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Schwerer Lefschetz Satz In der Mathematik ist der schwere Lefschetz Satz engl hard Lefschetz theorem ein zentraler Lehrs

Schwerer Lefschetz-Satz

In der Mathematik ist der schwere Lefschetz-Satz (engl.: hard Lefschetz theorem) ein zentraler Lehrsatz der komplexen Differentialgeometrie.

Die Bezeichnung dient der Abgrenzung zum im Englischen als weak Lefschetz theorem bezeichneten Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte.

Die durch den Satz gegebene Lefschetz-Zerlegung der De-Rham-Kohomologie von Kählermannigfaltigkeiten hat (teils vermutete, teils bewiesene) Analoga in völlig anderen Gebieten der Mathematik, insbesondere die Standardvermutungen der algebraischen Geometrie oder Resultate der Matroidtheorie in der Kombinatorik.

Satz und Folgerungen Bearbeiten

Sei eine Kählermannigfaltigkeit der komplexen Dimension , also der reellen Dimension , und mit Kählerform . Sei

die durch das äußere Produkt mit der Kählerform auf dem Raum der Differentialformen definierte Abbildung. Dann ist für die in De-Rham-Kohomologie induzierte Abbildung

ein Isomorphismus, der mit dem durch Poincaré-Dualität gegebenen Isomorphismus übereinstimmt.

Da eine -Form ist, erhält man insbesondere einen Isomorphismus der Dolbeault-Kohomologiegruppen

und somit die Symmetrie des Hodge-Diamanten.

Sei

die sogenannte primitive Kohomologie von , dann folgt aus dem schweren Lefschetz-Satz die Lefschetz-Zerlegung

Literatur Bearbeiten

  • R. O. Wells: Differential analysis on complex manifolds, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1973.
  • C. Voisin: Hodge theory and Complex algebraic geometry, Cambridge Stud. in Adv. Math. 76, 77, 2002/3

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik ist der schwere Lefschetz Satz engl hard Lefschetz theorem ein zentraler Lehrsatz der komplexen Differentialgeometrie Die Bezeichnung dient der Abgrenzung zum im Englischen als weak Lefschetz theorem bezeichneten Satz von Lefschetz uber Hyperebenenschnitte Die durch den Satz gegebene Lefschetz Zerlegung der De Rham Kohomologie von Kahlermannigfaltigkeiten hat teils vermutete teils bewiesene Analoga in vollig anderen Gebieten der Mathematik insbesondere die Standardvermutungen der algebraischen Geometrie oder Resultate der Matroidtheorie in der Kombinatorik Satz und Folgerungen BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine Kahlermannigfaltigkeit der komplexen Dimension n displaystyle n nbsp also der reellen Dimension 2 n displaystyle 2n nbsp und mit Kahlerform w W 2 M displaystyle omega in Omega 2 M nbsp Sei L W i M W i 2 M displaystyle L colon Omega i M to Omega i 2 M nbsp die durch das aussere Produkt mit der Kahlerform auf dem Raum der Differentialformen definierte Abbildung Dann ist fur k 0 n displaystyle k 0 ldots n nbsp die in De Rham Kohomologie induzierte Abbildung L k H n k M H n k M displaystyle L k colon H n k M to H n k M nbsp ein Isomorphismus der mit dem durch Poincare Dualitat gegebenen Isomorphismus ubereinstimmt Da w displaystyle omega nbsp eine 1 1 displaystyle 1 1 nbsp Form ist erhalt man insbesondere einen Isomorphismus der Dolbeault Kohomologiegruppen H p q M H n p n q M displaystyle H p q M simeq H n p n q M nbsp und somit die Symmetrie des Hodge Diamanten Sei P H n k M a H n k M L k 1 a 0 displaystyle PH n k M left alpha in H n k M colon L k 1 alpha 0 right nbsp die sogenannte primitive Kohomologie von M displaystyle M nbsp dann folgt aus dem schweren Lefschetz Satz die Lefschetz Zerlegung H r M s L s P H r 2 s M displaystyle H r M bigoplus s L s PH r 2s M nbsp Literatur BearbeitenR O Wells Differential analysis on complex manifolds Prentice Hall Englewood Cliffs N J 1973 C Voisin Hodge theory and Complex algebraic geometry Cambridge Stud in Adv Math 76 77 2002 3Weblinks BearbeitenNotes on Lefschetz Decomposition Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwerer Lefschetz Satz amp oldid 233713451