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Isometrie Riemannsche Geometrie In der Differentialgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man Abbildungen

Isometrie (Riemannsche Geometrie)

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Abbildungen als lokale Isometrien, wenn sie die Riemannsche Metrik erhalten. Als Isometrien bezeichnet man Diffeomorphismen, die lokale Isometrien sind.

Eine lokale Isometrie bildet Kurven auf Kurven gleicher Länge ab, sie muss aber nicht unbedingt Abstände erhalten. (Zum Beispiel ist eine Riemannsche Überlagerung eine lokale Isometrie.) Eine Isometrie erhält auch Abstände. Eine Isometrie im Sinne der Riemannschen Geometrie ist also immer auch eine Isometrie zwischen den metrischen Räumen. Umgekehrt ist nach einem Satz von Myers-Steenrod jede Abstände erhaltende Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine Isometrie im Sinne der Riemannschen Geometrie.

Definition Bearbeiten

Seien und zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Ein Diffeomorphismus ist eine Isometrie, wenn

gilt, wobei den Pullback des metrischen Tensors bezeichnet. Es soll also die Gleichung

für alle Tangentialvektoren in gelten, wobei den Pushforward von bezeichnet.

Eine lokale Isometrie ist ein lokaler Diffeomorphismus mit .

Beispiel Bearbeiten

Die Isometrien des euklidischen Raumes sind Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen.

Satz von Myers-Steenrod Bearbeiten

Sumner Byron Myers und Norman Steenrod bewiesen 1939, dass jede Abstände erhaltende stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine Isometrie sein muss. (Insbesondere ist eine solche Abbildung immer differenzierbar.) Ein einfacherer Beweis wurde 1957 von Richard Palais gegeben.

Isometrie-Gruppe Bearbeiten

Die Isometrien eines metrischen Raumes bilden immer eine Gruppe. Steenrod und Myers bewiesen 1939, dass die Isometrie-Gruppe einer Riemannschen Mannigfaltigkeit immer eine Lie-Gruppe ist (Satz von Myers-Steenrod).

Beispiele:

Die Dimension der Isometriegruppe einer n-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit ist höchstens .

Quellen Bearbeiten

  1. S. B. Myers, N. E. Steenrod: The group of isometries of a Riemannian manifold. In: Ann. of Math. 2, Nr. 40, 1939, S. 400–416.
  2. R. S. Palais: On the differentiability of isometries. In: Proceedings of the American Mathematical Society. 8, 1957, S. 805–807.
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In der Differentialgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man Abbildungen als lokale Isometrien wenn sie die Riemannsche Metrik erhalten Als Isometrien bezeichnet man Diffeomorphismen die lokale Isometrien sind Eine lokale Isometrie bildet Kurven auf Kurven gleicher Lange ab sie muss aber nicht unbedingt Abstande erhalten Zum Beispiel ist eine Riemannsche Uberlagerung eine lokale Isometrie Eine Isometrie erhalt auch Abstande Eine Isometrie im Sinne der Riemannschen Geometrie ist also immer auch eine Isometrie zwischen den metrischen Raumen Umgekehrt ist nach einem Satz von Myers Steenrod jede Abstande erhaltende Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine Isometrie im Sinne der Riemannschen Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Satz von Myers Steenrod 4 Isometrie Gruppe 5 QuellenDefinition BearbeitenSeien M g displaystyle M g nbsp und M g displaystyle M g nbsp zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten Ein Diffeomorphismus f M M displaystyle f colon M to M nbsp ist eine Isometrie wenn g f g displaystyle g f g nbsp gilt wobei f g v w g f v f w displaystyle f g v w g left f v f w right nbsp den Pullback des metrischen Tensors bezeichnet Es soll also die Gleichung g v w g f v f w displaystyle g v w g left f v f w right nbsp fur alle Tangentialvektoren v w displaystyle v w nbsp in T m M displaystyle T m M nbsp gelten wobei f displaystyle f nbsp den Pushforward von f displaystyle f nbsp bezeichnet Eine lokale Isometrie ist ein lokaler Diffeomorphismus mit g f g displaystyle g f g nbsp Beispiel BearbeitenDie Isometrien des euklidischen Raumes sind Drehungen Spiegelungen und Verschiebungen Satz von Myers Steenrod BearbeitenSumner Byron Myers und Norman Steenrod bewiesen 1939 dass jede Abstande erhaltende stetige Abbildung zwischen zusammenhangenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine Isometrie sein muss 1 Insbesondere ist eine solche Abbildung immer differenzierbar Ein einfacherer Beweis wurde 1957 von Richard Palais gegeben 2 Isometrie Gruppe BearbeitenDie Isometrien eines metrischen Raumes bilden immer eine Gruppe Steenrod und Myers bewiesen 1939 dass die Isometrie Gruppe einer Riemannschen Mannigfaltigkeit immer eine Lie Gruppe ist Satz von Myers Steenrod Beispiele Die Isometrie Gruppe der n dimensionalen Sphare ist die orthogonale Gruppe O n 1 Die Isometrie Gruppe des n dimensionalen hyperbolischen Raumes ist die Lorentz Gruppe O n 1 Die Dimension der Isometriegruppe einer n dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit ist hochstens 1 2 n n 1 displaystyle tfrac 1 2 n n 1 nbsp Quellen Bearbeiten S B Myers N E Steenrod The group of isometries of a Riemannian manifold In Ann of Math 2 Nr 40 1939 S 400 416 R S Palais On the differentiability of isometries In Proceedings of the American Mathematical Society 8 1957 S 805 807 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Isometrie Riemannsche Geometrie amp oldid 194340600 Isometrie Gruppe