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Dehn Chirurgie In der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik ist ein auf Max Dehn zurückgehendes Verfahren zur Konstr

Dehn-Chirurgie

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist Dehn-Chirurgie ein auf Max Dehn zurückgehendes Verfahren zur Konstruktion 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, indem aus der 3-dimensionalen Sphäre ein Knoten herausgebohrt und anders wieder eingeklebt wird.

Ein Knoten im 3-dimensionalen Raum.
Ein Volltorus.
Die Umgebung eines Knotens ist ein verknoteter Volltorus.

Anschauliche Beschreibung Bearbeiten

Die 3-dimensionale Sphäre ist die durch Hinzufügen eines Punktes im Unendlichen aus dem 3-dimensionalen Raum entstehenden Sphäre, also kurz gesagt die Ein-Punkt-Kompaktifizierung des 3-dimensionalen Raums. Ein Knoten ist eine in die 3-dimensionale Sphäre eingebettete Kreislinie. Eine Umgebung dieses Knotens ist ein Volltorus, der Rand dieser Umgebung ist ein Torus.

Durch Herausschneiden dieses Volltorus aus der 3-dimensionalen Sphäre erhält man eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit, deren Rand ein Torus ist. (Siehe Knotenkomplement.)

Mittels einer Verklebeabbildung, die eine Selbstabbildung des Torus ist, kann man nun den Volltorus wieder an den Rand ankleben und erhält eine geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeit.

Diese neue 3-Mannigfaltigkeit hat im Allgemeinen eine andere Topologie als die 3-Sphäre, nämlich genau dann wenn die Verklebeabbildung nicht homotop zur Identitätsabbildung ist.

Entsprechend kann man auch für in anderen 3-Mannigfaltigkeiten eingebettete Knoten eine Umgebung herausschneiden und anders wieder einkleben. Diese Prozedur wird als Dehn-Chirurgie bezeichnet.

Mathematische Definition Bearbeiten

Sei eine 3-Mannigfaltigkeit und eine Einbettung mit Bild . Sei eine ganzzahlige Matrix. Man hefte an an, indem man mit identifiziert.

Man kann zeigen, dass die so konstruierte Mannigfaltigkeit bis auf Homöomorphie nur vom Knoten und den Zahlen (nicht von ) abhängt. Man bezeichnet als die durch Dehn-Chirurgie am Knoten mit Koeffizienten erhaltene Mannigfaltigkeit.

Entsprechend kann man für eine Verschlingung (Link) eine Mannigfaltigkeit durch Hintereinanderausführung (in beliebiger Reihenfolge) der Dehn-Chirurgien mit Koeffizienten an den Knoten definieren.

Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten (Satz von Lickorish-Wallace) Bearbeiten

Jede geschlossene, orientierbare, zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit kann durch Dehn-Chirurgie an einem Link in der 3-Sphäre konstruiert werden. Man kann sogar erreichen, dass alle Komponenten von unverknotet und dass alle Koeffizienten sind.

Konstruktion hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten (Satz von Thurston) Bearbeiten

Wenn eine vollständige hyperbolische Metrik von endlichem Volumen trägt, dann sind fast alle durch Dehn-Chirurgie an erzeugten Mannigfaltigkeiten ebenfalls hyperbolisch.

Für den Achterknoten gibt es 10 exzeptionelle (das heißt: nicht-hyperbolische) Dehn-Chirurgien. Lackenby und Meyerhoff haben bewiesen, dass für jeden Knoten die Anzahl exzeptioneller Dehn-Chirurgien höchstens 10 ist.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Belege Bearbeiten

  1. tom Dieck, Tammo: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2008. ISBN 978-3-03719-048-7
  2. Wallace, Andrew H.: Modifications and cobounding manifolds. Canad. J. Math. 12 1960 503–528.
  3. Lickorish, W. B. R.: A representation of orientable combinatorial 3 -manifolds. Ann. of Math. (2) 76 1962 531–540.
  4. Thurston, W.P.: The Geometry and Topology of Three-Manifolds
  5. Lackenby, Marc; Meyerhoff, Robert: The maximal number of exceptional Dehn surgeries. Invent. Math. 191 (2013), no. 2, 341–382.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik ist Dehn Chirurgie ein auf Max Dehn zuruckgehendes Verfahren zur Konstruktion 3 dimensionaler Mannigfaltigkeiten indem aus der 3 dimensionalen Sphare ein Knoten herausgebohrt und anders wieder eingeklebt wird Ein Knoten im 3 dimensionalen Raum Ein Volltorus Die Umgebung eines Knotens ist ein verknoteter Volltorus Inhaltsverzeichnis 1 Anschauliche Beschreibung 2 Mathematische Definition 3 Konstruktion von 3 Mannigfaltigkeiten Satz von Lickorish Wallace 4 Konstruktion hyperbolischer 3 Mannigfaltigkeiten Satz von Thurston 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 Literatur 8 BelegeAnschauliche Beschreibung BearbeitenDie 3 dimensionale Sphare ist die durch Hinzufugen eines Punktes im Unendlichen aus dem 3 dimensionalen Raum entstehenden Sphare also kurz gesagt die Ein Punkt Kompaktifizierung des 3 dimensionalen Raums Ein Knoten ist eine in die 3 dimensionale Sphare eingebettete Kreislinie Eine Umgebung dieses Knotens ist ein Volltorus der Rand dieser Umgebung ist ein Torus Durch Herausschneiden dieses Volltorus aus der 3 dimensionalen Sphare erhalt man eine 3 dimensionale Mannigfaltigkeit deren Rand ein Torus ist Siehe Knotenkomplement Mittels einer Verklebeabbildung die eine Selbstabbildung des Torus ist kann man nun den Volltorus wieder an den Rand ankleben und erhalt eine geschlossene 3 dimensionale Mannigfaltigkeit Diese neue 3 Mannigfaltigkeit hat im Allgemeinen eine andere Topologie als die 3 Sphare namlich genau dann wenn die Verklebeabbildung nicht homotop zur Identitatsabbildung ist Entsprechend kann man auch fur in anderen 3 Mannigfaltigkeiten eingebettete Knoten eine Umgebung herausschneiden und anders wieder einkleben Diese Prozedur wird als Dehn Chirurgie bezeichnet Mathematische Definition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine 3 Mannigfaltigkeit und t D 2 S 1 M displaystyle t colon mathbb D 2 times S 1 rightarrow M nbsp eine Einbettung mit Bild U displaystyle U nbsp Sei a b c d S L 2 Z displaystyle begin array cc a amp b c amp d end array in SL 2 mathbb Z nbsp eine ganzzahlige Matrix Man hefte S 1 D 2 displaystyle S 1 times mathbb D 2 nbsp an M U displaystyle M setminus U nbsp an indem man z w S 1 S 1 S 1 D 2 displaystyle z w in S 1 times S 1 subset S 1 times mathbb D 2 nbsp mit t z a w b z c w d displaystyle t z a w b z c w d nbsp identifiziert 1 Man kann zeigen dass die so konstruierte Mannigfaltigkeit M K b d displaystyle M K tfrac b d nbsp bis auf Homoomorphie nur vom Knoten K t 0 S 1 displaystyle K t 0 times S 1 nbsp und den Zahlen b d displaystyle b d nbsp nicht von a c displaystyle a c nbsp abhangt Man bezeichnet M K b d displaystyle M K tfrac b d nbsp als die durch Dehn Chirurgie am Knoten K displaystyle K nbsp mit Koeffizienten b d displaystyle tfrac b d nbsp erhaltene Mannigfaltigkeit Entsprechend kann man fur eine Verschlingung Link L K 1 K n M displaystyle L K 1 cup ldots cup K n subset M nbsp eine Mannigfaltigkeit M L b 1 d 1 b n d n displaystyle M L tfrac b 1 d 1 ldots tfrac b n d n nbsp durch Hintereinanderausfuhrung in beliebiger Reihenfolge der Dehn Chirurgien mit Koeffizienten b i d i displaystyle tfrac b i d i nbsp an den Knoten K i i 1 n displaystyle K i i 1 ldots n nbsp definieren Konstruktion von 3 Mannigfaltigkeiten Satz von Lickorish Wallace BearbeitenJede geschlossene orientierbare zusammenhangende 3 Mannigfaltigkeit kann durch Dehn Chirurgie an einem Link L S 3 displaystyle L subset S 3 nbsp in der 3 Sphare konstruiert werden Man kann sogar erreichen dass alle Komponenten von L displaystyle L nbsp unverknotet und dass alle Koeffizienten b i d i 1 displaystyle tfrac b i d i pm 1 nbsp sind 2 3 Konstruktion hyperbolischer 3 Mannigfaltigkeiten Satz von Thurston Bearbeiten Hauptartikel Hyperbolische Dehn Chirurgie Wenn M K displaystyle M setminus K nbsp eine vollstandige hyperbolische Metrik von endlichem Volumen tragt dann sind fast alle durch Dehn Chirurgie an K displaystyle K nbsp erzeugten Mannigfaltigkeiten ebenfalls hyperbolisch 4 Fur den Achterknoten gibt es 10 exzeptionelle das heisst nicht hyperbolische Dehn Chirurgien Lackenby und Meyerhoff haben bewiesen dass fur jeden Knoten die Anzahl exzeptioneller Dehn Chirurgien hochstens 10 ist 5 Siehe auch BearbeitenEigenschaft P Eigenschaft RWeblinks BearbeitenSiddhartha Gadgil Dehn Surgery pdfLiteratur BearbeitenMax Dehn Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes Math Ann 69 1910 137 168 Kapitel 65 in Herbert Seifert William Threlfall Lehrbuch der Topologie 89 Leipzig Teubner 1934 Belege Bearbeiten tom Dieck Tammo Algebraic topology EMS Textbooks in Mathematics European Mathematical Society EMS Zurich 2008 ISBN 978 3 03719 048 7 Wallace Andrew H Modifications and cobounding manifolds Canad J Math 12 1960 503 528 Lickorish W B R A representation of orientable combinatorial 3 manifolds Ann of Math 2 76 1962 531 540 Thurston W P The Geometry and Topology of Three Manifolds Lackenby Marc Meyerhoff Robert The maximal number of exceptional Dehn surgeries Invent Math 191 2013 no 2 341 382 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dehn Chirurgie amp oldid 233242245