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Heegaard Zerlegung In der Mathematik sind en ein wichtiges Hilfsmittel der 3 dimensionalen Topologie Sie sind nach dem d

Heegaard-Zerlegung

In der Mathematik sind Heegaard-Zerlegungen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Sie sind nach dem dänischen Mathematiker Poul Heegaard benannt.

Definition Bearbeiten

Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit besteht aus zwei Henkelkörpern und und einem Homöomorphismus , so dass aus und durch Verkleben mittels entsteht, d. h., man hat einen Homöomorphismus

für die durch

gegebene Relation.

Das Geschlecht der Flächen heißt das Geschlecht der Heegaard-Zerlegung. Die in eingebettete Fläche heißt Heegaard-Fläche der Heegaard-Zerlegung.

Das Heegaard-Geschlecht ist das Minimum des Geschlechts über alle Heegaard-Zerlegungen von . Die Heegaard-Euler-Charakteristik ist das Negative des Maximums der Euler-Charakteristik über alle Heegaard-Flächen, also .

Der Heegaard-Gradient von ist das Infimum über alle endlichen Überlagerungen von , wobei den Grad der Überlagerung bezeichnet.

Existenz Bearbeiten

Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt. Alternativ ergibt sich die Existenz von Heegaard-Zerlegungen auch aus der Triangulierbarkeit von 3-Mannigfaltigkeiten, man kann die Umgebung des 1-Skeletts einer Triangulierung als Henkelkörper wählen, sein Komplement ist dann als Umgebung des 1-Skeletts der dualen Triangulierung ebenfalls ein Henkelkörper.

Beispiele Bearbeiten

  • Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien Henkelkörper vom Geschlecht (d. h. Vollkugeln) und , dann ist .
  • Seien Henkelkörper vom Geschlecht (d. h. Volltori) und , dann ist .
  • Geschlecht-1-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien Henkelkörper vom Geschlecht und bilde die Longitude auf den Meridian und den Meridian auf die Longitude ab, dann ist .
  • Standard-Heegaard-Zerlegung der Linsenräume: Seien Henkelkörper vom Geschlecht und sei durch eine beliebige Matrix gegeben, dann ist ein Linsenraum.
  • Heegaard-Zerlegung von Flächenbündeln: Jedes Flächenbündel mit einer Faser vom Geschlecht hat eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht . Insbesondere ist der Heegaard-Gradient eines Flächenbündels . Weil nach dem Satz von Agol jede 3-Mannigfaltigkeit von einem Flächenbündel endlich überlagert wird, ist damit der Heegaard-Gradient stets trivial.

Stabilisierungen, Reduzibilität, Irreduzibilität Bearbeiten

Aus einer Heegaard-Zerlegung einer Mannigfaltigkeit kann man durch Stabilisierung (Ankleben zusätzlicher Henkel, für die jeweils Longituden auf Meridiane und Meridiane auf Longituden abgebildet werden) weitere Heegard-Zerlegungen derselben 3-Mannigfaltigkeit mit Heegaard-Flächen höheren Geschlechts erhalten. Diese durch Stabilisierung erhaltenen Heegaard-Zerlegungen sind reduzibel, d. h., es gibt in der Heegaard-Fläche eine geschlossene Kurve, die in beiden Henkelkörpern (aber nicht in der Heegaard-Fläche) eine Kreisscheibe berandet. Eine Heegaard-Zerlegung heißt irreduzibel, wenn es keine solche Kurve gibt. Das Lemma von Haken besagt, dass Heegaard-Zerlegungen einer reduziblen 3-Mannigfaltigkeit immer reduzibel sind.

Eine Heegaard-Zerlegung heißt schwach reduzibel, wenn es in der Heegaard-Fläche zwei disjunkte (nicht null-homotope) geschlossene Kurven gibt, die Kreisscheiben in unterschiedlichen Henkelkörpern der Heegaard-Zerlegung beranden. Andernfalls heißt die Heegaard-Zerlegung stark irreduzibel. Casson und Gordon bewiesen 1987, dass alle irreduziblen Heegaard-Zerlegungen stark irreduzibel sind.

Mannigfaltigkeiten mit Rand Bearbeiten

Für eine 3-Mannigfaltigkeit mit Rand definiert man Heegaard-Zerlegungen analog als Zerlegungen in zwei Kompressionskörper mit .

Eine verallgemeinerte Heegaard-Zerlegung von ist eine Zerlegung in (nicht notwendig zusammenhängende) Kompressionskörper und Flächen mit und . Die Vereinigung der Kompressionskörper muss ganz sein und ihre inneren Kerne sollen disjunkt sein.

Literatur Bearbeiten

  • Saveliev, Nikolai: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. Second revised edition. de Gruyter Textbook. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2012. ISBN 978-3-11-025035-0

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. P.Heegaard: Forstudier til en topologisk teori for de algebraiske fladers sammenhaeng, Dissertation, Kopenhagen 1898.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik sind Heegaard Zerlegungen ein wichtiges Hilfsmittel der 3 dimensionalen Topologie Sie sind nach dem danischen Mathematiker Poul Heegaard benannt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Existenz 3 Beispiele 4 Stabilisierungen Reduzibilitat Irreduzibilitat 5 Mannigfaltigkeiten mit Rand 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Heegaard Zerlegung einer geschlossenen 3 dimensionalen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp besteht aus zwei Henkelkorpern H 1 displaystyle H 1 nbsp und H 2 displaystyle H 2 nbsp und einem Homoomorphismus f H 1 H 2 displaystyle f partial H 1 rightarrow partial H 2 nbsp so dass M displaystyle M nbsp aus H 1 displaystyle H 1 nbsp und H 2 displaystyle H 2 nbsp durch Verkleben mittels f displaystyle f nbsp entsteht d h man hat einen Homoomorphismus M H 1 H 2 displaystyle M cong H 1 cup H 2 sim nbsp fur die durch x y y f x x H 1 y H 2 displaystyle x sim y Longleftrightarrow y f x x in partial H 1 y in partial H 2 nbsp gegebene Relation Das Geschlecht der Flachen H 1 H 2 displaystyle partial H 1 cong partial H 2 nbsp heisst das Geschlecht der Heegaard Zerlegung Die in M displaystyle M nbsp eingebettete Flache H 1 H 2 M displaystyle partial H 1 partial H 2 subset M nbsp heisst Heegaard Flache der Heegaard Zerlegung Das Heegaard Geschlecht g M displaystyle g M nbsp ist das Minimum des Geschlechts uber alle Heegaard Zerlegungen von M displaystyle M nbsp Die Heegaard Euler Charakteristik x h M displaystyle chi h M nbsp ist das Negative des Maximums der Euler Charakteristik uber alle Heegaard Flachen also x h M 2 g M 2 displaystyle chi h M 2g M 2 nbsp Der Heegaard Gradient von M displaystyle M nbsp ist das Infimum inf x h M i d i displaystyle inf tfrac chi h M i d i nbsp uber alle endlichen Uberlagerungen von M displaystyle M nbsp wobei d i displaystyle d i nbsp den Grad der Uberlagerung M i M displaystyle M i to M nbsp bezeichnet Existenz BearbeitenAus der Morse Theorie folgt dass jede geschlossene orientierbare 3 Mannigfaltigkeit eine Heegaard Zerlegung besitzt Alternativ ergibt sich die Existenz von Heegaard Zerlegungen auch aus der Triangulierbarkeit von 3 Mannigfaltigkeiten man kann die Umgebung des 1 Skeletts einer Triangulierung als Henkelkorper wahlen sein Komplement ist dann als Umgebung des 1 Skeletts der dualen Triangulierung ebenfalls ein Henkelkorper Beispiele BearbeitenStandard Heegaard Zerlegung der 3 Sphare Seien H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp Henkelkorper vom Geschlecht 0 displaystyle 0 nbsp d h Vollkugeln und f i d S 2 S 2 displaystyle f id S 2 rightarrow S 2 nbsp dann ist H 1 H 2 S 3 displaystyle H 1 cup H 2 sim cong S 3 nbsp Seien H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp Henkelkorper vom Geschlecht 1 displaystyle 1 nbsp d h Volltori und f i d T 2 T 2 displaystyle f id T 2 rightarrow T 2 nbsp dann ist H 1 H 2 S 2 S 1 displaystyle H 1 cup H 2 sim cong S 2 times S 1 nbsp Geschlecht 1 Heegaard Zerlegung der 3 Sphare Seien H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp Henkelkorper vom Geschlecht 1 displaystyle 1 nbsp und f T 2 T 2 displaystyle f T 2 rightarrow T 2 nbsp bilde die Longitude auf den Meridian und den Meridian auf die Longitude ab dann ist H 1 H 2 S 3 displaystyle H 1 cup H 2 sim cong S 3 nbsp Standard Heegaard Zerlegung der Linsenraume Seien H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp Henkelkorper vom Geschlecht 1 displaystyle 1 nbsp und f T 2 T 2 displaystyle f T 2 rightarrow T 2 nbsp sei durch eine beliebige Matrix A S L 2 Z displaystyle A in SL 2 mathbb Z nbsp gegeben dann ist H 1 H 2 L p q displaystyle H 1 cup H 2 sim cong L p q nbsp ein Linsenraum Heegaard Zerlegung von Flachenbundeln Jedes Flachenbundel mit einer Faser vom Geschlecht g displaystyle g nbsp hat eine Heegaard Zerlegung vom Geschlecht 2 g 1 displaystyle 2g 1 nbsp Insbesondere ist der Heegaard Gradient eines Flachenbundels 0 displaystyle 0 nbsp Weil nach dem Satz von Agol jede 3 Mannigfaltigkeit von einem Flachenbundel endlich uberlagert wird ist damit der Heegaard Gradient stets trivial Stabilisierungen Reduzibilitat Irreduzibilitat BearbeitenAus einer Heegaard Zerlegung einer Mannigfaltigkeit kann man durch Stabilisierung Ankleben zusatzlicher Henkel fur die jeweils Longituden auf Meridiane und Meridiane auf Longituden abgebildet werden weitere Heegard Zerlegungen derselben 3 Mannigfaltigkeit mit Heegaard Flachen hoheren Geschlechts erhalten Diese durch Stabilisierung erhaltenen Heegaard Zerlegungen sind reduzibel d h es gibt in der Heegaard Flache eine geschlossene Kurve die in beiden Henkelkorpern aber nicht in der Heegaard Flache eine Kreisscheibe berandet Eine Heegaard Zerlegung heisst irreduzibel wenn es keine solche Kurve gibt Das Lemma von Haken besagt dass Heegaard Zerlegungen einer reduziblen 3 Mannigfaltigkeit immer reduzibel sind Eine Heegaard Zerlegung heisst schwach reduzibel wenn es in der Heegaard Flache zwei disjunkte nicht null homotope geschlossene Kurven gibt die Kreisscheiben in unterschiedlichen Henkelkorpern der Heegaard Zerlegung beranden Andernfalls heisst die Heegaard Zerlegung stark irreduzibel Casson und Gordon bewiesen 1987 dass alle irreduziblen Heegaard Zerlegungen stark irreduzibel sind Mannigfaltigkeiten mit Rand BearbeitenFur eine 3 Mannigfaltigkeit mit Rand M displaystyle M nbsp definiert man Heegaard Zerlegungen analog als Zerlegungen M H 1 H 2 displaystyle M H 1 cup H 2 nbsp in zwei Kompressionskorper mit H 1 H 2 displaystyle partial H 1 cup partial H 2 nbsp Eine verallgemeinerte Heegaard Zerlegung von M displaystyle M nbsp ist eine Zerlegung in nicht notwendig zusammenhangende Kompressionskorper V i W i i 1 n displaystyle V i W i i 1 dots n nbsp und Flachen H i i 1 n displaystyle H i i 1 dots n nbsp mit V i W i H i displaystyle partial V i partial W i H i nbsp und W i V i 1 displaystyle partial W i partial V i 1 nbsp Die Vereinigung der Kompressionskorper muss ganz M displaystyle M nbsp sein und ihre inneren Kerne sollen disjunkt sein Literatur BearbeitenSaveliev Nikolai Lectures on the topology of 3 manifolds An introduction to the Casson invariant Second revised edition de Gruyter Textbook Walter de Gruyter amp Co Berlin 2012 ISBN 978 3 11 025035 0Weblinks BearbeitenJesse Johnson Notes on Heegaard splittingsEinzelnachweise Bearbeiten P Heegaard Forstudier til en topologisk teori for de algebraiske fladers sammenhaeng Dissertation Kopenhagen 1898 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Heegaard Zerlegung amp oldid 213510909