Satz von Myers Steenrod Dieser Artikel behandelt den über Isometriegruppen Für den über abstände erhaltende Abbildungen

Satz von Myers-Steenrod

Der Satz von Myers-Steenrod ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie.

Er besagt, dass die Isometriegruppe jeder vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine Lie-Gruppe ist. Ihre Dimension ist höchstens .

Der Satz stammt von Norman Steenrod und Sumner Byron Myers.

Beispiele Bearbeiten

Die Isometriegruppe der Einheitssphäre ist die orthogonale Gruppe .

Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist die projektive lineare Gruppe . Die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ist .

Beweisidee Bearbeiten

In einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit wähle einen Punkt und seine Exponentialabbildung . Die Bilder der 1-dimensionalen Unterräume in unter der Exponentialabbildung sind genau die Geodäten durch . Aus der Vollständigkeit von folgt mit dem Satz von Hopf-Rinow, dass jeder Punkt in auf einer solchen Geodäten durch liegt.

Wähle nun linear unabhängige Vektoren in und bezeichne mit ihre Bildpunkte unter . Eine Isometrie bildet Geodäten in Geodäten ab und aus dem oben gesagten folgt, dass eine Isometrie durch die Bilder von bereits eindeutig festgelegt ist.

Wir erhalten also eine Einbettung der Isometriegruppe in das Produkt von Kopien der Mannigfaltigkeit . Man kann zeigen, dass das Bild dieser Einbettung eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen in dieser Mannigfaltigkeitsstruktur differenzierbar sind. Damit wird eine Lie-Gruppe.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Allgemeiner ist die Isometriegruppe eines -Raumes stets eine Lie-Gruppe. -Räume sind eine Klasse metrischer Maßräume, die alle Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension mit Ricci-Krümmung enthält und unter Gromov-Hausdorff-Konvergenz metrischer Maßräume abgeschlossen ist.

Literatur Bearbeiten

S. B. Myers, N. E. Steenrod: The group of isometries of a Riemannian manifold. Ann. of Math. (2) 40 (1939), no. 2, 400–416.

Einzelnachweise Bearbeiten

L. Guijarro, J. Santos-Rodríguez: On the isometry groups of RCD*(K,N)-spaces, manuscripta mathematica 158, 441–461 (2018)
G. Sosa: The isometry group of an RCD*-space is Lie, Potential Analysis 49, 267–286 (2018)

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: Februar 17, 2024, 17:26 pm

Dieser Artikel behandelt den Satz von Myers Steenrod uber Isometriegruppen Fur den Satz von Myers Steenrod uber abstande erhaltende Abbildungen siehe Isometrie Riemannsche Geometrie Satz von Myers Steenrod Der Satz von Myers Steenrod ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie Er besagt dass die Isometriegruppe jeder vollstandigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine Lie Gruppe ist Ihre Dimension ist hochstens 1 2 dim M dim M 1 displaystyle frac 1 2 dim M dim M 1 Der Satz stammt von Norman Steenrod und Sumner Byron Myers Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Beweisidee 3 Verallgemeinerung 4 Literatur 5 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenDie Isometriegruppe der Einheitssphare S n displaystyle S n nbsp ist die orthogonale Gruppe O n 1 displaystyle O n 1 nbsp Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist die projektive lineare Gruppe P G L 2 R displaystyle PGL 2 mathbb R nbsp Die Isometriegruppe des 3 dimensionalen hyperbolischen Raumes ist P G L 2 C displaystyle PGL 2 mathbb C nbsp Beweisidee BearbeitenIn einer zusammenhangenden Riemannschen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp wahle einen Punkt x displaystyle x nbsp und seine Exponentialabbildung exp x T x M M displaystyle exp x colon T x M to M nbsp Die Bilder der 1 dimensionalen Unterraume in T x M displaystyle T x M nbsp unter der Exponentialabbildung sind genau die Geodaten durch x displaystyle x nbsp Aus der Vollstandigkeit von M displaystyle M nbsp folgt mit dem Satz von Hopf Rinow dass jeder Punkt in M displaystyle M nbsp auf einer solchen Geodaten durch x displaystyle x nbsp liegt Wahle nun n dim M displaystyle n dim M nbsp linear unabhangige Vektoren in T x M displaystyle T x M nbsp und bezeichne mit p 1 p n displaystyle p 1 ldots p n nbsp ihre Bildpunkte unter exp x displaystyle exp x nbsp Eine Isometrie bildet Geodaten in Geodaten ab und aus dem oben gesagten folgt dass eine Isometrie durch die Bilder von x p 1 p n displaystyle x p 1 ldots p n nbsp bereits eindeutig festgelegt ist Wir erhalten also eine Einbettung der Isometriegruppe Isom M displaystyle operatorname Isom M nbsp in das Produkt von n 1 displaystyle n 1 nbsp Kopien der Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp Man kann zeigen dass das Bild dieser Einbettung eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen in dieser Mannigfaltigkeitsstruktur differenzierbar sind Damit wird Isom M displaystyle operatorname Isom M nbsp eine Lie Gruppe Verallgemeinerung BearbeitenAllgemeiner ist die Isometriegruppe eines R C D K n displaystyle RCD K n nbsp Raumes stets eine Lie Gruppe 1 2 R C D K n displaystyle RCD K n nbsp Raume sind eine Klasse metrischer Massraume die alle Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension n displaystyle leq n nbsp mit Ricci Krummung R i c K displaystyle Ric geq K nbsp enthalt und unter Gromov Hausdorff Konvergenz metrischer Massraume abgeschlossen ist Literatur BearbeitenS B Myers N E Steenrod The group of isometries of a Riemannian manifold Ann of Math 2 40 1939 no 2 400 416 Einzelnachweise Bearbeiten L Guijarro J Santos Rodriguez On the isometry groups of RCD K N spaces manuscripta mathematica 158 441 461 2018 G Sosa The isometry group of an RCD space is Lie Potential Analysis 49 267 286 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Myers Steenrod amp oldid 226848176