Der Abbildungsgrad ist ein Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis um die Existenz von Losungen nichtlinearer Gleichungen f x y displaystyle f x y nachzuweisen Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz den Satz von Borsuk Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen Im Endlichdimensionalen fur stetige Funktionen bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad seine Erweiterung auf Banachraume fur kompakte Storungen der Identitat heisst leray schauderscher Abbildungsgrad Inhaltsverzeichnis 1 Der brouwersche Abbildungsgrad 1 1 Axiomatische Definition 1 2 Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades 1 3 Darstellungen des Abbildungsgrades 1 4 Umlaufzahl 2 Der leray schaudersche Abbildungsgrad 2 1 Kompakte Storungen der Identitat 2 2 Kompakte Homotopie 2 3 Definition 2 4 Beispiel 3 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDer brouwersche Abbildungsgrad BearbeitenDer brouwersche Abbildungsgrad benannt nach L E J Brouwer ordnet einer stetigen Funktion f W R n R n displaystyle f colon overline Omega subset mathbb R n rightarrow mathbb R n nbsp fur offenes beschranktes W displaystyle Omega nbsp und gegebenes y R n f W displaystyle y in mathbb R n setminus f partial Omega nbsp eine ganze Zahl d f W y displaystyle d f Omega y nbsp zu Entscheidend fur die Anwendungen ist die Tatsache dass die Gleichung f x y displaystyle f x y nbsp bereits dann losbar ist wenn der Abbildungsgrad d f W y displaystyle d f Omega y nbsp von null verschieden ist Verschwindet der Abbildungsgrad d f W y displaystyle d f Omega y nbsp so kann keine Aussage zur Losbarkeit gemacht werden Axiomatische Definition Bearbeiten Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion d f W y W R n o f f e n b e s c h r a n k t f W R n stetig y R n f W Z displaystyle d colon f Omega y Omega subset mathbb R n mathrm offen beschr ddot a nkt f colon overline Omega rightarrow mathbb R n textrm stetig y in mathbb R n setminus f partial Omega rightarrow mathbb Z nbsp mit den folgenden Eigenschaften d i d W W y 1 displaystyle d mathrm id overline Omega Omega y 1 nbsp fur alle y W displaystyle y in Omega nbsp Zerlegungseigenschaft d f W y d f W 1 y d f W 2 y displaystyle d f Omega y d f Omega 1 y d f Omega 2 y nbsp falls W 1 W 2 displaystyle Omega 1 Omega 2 nbsp disjunkte offene Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp sind so dass y f W W 1 W 2 displaystyle y not in f overline Omega setminus Omega 1 cup Omega 2 nbsp Homotopieinvarianz t d F t W y t displaystyle t mapsto d F t cdot Omega y t nbsp ist bezuglich t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp konstant falls F 0 1 W R n displaystyle F colon 0 1 times overline Omega rightarrow mathbb R n nbsp und y 0 1 R n displaystyle y colon 0 1 rightarrow mathbb R n nbsp stetig sind mit y t F t x displaystyle y t not F t x nbsp fur alle t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp und x W displaystyle x in partial Omega nbsp Man kann zeigen dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades Bearbeiten Ist d f W y 0 displaystyle d f Omega y neq 0 nbsp so ist die Gleichung f x y displaystyle f x y nbsp auf W displaystyle Omega nbsp losbar Ist g C W displaystyle g in C bar Omega nbsp mit max f x g x x W lt d i s t y f W displaystyle max f x g x colon x in partial Omega lt mathrm dist y f partial Omega nbsp so gilt d f W y d g W y displaystyle d f Omega y d g Omega y nbsp Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf W displaystyle partial Omega nbsp eindeutig festgelegt Liegen y 1 displaystyle y 1 nbsp und y 2 displaystyle y 2 nbsp in derselben Zusammenhangskomponente Z displaystyle Z nbsp von R n f W displaystyle mathbb R n setminus f partial Omega nbsp so gilt d f W y 1 d f W y 2 displaystyle d f Omega y 1 d f Omega y 2 nbsp Man schreibt daher auch kurz d f W Z displaystyle d f Omega Z nbsp fur d f W y displaystyle d f Omega y nbsp um anzudeuten dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt sondern von der Komponente abhangt Seien f W R n displaystyle f colon overline Omega rightarrow mathbb R n nbsp und g R n R n displaystyle g colon mathbb R n rightarrow mathbb R n nbsp stetig und K i displaystyle K i nbsp die beschrankten Zusammenhangskomponenten von R n f W displaystyle mathbb R n setminus f partial Omega nbsp sowie y R n g f W displaystyle y in mathbb R n setminus g circ f partial Omega nbsp dann gilt die leraysche Produktformeld g f W y i d f W K i d g K i y displaystyle d g circ f Omega y sum i d f Omega K i cdot d g K i y nbsp worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind Darstellungen des Abbildungsgrades Bearbeiten Falls f displaystyle f nbsp zusatzlich auf W displaystyle Omega nbsp stetig differenzierbar ist und alle Punkte in f 1 y displaystyle f 1 y nbsp regular sind das heisst die Determinante der Jacobimatrix J f x displaystyle J f x nbsp ist in diesen Punkten x f 1 y displaystyle x in f 1 y nbsp nicht null so giltd f W y x f 1 y s g n det J f x displaystyle d f Omega y sum x in f 1 y mathrm sgn left det J f x right nbsp Ist f displaystyle f nbsp nicht stetig differenzierbar dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion g C 1 W C W displaystyle g in C 1 Omega cap C bar Omega nbsp wahlen die den gleichen Abbildungsgrad wie f displaystyle f nbsp hat Sei f W R n displaystyle f colon overline Omega to mathbb R n nbsp wieder stetig auf W displaystyle overline Omega nbsp und stetig differenzierbar auf W displaystyle Omega nbsp y f W displaystyle y notin f partial Omega nbsp kein kritischer Punkt Sei ausserdem ϕ ϵ ϵ gt 0 displaystyle phi epsilon epsilon gt 0 nbsp eine Schar stetiger Funktionen von R n displaystyle mathbb R n nbsp nach R displaystyle mathbb R nbsp mit supp ϕ ϵ K ϵ 0 displaystyle operatorname supp phi epsilon subset overline K epsilon 0 nbsp und R n ϕ ϵ x d x 1 displaystyle textstyle int mathbb R n phi epsilon x mathrm d x 1 nbsp fur alle ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp wahlen hierbei bezeichnet K ϵ 0 R n displaystyle overline K epsilon 0 subset mathbb R n nbsp den abgeschlossenen Ball vom Radius ϵ displaystyle epsilon nbsp um Null Dann existiert ein ϵ 0 f y displaystyle epsilon 0 f y nbsp so dass die Integralformeld f W y W ϕ ϵ f x y J f x d x displaystyle d f Omega y int Omega phi epsilon f x y J f x mathrm d x nbsp fur alle ϵ ϵ 0 f y displaystyle epsilon geq epsilon 0 f y nbsp gilt Umlaufzahl Bearbeiten Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Umlaufzahl ind displaystyle operatorname ind nbsp Identifiziert man R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp mit C displaystyle mathbb C nbsp so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch fur die komplexe Ebene definiert Eine geschlossene Kurve g 0 1 C displaystyle gamma colon 0 1 to mathbb C nbsp kann man als stetiges Bild von S 0 displaystyle mathbb S 0 nbsp verstehen Mit S 0 C displaystyle mathbb S 0 subset mathbb C nbsp wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet Das heisst es existiert eine stetige und surjektive Abbildung f S 0 Bild g displaystyle f colon mathbb S 0 to operatorname Bild gamma nbsp Ist nun a g f S 0 displaystyle a notin gamma f mathbb S 0 nbsp so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck d f K 1 0 a displaystyle d f K 1 0 a nbsp fur alle stetigen Fortsetzungen von f displaystyle f nbsp dieselbe Zahl Es gilt nun d f K 1 0 a x f 1 a s g n det J f x x f 1 a 1 2 p i f S x d z z a 1 2 p i f S 0 d z z a ind f S a displaystyle d f K 1 0 a sum x in f 1 a mathrm sgn left det J f x right sum x in f 1 a frac 1 2 pi i int f S x frac mathrm d z z a frac 1 2 pi i int f mathbb S 0 frac mathrm d z z a operatorname ind f S a nbsp hierbei bezeichnet S x displaystyle S x nbsp einen genugend kleinen Kreisring um x displaystyle x nbsp Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie notig Der leray schaudersche Abbildungsgrad BearbeitenDer leray schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Abbildungsgrades fur unendlichdimensionale Banachraume Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J Leray und J Schauder definiert 1 Jedoch ist es nicht moglich den Abbildungsgrad fur beliebige stetige Funktionen zu definieren sondern man darf nur noch kompakte Storungen der Identitat zulassen Kompakte Storungen der Identitat Bearbeiten Seien X Y displaystyle X Y nbsp Banachraume und M displaystyle M nbsp eine Teilmenge des Banachraums X displaystyle X nbsp Eine Funktion K M Y displaystyle K colon M rightarrow Y nbsp heisst kompakter Operator falls K displaystyle K nbsp stetig ist und falls K displaystyle K nbsp beschrankte Mengen B M displaystyle B subset M nbsp auf relativ kompakte Mengen abbildet Mit anderen Worten T B displaystyle overline T B nbsp ist eine kompakte Teilmenge von Y displaystyle Y nbsp Ein Operator F M X X displaystyle F colon M subset X rightarrow X nbsp der sich als F Id K displaystyle F operatorname Id K nbsp mit einem kompakten Operator K displaystyle K nbsp darstellen lasst heisst kompakte Storung der Identitat Kompakte Homotopie Bearbeiten Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren Es sei M X displaystyle M subset X nbsp offen und beschrankt und K t K t displaystyle K colon t mapsto K t nbsp fur t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren K t M X X displaystyle K t colon M subset X rightarrow X nbsp Diese operatorwertige Funktion K displaystyle K nbsp heisst kompakte Homotopie auf M displaystyle M nbsp falls zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp existiert sodass K t 1 x K t 2 x X e displaystyle K t 1 x K t 2 x X leq varepsilon nbsp fur alle x M displaystyle x in M nbsp und t 1 t 2 0 1 displaystyle t 1 t 2 in 0 1 nbsp mit t 1 t 2 lt d displaystyle t 1 t 2 lt delta nbsp gilt Definition Bearbeiten Sei F Id K M X X displaystyle F operatorname Id K colon overline M subset X rightarrow X nbsp eine kompakte Storung der Identitat M X displaystyle M subset X nbsp offen und beschrankt und y F M displaystyle y not in F partial M nbsp Dann ist der leray schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl d F M y Z displaystyle d F M y in mathbb Z nbsp so dass folgende Eigenschaften gelten Ist d F M y 0 displaystyle d F M y neq 0 nbsp dann ist die Gleichung F x y displaystyle F x y nbsp losbar Homotopieinvarianz Ist K displaystyle K nbsp eine kompakte Homotopie auf M displaystyle overline M nbsp mit K t x x displaystyle K t x neq x nbsp fur alle t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp und x M displaystyle x in partial M nbsp so ist der Abbildungsgrad d Id K t M y displaystyle d operatorname Id K t M y nbsp unabhangig von t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp Beispiel Bearbeiten Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray schauderschen Abbildungsgrades fuhrt genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad uber die Homotopieinvarianz Interessiert man sich beispielsweise dafur ob die Gleichung x F 0 x x y displaystyle x F 0 x x y nbsp eine Losung in W displaystyle overline Omega nbsp hat so sucht man zunachst einen passenden Raum so dass F 0 displaystyle F 0 nbsp ein kompakter Operator ist Um die Losbarkeit nachzuweisen nimmt man nun indirekt an dass x F 0 x y displaystyle x F 0 x neq y nbsp auf W displaystyle partial Omega nbsp gilt weil sonst nichts mehr zu zeigen ist Anschliessend sucht man eine kompakte Homotopie H displaystyle H nbsp mit H 1 F 0 displaystyle H 1 F 0 nbsp und x H t x y displaystyle x H t x neq y nbsp fur alle t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp und x W displaystyle x in partial Omega nbsp Diese Homotopie sollte so gewahlt sein dass man fur den leray schauderschen Abbildungsgrad d I H 0 W y 0 displaystyle d I H 0 Omega y neq 0 nbsp nachweisen kann Daraus folgt namlich d I H t W y 0 displaystyle d I H t Omega y neq 0 nbsp fur alle t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp und somit die Existenz eines x W displaystyle x in Omega nbsp mit x F 0 x x y displaystyle x F 0 x x y nbsp Fur ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem x f t x displaystyle x f t x nbsp fur t 0 a displaystyle t in 0 a nbsp und x 0 x 0 displaystyle x 0 x 0 nbsp gegeben Man kann zeigen dass es mindestens eine Losung hat falls f 0 a R n R n displaystyle f colon 0 a times mathbb R n to mathbb R n nbsp stetig ist und falls f t x B 1 x displaystyle f t x leq B 1 x nbsp auf 0 a R n displaystyle 0 a times mathbb R n nbsp fur ein geeignetes B 0 displaystyle B geq 0 nbsp gilt Um dies zu sehen schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System x t x 0 0 t f t x t d t displaystyle x t x 0 int 0 t f tau x tau mathrm d tau nbsp von Integralgleichungen um Da beide Gleichungen aquivalent sind reicht es zu zeigen dass die Integralgleichung eine stetige Losung besitzt Diese ist dann auch differenzierbar Daher wahlt man X C 0 a displaystyle X C 0 a nbsp als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall 0 a displaystyle 0 a nbsp mit der Maximumsnorm x max t 0 a x t displaystyle textstyle x max t in 0 a x t nbsp Ausserdem setzt man F 0 x t x 0 0 t f t x t d t displaystyle F 0 x t x 0 int 0 t f tau x tau mathrm d tau nbsp Aufgrund des Satzes von Arzela Ascoli ist F 0 displaystyle F 0 nbsp ein kompakter Operator und H t x t F 0 x displaystyle H t x t cdot F 0 x nbsp eine kompakte Homotopie Da die Existenz einer Losung von x F 0 x 0 displaystyle x F 0 x 0 nbsp untersucht wird wird y 0 displaystyle y 0 nbsp gesetzt Da f t x B 1 x displaystyle f t x leq B 1 x nbsp vorausgesetzt wurde kann man zeigen dass es reicht W B r 0 displaystyle Omega B r 0 nbsp mit einem r gt x 0 B a e B a displaystyle r gt x 0 B cdot a e Ba nbsp zu wahlen und erhalt aufgrund der Homotopieinvarianz d I F 0 B r 0 y d I B r 0 y 1 displaystyle d I F 0 B r 0 y d I B r 0 y 1 nbsp Damit ist gezeigt dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Losung besitzt Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten BearbeitenSei f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp eine stetige Abbildung zwischen n dimensionalen kompakten orientierten Mannigfaltigkeiten n ist eine naturliche Zahl Die Orientierung der Mannigfaltigkeiten induziert Isomorphismen H n M Z Z H n N Z Z displaystyle H n M mathbb Z cong mathbb Z H n N mathbb Z cong mathbb Z nbsp Der von f induzierte Homomorphismus f H n M Z H n N Z displaystyle f colon H n M mathbb Z rightarrow H n N mathbb Z nbsp ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl d diese ist der Abbildungsgrad von f Literatur BearbeitenKlaus Deimling Nonlinear Functional Analysis 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1985 ISBN 3 540 13928 1 Michael Ruzicka Nichtlineare Funktionalanalysis 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2004 ISBN 3 540 20066 5 Andrzej Granas James Dugundji Fixed point theory 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2003 ISBN 978 0 387 00173 9 Einzelnachweise Bearbeiten Klaus Deimling Nonlinear Functional Analysis 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1985 ISBN 3 540 13928 1 Seite 37 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abbildungsgrad amp oldid 214093072
