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Lefschetz Paket In der Mathematik ist das auch Hodge oder Kähler Paket ein abstraktes Prinzip das sich in völlig untersc

Lefschetz-Paket

In der Mathematik ist das Lefschetz-Paket (auch Hodge-Lefschetz-Paket oder Kähler-Paket) ein abstraktes Prinzip, das sich in völlig unterschiedlichen Gebieten der Mathematik anwenden lässt und in jedem dieser Gebiete die Beweise tiefliegender Vermutungen ermöglicht.

Abstrakte Definition eines Lefschetz-Pakets Bearbeiten

Zu einem mathematischen Objekt wird eine graduierte Algebra mit zugeordnet, so dass man für eine ganze Zahl (die „Dimension“ des Objekts ) und jede ganze Zahl folgendes hat:

wobei den zu dualen Vektorraum bezeichnet.
ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
  • Hodge-Riemann-Relationen: die durch PD und HL gegebenen Paarung
ist symmetrisch sowie positiv definit auf dem Kern von .

Beispiele Bearbeiten

Kähler-Geometrie Bearbeiten

Sei eine geschlossene Kähler-Mannigfaltigkeit mit Kählerform . Dann wird durch die klassische Poincaré-Dualität und die durch

induzierte lineare Abbildung ein Lefschetz-Paket auf der De-Rham-Kohomologie definiert. Dies hat zahlreiche Anwendungen in der Theorie der Kähler-Mannigfaltigkeiten, unter anderem den Hodge-Indexsatz und die Konstruktion und Eigenschaften von Periodenabbildungen.

Weiterhin definiert die Einschränkung von auch ein Lefschetz-Paket auf der Dolbeault-Kohomologie . Allgemeiner kann man zu komplexen projektiven Varietäten ihre Schnittkohomologie betrachten und erhält dann ebenfalls eine Lefschetz-Zerlegung auf .

Algebraische Geometrie Bearbeiten

Sei eine algebraische Varietät. Grothendiecks Standardvermutungen besagen, dass man ein Lefschetz-Paket auf dem Vektorraum der algebraischen Zykel moduli homologischer Äquivalenz hat. Sie sind unbewiesen. Aus den Standardvermutungen folgen die von Deligne mit anderen Methoden bewiesenen Weil-Vermutungen.

Polytope und triangulierte Sphären Bearbeiten

Die kombinatorische Schnittkohomologie eines konvexen Polytops hat ein Lefschetz-Paket. Mit dem schweren Lefschetz-Satz bewies Stanley die g-Vermutung für simpliziale Polytope. Kalle Karu erweiterte dies auf allgemeine Polytope, und Adiprasito zeigte die g-Vermutung für triangulierte Sphären. Aus den Hodge-Riemann-Relationen folgt die Alexandrov-Fenchel-Ungleichung.

Darstellungstheorie Bearbeiten

Soergelsche Bimoduln haben ein Lefschetz-Paket. Daraus folgt die Positivität der Koeffizienten der Kazhdan-Lusztig-Polynome sowie ein algebraischer Beweis (Geordie Williamson, Ben Elias) der zuvor von Beilinson-Bernstein, Brylinski-Kashiwara und später Soergel mit anderen Methoden bewiesenen Kazhdan-Lusztig-Vermutung, einer Charakterformel für Darstellungen höchsten Gewichts.

Matroide Bearbeiten

Der Chow-Ring eines Matroids hat ein Lefschetz-Paket. Aus den Hodge-Riemann-Relationen folgt, dass das chromatische Polynom des Matroids log-konkav und damit unimodal ist. Für eine Folge reeller Zahlen bedeutet log-konkav, dass für die Folgenglieder gilt, und unimodular, dass es ein Folgenglied gibt, so dass (die Folge bestehe aus n Folgengliedern) , das heisst sie hat ein Maximum und ist ansonsten auf der einen Seite monoton fallend und auf der anderen monoton steigend. Diese Eigenschaften gelten insbesondere für die Koeffizienten des chromatischen Polynoms von Graphen, eine Vermutung von Ronald C. Read, die June Huh vor dem Beweis des allgemeineren Falls der Matroide bewiesen hat.

Literatur Bearbeiten

  • Claire Voisin: Hodge theory and the topology of compact Kähler and complex projective manifolds. online
  • June Huh: Tropical geometry of matroids. online
  • June Huh: Combinatorial applications of the Hodge-Riemann relations, Proc. ICM 2018, Arxiv

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne: Faisceaux pervers, Asterisque (1982)
  2. Kleiman: Algebraic cycles and the Weil conjectures. (online)
  3. R. Stanley: The number of faces of a simplicial convex polytope, Adv. Math. 35, 236-238 (1980)
  4. K. Karu: Hard Lefschetz theorem for nonrational polytopes, Invent. Math. 157, 419-447 (2004)
  5. Gil Kalai: Amazing: Karim Adiprasito proved the g-conjecture for spheres! In: Combinatorics and more. 25. Dezember 2018, abgerufen am 26. Januar 2019 (englisch).
  6. B. Elias, G. Williamson: The Hodge theory of Soergel bimodules, Ann. Math. 180, 1089-1136 (2014)
  7. K. Adiprasito, J. Huh, E. Katz: Hodge theory for combinatorial geometries, Ann. Math. 188 (2018)
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist das Lefschetz Paket auch Hodge Lefschetz Paket oder Kahler Paket ein abstraktes Prinzip das sich in vollig unterschiedlichen Gebieten der Mathematik anwenden lasst und in jedem dieser Gebiete die Beweise tiefliegender Vermutungen ermoglicht Inhaltsverzeichnis 1 Abstrakte Definition eines Lefschetz Pakets 2 Beispiele 2 1 Kahler Geometrie 2 2 Algebraische Geometrie 2 3 Polytope und triangulierte Spharen 2 4 Darstellungstheorie 2 5 Matroide 3 Literatur 4 EinzelnachweiseAbstrakte Definition eines Lefschetz Pakets BearbeitenZu einem mathematischen Objekt X displaystyle X nbsp wird eine graduierte Algebra A X displaystyle A X nbsp mit A 0 X R displaystyle A 0 X mathbb R nbsp zugeordnet so dass man fur eine ganze Zahl d displaystyle d nbsp die Dimension des Objekts X displaystyle X nbsp und jede ganze Zahl k displaystyle k nbsp folgendes hat Poincare Dualitat einen Vektorraum IsomorphismusP D A k X A d k X displaystyle PD colon A k X to A d k X nbsp dd wobei A displaystyle A nbsp den zu A displaystyle A nbsp dualen Vektorraum bezeichnet Schwerer Lefschetz Satz eine lineare Abbildung L A k X A k 1 X displaystyle L colon A k X to A k 1 X nbsp so dassH L L d 2 k A k X A d k X displaystyle HL L d 2k colon A k X to A d k X nbsp dd ein Vektorraum Isomorphismus ist Hodge Riemann Relationen die durch PD und HL gegebenen PaarungA k X A k X A d X R displaystyle A k X times A k X to A d X mathbb R nbsp dd ist symmetrisch sowie positiv definit auf dem Kern von L d 2 k 1 displaystyle L d 2k 1 nbsp Beispiele BearbeitenKahler Geometrie Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine geschlossene Kahler Mannigfaltigkeit mit Kahlerform w displaystyle omega nbsp Dann wird durch die klassische Poincare Dualitat und die durch L w displaystyle L omega wedge nbsp induzierte lineare Abbildung L displaystyle L nbsp ein Lefschetz Paket auf der De Rham Kohomologie H d R M displaystyle H dR M nbsp definiert Dies hat zahlreiche Anwendungen in der Theorie der Kahler Mannigfaltigkeiten unter anderem den Hodge Indexsatz und die Konstruktion und Eigenschaften von Periodenabbildungen Weiterhin definiert die Einschrankung von L displaystyle L nbsp auch ein Lefschetz Paket auf der Dolbeault Kohomologie k H k k M displaystyle textstyle bigoplus k H k k M nbsp Allgemeiner kann man zu komplexenprojektiven Varietaten X displaystyle X nbsp ihre Schnittkohomologie betrachten und erhalt dann ebenfalls eine Lefschetz Zerlegung auf k H k k X displaystyle bigoplus k H k k X nbsp 1 Algebraische Geometrie Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp eine algebraische Varietat Grothendiecks Standardvermutungen besagen dass man ein Lefschetz Paket auf dem Vektorraum der algebraischen Zykel moduli homologischer Aquivalenz hat Sie sind unbewiesen Aus den Standardvermutungen folgen die von Deligne mit anderen Methoden bewiesenen Weil Vermutungen 2 Polytope und triangulierte Spharen Bearbeiten Die kombinatorische Schnittkohomologie eines konvexen Polytops hat ein Lefschetz Paket Mit dem schweren Lefschetz Satz bewies Stanley die g Vermutung fur simpliziale Polytope 3 Kalle Karu erweiterte dies auf allgemeine Polytope 4 und Adiprasito zeigte die g Vermutung fur triangulierte Spharen 5 Aus den Hodge Riemann Relationen folgt die Alexandrov Fenchel Ungleichung Darstellungstheorie Bearbeiten Soergelsche Bimoduln haben ein Lefschetz Paket Daraus folgt die Positivitat der Koeffizienten der Kazhdan Lusztig Polynome sowie ein algebraischer Beweis Geordie Williamson Ben Elias der zuvor von Beilinson Bernstein Brylinski Kashiwara und spater Soergel mit anderen Methoden bewiesenen Kazhdan Lusztig Vermutung einer Charakterformel fur Darstellungen hochsten Gewichts 6 Matroide Bearbeiten Der Chow Ring eines Matroids hat ein Lefschetz Paket Aus den Hodge Riemann Relationen folgt dass das chromatische Polynom des Matroids log konkav und damit unimodal ist 7 Fur eine Folge reeller Zahlen a i displaystyle a i nbsp bedeutet log konkav dass fur die Folgenglieder a i 1 a i 1 a i 2 displaystyle a i 1 a i 1 leq a i 2 nbsp gilt und unimodular dass es ein Folgenglied a k displaystyle a k nbsp gibt so dass die Folge bestehe aus n Folgengliedern a 1 a k 1 a k a k 1 a n displaystyle a 1 leq cdots leq a k 1 leq a k geq a k 1 geq cdots geq a n nbsp das heisst sie hat ein Maximum und ist ansonsten auf der einen Seite monoton fallend und auf der anderen monoton steigend Diese Eigenschaften gelten insbesondere fur die Koeffizienten des chromatischen Polynoms von Graphen eine Vermutung von Ronald C Read die June Huh vor dem Beweis des allgemeineren Falls der Matroide bewiesen hat Literatur BearbeitenClaire Voisin Hodge theory and the topology of compact Kahler and complex projective manifolds online June Huh Tropical geometry of matroids online June Huh Combinatorial applications of the Hodge Riemann relations Proc ICM 2018 ArxivEinzelnachweise Bearbeiten A Beilinson J Bernstein P Deligne Faisceaux pervers Asterisque 1982 Kleiman Algebraic cycles and the Weil conjectures online R Stanley The number of faces of a simplicial convex polytope Adv Math 35 236 238 1980 K Karu Hard Lefschetz theorem for nonrational polytopes Invent Math 157 419 447 2004 Gil Kalai Amazing Karim Adiprasito proved the g conjecture for spheres In Combinatorics and more 25 Dezember 2018 abgerufen am 26 Januar 2019 englisch B Elias G Williamson The Hodge theory of Soergel bimodules Ann Math 180 1089 1136 2014 K Adiprasito J Huh E Katz Hodge theory for combinatorial geometries Ann Math 188 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lefschetz Paket amp oldid 220286657