In der algebraischen Geometrie einem Teilgebiet der Mathematik sind Chow Gruppen eine wichtige Invariante von Varietaten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Chow Ring 3 Beispiele 4 Beziehung zur algebraischen K Theorie 5 LiteraturDefinition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine glatte irreduzible projektive Varietat uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i Z i X displaystyle mathcal Z i X nbsp ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen nicht notwendig glatten Untervarietaten W X displaystyle W subset X nbsp der Kodimension i displaystyle i nbsp Ein Element Z Z i X displaystyle Z in mathcal Z i X nbsp ist also eine endliche Summe Z a n a W a displaystyle Z sum alpha n alpha W alpha nbsp mit n a Z displaystyle n alpha in mathbb Z nbsp und W a X displaystyle W alpha subset X nbsp irreduzible Untervarietat der Kodimension i displaystyle i nbsp Zwei Untervarietaten Y Z X displaystyle Y Z subset X nbsp heissen rational aquivalent wenn es eine Untervarietat V X P 1 displaystyle V subset X times P 1 nbsp welche flach uber P 1 displaystyle P 1 nbsp ist sowie a b P 1 displaystyle a b in P 1 nbsp mit p r X V X a Y p r X V X b Z displaystyle pr X V cap X times left a right Y pr X V cap X times left b right Z nbsp gibt Rationale Aquivalenz definiert eine Aquivalenzrelation auf der Zykelgruppe Z i X displaystyle mathcal Z i X nbsp Die Chow Gruppe C H i X displaystyle CH i X nbsp ist definiert als Quotient der Zykel Gruppe modulo rationaler Aquivalenz C H i X Z i X displaystyle CH i X mathcal Z i X sim nbsp Chow Ring BearbeitenDas Schnittprodukt displaystyle times nbsp von Untervarietaten anschaulich modulo rationaler Aquivalenz bringt man Untervarietaten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt definiert eine Abbildung C H i X C H j X C H i j X displaystyle CH i X otimes CH j X rightarrow CH i j X nbsp fur alle i j displaystyle i j nbsp Der Chow Ring ist die direkte Summe der Chow Gruppen C H X i 0 C H i X displaystyle CH X bigoplus i 0 infty CH i X nbsp mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation Mittels des Schnittprodukts C H k X C H l X C H k l X displaystyle times colon CH k X otimes CH l X to CH k l X nbsp definiert man das globale Schnittprodukt C H k X C H l X C H k l dim X X displaystyle cdot colon CH k X otimes CH l X to CH k l dim X X nbsp durch x y D x y displaystyle x cdot y Delta x times y nbsp fur die diagonale Einbettung D X X X displaystyle Delta colon X to X times X nbsp Beispiele BearbeitenFur jede glatte irreduzible Varietat istC H 0 X Z displaystyle CH 0 X mathbb Z nbsp C H 1 X displaystyle CH 1 X nbsp ist die PicardgruppeC H 1 X P i c X displaystyle CH 1 X Pic X nbsp Fur den n displaystyle n nbsp dimensionalen affinen Raum A n displaystyle A n nbsp giltC H k A n 0 displaystyle CH k A n 0 nbsp fur k 0 n displaystyle k not 0 n nbsp C H n A n Z displaystyle CH n A n mathbb Z nbsp Fur den n displaystyle n nbsp dimensionalen projektiven Raum P n displaystyle P n nbsp giltC H k P n Z displaystyle CH k P n mathbb Z nbsp fur 0 k n 1 displaystyle 0 leq k leq n 1 nbsp C H k P n 0 displaystyle CH k P n 0 nbsp fur k gt n 1 displaystyle k gt n 1 nbsp Beziehung zur algebraischen K Theorie BearbeitenSei K X displaystyle K X nbsp der Funktionenkorper der Varietat X displaystyle X nbsp und K M K X displaystyle K M K X nbsp die Milnorsche K Theorie dieses Korpers Dann ist C H k X Kokern x X p 1 K 1 M K X x X p K 0 M K X displaystyle CH k X operatorname Kokern left bigcup x in X p 1 K 1 M K X to bigcup x in X p K 0 M K X right nbsp wobei X p displaystyle X p nbsp die Menge aller Punkte von X displaystyle X nbsp der Dimension p displaystyle p nbsp ist Literatur BearbeitenWei Liang Chow On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety Annals of Mathematics Band 64 1956 S 450 479 ISSN 0003 486X William Fulton Intersection theory Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3 Folge A Series of Modern Surveys in Mathematics 2 Berlin New York Springer Verlag 1998 ISBN 978 0 387 98549 7 MR 1644323 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Chow Gruppe amp oldid 234660916
