Hilbertsche Modulfläche In der Mathematik sind n bestimmte komplexe algebraische Flächen die man als Quotienten des Prod

Hilbertsche Modulfläche

In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion Bearbeiten

Sei ein reell quadratischer Zahlkörper, also für eine quadratfreie natürliche Zahl .

Sei der Ganzheitsring von , also mit falls kongruent 2 oder 3 mod 4 und falls kongruent 1 mod 4.

Seien die Einbettungen von , also

Die Abbildungen definieren Einbettungen .

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von unter der Einbettung

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach wirkt dann auf , dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum Hilbertsche Modulfläche und Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe torsionsfrei ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen Bearbeiten

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier.

Zahlentheorie Bearbeiten

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers . Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von . Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist , wobei die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers bezeichnet.

Quellen Bearbeiten

Hirzebruch, Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces, in: W. L. Baily, T. Shioda (Hrsg.): Complex analysis and algebraic geometry, Cambridge University Press, 1977, S. 43–77, Online. (PDF; 1,4 MB)
Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2
Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 03:28 am

In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflachen bestimmte komplexe algebraische Flachen die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhalt Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Algebraische Flachen 3 Zahlentheorie 4 QuellenKonstruktion BearbeitenSei F displaystyle F nbsp ein reell quadratischer Zahlkorper also F Q a displaystyle F mathbb Q sqrt a nbsp fur eine quadratfreie naturliche Zahl a displaystyle a nbsp Sei O F F displaystyle mathcal O F subset F nbsp der Ganzheitsring von F displaystyle F nbsp also O F Z x a displaystyle mathcal O F mathbb Z left x a right nbsp mit x a a displaystyle x a sqrt a nbsp falls a displaystyle a nbsp kongruent 2 oder 3 mod 4 und x a 1 a 2 displaystyle x a frac 1 sqrt a 2 nbsp falls a displaystyle a nbsp kongruent 1 mod 4 Seien s s O F R displaystyle left sigma sigma mathcal O F rightarrow mathbb R right nbsp die Einbettungen von O F displaystyle mathcal O F nbsp also s m n x a m n x a displaystyle sigma pm m nx a m pm nx a nbsp fur alle m n Z displaystyle m n in mathbb Z nbsp Die Abbildungen a 11 a 12 a 21 a 22 s a 11 s a 12 s a 21 s a 22 displaystyle begin pmatrix a 11 amp a 12 a 21 amp a 22 end pmatrix rightarrow begin pmatrix sigma pm a 11 amp sigma pm a 12 sigma pm a 21 amp sigma pm a 22 end pmatrix nbsp definieren Einbettungen s S L 2 O F S L 2 R displaystyle sigma pm SL 2 mathcal O F rightarrow SL 2 mathbb R nbsp Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von S L 2 O F displaystyle SL 2 mathcal O F nbsp unter der Einbettung s s S L 2 O F S L 2 R S L 2 R displaystyle sigma sigma SL 2 mathcal O F rightarrow SL 2 mathbb R times SL 2 mathbb R nbsp Die Gruppe SL 2 R wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen lineare Transformationen Mittels der Einbettung nach S L 2 R S L 2 R displaystyle SL 2 mathbb R times SL 2 mathbb R nbsp wirkt S L 2 O F displaystyle SL 2 mathcal O F nbsp dann auf H 2 H 2 displaystyle mathbb H 2 times mathbb H 2 nbsp dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen Wenn G S L 2 O F displaystyle Gamma subset SL 2 mathcal O F nbsp eine Untergruppe von endlichem Index ist dann heisst der Quotientenraum G H 2 H 2 displaystyle Gamma backslash mathbb H 2 times mathbb H 2 nbsp Hilbertsche Modulflache und G displaystyle Gamma nbsp Hilbertsche Modulgruppe Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen Falls eine Hilbertsche Modulgruppe G S L 2 O F displaystyle Gamma subset SL 2 mathcal O F nbsp torsionsfrei ist dann ist die Hilbertsche Modulflache G H 2 H 2 displaystyle Gamma backslash mathbb H 2 times mathbb H 2 nbsp ein lokal symmetrischer Raum andernfalls hat die Hilbertsche Modulflache Singularitaten Algebraische Flachen BearbeitenEine Klassifikation Hilbertscher Modulflachen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier 1 Zahlentheorie BearbeitenDie Geometrie der Hilbertschen Modulflache kodiert Eigenschaften des Korpers F displaystyle F nbsp Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulflache gleich der Klassenzahl von F displaystyle F nbsp 2 Das Volumen der Hilbertschen Modulflache ist 2 z F 1 displaystyle 2 zeta F 1 nbsp wobei z F displaystyle zeta F nbsp die Dedekindsche Zeta Funktion des Korpers F displaystyle F nbsp bezeichnet 3 Quellen Bearbeiten Hirzebruch Zagier Classification of Hilbert modular surfaces in W L Baily T Shioda Hrsg Complex analysis and algebraic geometry Cambridge University Press 1977 S 43 77 Online PDF 1 4 MB Kapitel III 2 7 in Armand Borel Lizhen Ji Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces Mathematics Theory amp Applications Birkhauser Boston Inc Boston MA 2006 ISBN 978 0 8176 3247 2 Gerard van der Geer Hilbert modular surfaces Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3 16 Springer Verlag Berlin 1988 ISBN 3 540 17601 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hilbertsche Modulflache amp oldid 225837885