Die 3-dimensionale Sphäre oder kurz 3-Sphäre ist ein Objekt in der Mathematik, nämlich eine Sphäre der dritten Dimension. Sie ist neben dem euklidischen Raum das einfachste Beispiel einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit und kann in den euklidischen Raum eingebettet werden.
Als Einheitssphäre trägt sie den Namen .
Definition Bearbeiten
Unter einer 3-dimensionalen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im ist. Letztere wird mit bezeichnet.
Die Einheitssphäre ist die Menge der Punkte im 4-dimensionalen euklidischen Raum mit Abstand eins vom Ursprung, also
wobei die euklidische Norm ist. Sie kann als Rand der 4-Einheitskugel aufgefasst werden und wird daher auch mit bezeichnet.
Eigenschaften Bearbeiten
Geometrische Eigenschaften Bearbeiten
Die 3-dimensionale Hyperfläche (das 3-Volumen) einer 3-Sphäre vom Radius ist
und das 4-dimensionale Hypervolumen einer 4-Kugel (das 4-Volumen des 4-dimensionalen Gebietes innerhalb dieser 3-Sphäre) ist
Entsprechend ist das 4-Volumen von .
Jeder nicht-leere Durchschnitt einer 3-Sphäre mit einer 3-dimensionalen Hyperebene ist eine 2-Sphäre oder ein einzelner Punkt.
Die 3-Sphäre vom Radius hat die konstante, positive Schnittkrümmung .
Topologische Eigenschaften Bearbeiten
Die 3-Sphäre hat keinen Rand, ist kompakt und einfach zusammenhängend. Ihre Homologiegruppen sind
| , | falls | ||
| sonst. |
Jeder topologische Raum mit diesen Homologiegruppen wird 3-Homologiesphäre genannt.
Sie ist homöomorph zur Einpunkt-Kompaktifizierung des und ist der homogene Raum
Differenzierbare Struktur Bearbeiten
Wie jede 3-dimensionale Mannigfaltigkeit hat die 3-Sphäre nach dem Satz von Moise eine eindeutige Differentialstruktur und eine eindeutige PL-Struktur.
Runde Metrik Bearbeiten
Die Einbettung als Einheitssphäre im gibt der Sphäre die „runde Metrik“ mit Schnittkrümmung konstant 1. Insbesondere wird sie mit dieser Metrik ein symmetrischer Raum mit Isometriegruppe .
Jede Metrik konstanter Schnittkrümmung ist ein Vielfaches der runden Metrik.
Die 3-Sphäre als Lie-Gruppe Bearbeiten
Die 3-Sphäre ist eine nichtabelsche Gruppe. Sie fällt zusammen mit der Gruppe der Einheitsquaternionen
mit und . Die Abbildung
ist ein Isomorphismus der Quaternionen in den Ring der komplexen 2×2-Matrizen, der auf die Untergruppe der unitären Matrizen
abbildet. Sie machen eine Lie-Gruppe aus, die den Namen trägt.
Diese Bijektion ist gleichzeitig ein Diffeomorphismus
Die 3-Sphäre ist die einfachste nichtabelsche kompakte Lie-Gruppe und insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik von Bedeutung.
Poincaré-Vermutung Bearbeiten
Die 3-Sphäre ist die einzige einfach zusammenhängende, kompakte 3-Mannigfaltigkeit.
Vektorfelder auf der 3-Sphäre Bearbeiten
Als Lie-Gruppe ist die 3-Sphäre parallelisierbar. Ein Beispiel dreier linear unabhängiger Vektorfelder auf der Einheitssphäre im ist
Heegaard-Zerlegungen Bearbeiten
Man erhält die 3-dimensionale Sphäre, indem man die Ränder zweier 3-dimensionaler Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.
Allgemeiner hat die 3-Sphäre zu jedem eine eindeutige Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht .
Dehn-Chirurgien Bearbeiten
Jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit kann durch Chirurgien an Verschlingungen in der 3-Sphäre konstruiert werden.
Sphärische 3-Mannigfaltigkeiten Bearbeiten
Aus dem von Thurston initiierten und von Perelman bewiesenen Geometrisierungsprogramm folgt, dass alle kompakten 3-Mannigfaltigkeiten endlicher Fundamentalgruppe sphärische 3-Mannigfaltigkeiten (oder 3-dimensionale sphärische Raumformen) sind, sich also als Quotientenraum
für eine endliche Gruppe von Isometrien der runden Metrik darstellen lassen.
Beispiele 3-dimensionaler sphärischer Raumformen sind die Linsenräume oder die Poincaré-Homologiesphäre.
Literatur Bearbeiten
- Nikolai Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. De Gruyter Textbook. Walter de Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016271-7