In der Mathematik ist eine unimodale Folge eine Folge die bis zu einem Maximum monoton wachst und dann monoton fallt Das Maximum kann mehrmals hintereinander angenommen werden Fur festes n displaystyle n bilden die Binomialkoeffizienten n k displaystyle left begin array c n k end array right jeweils eine unimodale Folge Ein Beispiel ist die Folge der Binomialkoeffizienten n k displaystyle left begin array c n k end array right fur festes n displaystyle n und k 0 1 n displaystyle k 0 1 ldots n denn es gilt n 0 n 1 n n 2 n n 2 1 n n displaystyle left begin array c n 0 end array right leq left begin array c n 1 end array right leq cdots leq left begin array c n frac n 2 end array right geq left begin array c n frac n 2 1 end array right geq cdots geq left begin array c n n end array right fur gerade n displaystyle n und n 0 n 1 n n 1 2 n n 1 2 n n displaystyle left begin array c n 0 end array right leq left begin array c n 1 end array right leq cdots leq left begin array c n frac n 1 2 end array right left begin array c n frac n 1 2 end array right geq cdots geq left begin array c n n end array right fur ungerade n displaystyle n Log konkave Folgen BearbeitenEine Folge a i i N displaystyle a i i in mathbb N nbsp heisst log konkav wenn a i 2 a i 1 a i 1 displaystyle a i 2 geq a i 1 a i 1 nbsp fur alle i 1 displaystyle i geq 1 nbsp Der Name leitet sich daraus ab dass die Folge der Logarithmen log a i i N displaystyle log a i i in mathbb N nbsp die Ungleichung log a i 1 log a i 1 2 log a i displaystyle frac log a i 1 log a i 1 2 leq log a i nbsp erfullt also konkav ist Jede log konkave Folge ohne Nullen ist unimodal Tatsachlich folgt aus a i 2 a i 1 a i 1 displaystyle a i 2 geq a i 1 a i 1 nbsp fur alle i 1 displaystyle i geq 1 nbsp dass die Folge der Quotienten a i a i 1 displaystyle frac a i a i 1 nbsp monoton fallend ist Sei dann j 1 displaystyle j geq 1 nbsp der letzte Quotient mit a j a j 1 1 displaystyle frac a j a j 1 geq 1 nbsp bzw j 0 displaystyle j 0 nbsp falls bereits a 1 a 0 lt 1 displaystyle frac a 1 a 0 lt 1 nbsp dann ist die Folge a i i N displaystyle a i i in mathbb N nbsp bis zum Folgenglied a j displaystyle a j nbsp monoton wachsend anschliessend monoton fallend Beispielsweise sind die Folgen der Stirling Zahlen erster und zweiter Art n k displaystyle left begin array c n k end array right nbsp bzw n k displaystyle left begin array c n k end array right nbsp fur festes n displaystyle n nbsp und k 0 1 n displaystyle k 0 1 ldots n nbsp log konkav und damit unimodal Auch die Binomialkoeffizienten bilden eine log konkave Folge Zahlreiche in der Mathematik vorkommende Folgen sind log konkav und damit unimodal Ein Beispiel aus der Geometrie sind die Alexandrov Fenchel Ungleichungen denen zufolge die gemischten Volumina konvexer Korper eine log konkave Folge bilden Weblinks BearbeitenUnimodal Sequence MathWorld R Stanley Log Concave and Unimodal Sequences in Algebra Combinatorics and Geometry M Baker Hodge Theory in Combinatorics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Unimodale Folge amp oldid 224988131
