man die Zetafunktion als das Produkt der Zetafunktionen der reinen Summanden Fur Motive uber Q displaystyle mathbb Q nbsp kann man fur fast alle guten Primzahlen p displaystyle p nbsp das Motiv M displaystyle M nbsp zu einem Motiv M p displaystyle M p nbsp uber F p displaystyle F p nbsp reduzieren und definiert dann z M s P p g u t Z M p p s displaystyle zeta M s Pi p gut Z M p p s nbsp Diese Funktion wird als motivische L Funktion bezeichnet Die Modularitatsvermutung aus dem Langlands Programm besagt dass jede motivische L Funktion ein alternierendes Produkt automorpher L Funktionen ist Literatur BearbeitenUwe Jannsen Steven Kleiman Jean Pierre Serre Motives Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 55 Providence R I American Mathematical Society 1994 ISBN 978 0 8218 1636 3 Yves Andre Une introduction aux motifs motifs purs motifs mixtes periodes Panoramas et Syntheses 17 Paris Societe Mathematique de France 2004 ISBN 978 2 85629 164 1 Jacob Murre Jan Nagel Chris Peters Lectures on the theory of pure motives American Mathematical Society 2010 Barry Mazur What is a Motive Notices AMS Band 51 November 2004 S 1214 1216 pdfWeblinks BearbeitenJames Milne Motives Grothendieck s Dream Webseite von Milne dazu Milne What is a Motive pdf Charles Weibel Review von Vladimir Voevodsky Andrei Suslin Eric Friedlander Cycles transfers and motivic homology theories Princeton UP 2000 Bulletin AMS Band 39 2002 S 127 143 mit Einfuhrung in Motive Pierre Deligne What is a Motive Video eines Vortrags am Institute for Advanced Study Einzelnachweise Bearbeiten Manin Correspondences Mofifs and monoidal transformations Math USSR Sb Band 6 1968 S 439 470 Russische Version bei mathnet ru Manin Forgotten motives the varieties of scientific experience in Leila Schneps Alexandre Grothendieck a mathematical portrait International Press Boston 2014 Arxiv Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Motiv Mathematik amp oldid 232825739