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Satz von Borsuk Ulam Der besagt dass jede stetige Funktion von einer n displaystyle n Sphäre S n displaystyle S n in den

Satz von Borsuk-Ulam

Der Satz von Borsuk-Ulam besagt, dass jede stetige Funktion von einer -Sphäre in den -dimensionalen euklidischen Raum ein Paar von antipodalen Punkten auf denselben Punkt abbildet. (Zwei Punkte einer Sphäre heißen antipodal, wenn sie in genau entgegengesetzten Richtungen vom Mittelpunkt liegen.)

Der Fall wird oft dadurch erläutert, dass zu jedem Zeitpunkt ein Paar von antipodalen Punkten auf der Erdoberfläche mit gleichen Temperaturen und gleichem Luftdruck existieren. Dies setzt voraus, dass Temperatur und Luftdruck stetige Funktionen sind.

Der Satz von Borsuk-Ulam wurde von Stanisław Ulam vermutet und 1933 durch Karol Borsuk bewiesen. Es ist möglich, aus dem Satz von Borsuk-Ulam auf elementare Weise den brouwerschen Fixpunktsatz herzuleiten. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Satzes, so dass man von Sätzen vom Borsuk-Ulam-Typ spricht.

Aussage Bearbeiten

Es gibt verschiedene äquivalente Formulierungen des Satzes:

  • Sei eine stetige antipodale Abbildung, dann ist . Dabei bedeutet antipodal, dass für alle gilt.
  • Sei eine stetige antipodale Abbildung. Dann gibt es ein mit
  • Sei eine stetige Abbildung. Dann gibt es einen Punkt mit . Dies ist die Formulierung in der Einleitung.
  • Wird die n-Sphäre durch (n+1) offene oder abgeschlossene Untermengen der n-Sphäre überdeckt, enthält mindestens eines der ein antipodales Paar von Punkten.

Borsukscher Antipodensatz Bearbeiten

Eine stärkere Aussage ist der Satz von Borsuk, der auch als Borsukscher Antipodensatz bekannt ist. Man nennt eine Funktion antipodenerhaltend, wenn sie ungerade ist.

Aussage Bearbeiten

Ist eine symmetrische, offene und beschränkte Teilmenge des , welche den Nullpunkt enthält, und stetig und antipodenerhaltend, das heißt für alle , sowie . Dann ist der Brouwersche Abbildungsgrad eine ungerade Zahl.

Weitere Verallgemeinerungen Bearbeiten

  • Anstatt zu fordern, dass antipodenerhaltend ist, reicht es
und zu fordern. Funktionen, die dies erfüllen, sind homotop zu einer antipodenerhaltenden Funktion, was für den Beweis des Borsukschen Satzes ausreicht. Insbesondere gibt es keine stetige Fortsetzung von auf mit . Denn ist der Brouwersche Abbildungsgrad ungleich null, dann hat die Gleichung mindestens eine Lösung .
  • Die Aussage kann man auch auf unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern. Dabei sei eine symmetrische, offene und beschränkte Teilmenge des normierten Raums , , wobei eine kompakte Abbildung ist, und
Dann ist der Leray-Schauder-Grad eine ungerade Zahl.

Anwendung Bearbeiten

In der elementaren Geometrie kann man mit der Aussage von Borsuk-Ulam folgende interessante Tatsache beweisen (auch bekannt als Satz von Stone-Tukey oder Ham sandwich theorem):

„Gegeben zwei beliebige Polygone in der Ebene. Dann existiert eine Gerade derart, dass diese den Flächeninhalt beider Polygone gleichzeitig halbiert (d.h. nicht nur in der Summe, sondern sogar beide für sich genommen).“

Weitere Anwendungen findet der Satz in der Topologischen Kombinatorik. Dort ist der Satz eng mit dem Lemma von Tucker verbunden und ist äquivalent dazu. Manchmal wird der Satz von Borsuk-Ulam dort in einer Variante bzw. Verallgemeinerung von Albrecht Dold benutzt.

Literatur Bearbeiten

  • Karol Borsuk: Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre. Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 177–190, Online
  • Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
  • Wolfgang Gromes: Ein einfacher Beweis des Satzes von Borsuk. Mathematische Zeitschrift 178 (1981), 399–400, online.
  • Lasar Ljusternik, Lew Schnirelmann: Topological Methods in Variational Problems. Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., Moskau 1930 (russisch).
    Französische Übersetzung durch J. Kravtchenko: Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels. 1ère partie. Espaces à un nombre fini de dimensions. Hermann & Cie., Paris 1934.
  • Jiří Matoušek: Using the Borsuk-Ulam theorem. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-00362-2.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mark de Longueville, A course in topological combinatorics, Springer 2013, S. 12
  2. Dold, Simple proofs of the Borsuk-Ulam results, Contemporary Mathematics, Band 19, 1983, S. 65–69
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Der Satz von Borsuk Ulam besagt dass jede stetige Funktion von einer n displaystyle n Sphare S n displaystyle S n in den n displaystyle n dimensionalen euklidischen Raum ein Paar von antipodalen Punkten auf denselben Punkt abbildet Zwei Punkte einer Sphare heissen antipodal wenn sie in genau entgegengesetzten Richtungen vom Mittelpunkt liegen Der Fall n 2 displaystyle n 2 wird oft dadurch erlautert dass zu jedem Zeitpunkt ein Paar von antipodalen Punkten auf der Erdoberflache mit gleichen Temperaturen und gleichem Luftdruck existieren Dies setzt voraus dass Temperatur und Luftdruck stetige Funktionen sind Der Satz von Borsuk Ulam wurde von Stanislaw Ulam vermutet und 1933 durch Karol Borsuk bewiesen Es ist moglich aus dem Satz von Borsuk Ulam auf elementare Weise den brouwerschen Fixpunktsatz herzuleiten Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Satzes so dass man von Satzen vom Borsuk Ulam Typ spricht Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Borsukscher Antipodensatz 2 1 Aussage 2 2 Weitere Verallgemeinerungen 3 Anwendung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseAussage BearbeitenEs gibt verschiedene aquivalente Formulierungen des Satzes 1 Sei f S n S m displaystyle f colon S n to S m nbsp eine stetige antipodale Abbildung dann ist n m displaystyle n leq m nbsp Dabei bedeutet antipodal dass f x f x displaystyle f x f x nbsp fur alle x S n displaystyle x in S n nbsp gilt Sei f S n R n displaystyle f colon S n to mathbb R n nbsp eine stetige antipodale Abbildung Dann gibt es ein x S n displaystyle x in S n nbsp mit f x 0 displaystyle f x 0 nbsp Sei f S n R n displaystyle f colon S n to mathbb R n nbsp eine stetige Abbildung Dann gibt es einen Punkt x S n displaystyle x in S n nbsp mit f x f x displaystyle f x f x nbsp Dies ist die Formulierung in der Einleitung Wird die n Sphare durch n 1 offene oder abgeschlossene Untermengen S i displaystyle S i nbsp der n Sphare uberdeckt enthalt mindestens eines der S i displaystyle S i nbsp ein antipodales Paar von Punkten Borsukscher Antipodensatz BearbeitenEine starkere Aussage ist der Satz von Borsuk der auch als Borsukscher Antipodensatz bekannt ist Man nennt eine Funktion antipodenerhaltend wenn sie ungerade ist Aussage Bearbeiten Ist W displaystyle Omega nbsp eine symmetrische offene und beschrankte Teilmenge des R n displaystyle mathbb R n nbsp welche den Nullpunkt enthalt und f W R n displaystyle f colon overline Omega rightarrow mathbb R n nbsp stetig und antipodenerhaltend das heisst f x f x displaystyle f x f x nbsp fur alle x W displaystyle x in overline Omega nbsp sowie 0 f W displaystyle 0 not in f partial Omega nbsp Dann ist der Brouwersche Abbildungsgrad d f W 0 displaystyle d f Omega 0 nbsp eine ungerade Zahl Weitere Verallgemeinerungen Bearbeiten Anstatt zu fordern dass f C W R n displaystyle f in C overline Omega mathbb R n nbsp antipodenerhaltend ist reicht esf x f x f x f x displaystyle frac f x f x neq frac f x f x nbsp dd und 0 f W displaystyle 0 not in f partial Omega nbsp zu fordern Funktionen die dies erfullen sind homotop zu einer antipodenerhaltenden Funktion was fur den Beweis des Borsukschen Satzes ausreicht Insbesondere gibt es keine stetige Fortsetzung von f W displaystyle f partial Omega nbsp auf W displaystyle Omega nbsp mit 0 f W displaystyle 0 notin f Omega nbsp Denn ist der Brouwersche Abbildungsgrad ungleich null dann hat die Gleichung f x 0 displaystyle f x 0 nbsp mindestens eine Losung x W displaystyle x in Omega nbsp Die Aussage kann man auch auf unendlichdimensionale normierte Raume verallgemeinern Dabei sei W displaystyle Omega nbsp eine symmetrische offene und beschrankte Teilmenge des normierten Raums X displaystyle X cdot nbsp 0 W displaystyle 0 in Omega nbsp F Id F 0 displaystyle F operatorname Id F 0 nbsp wobei F 0 W X displaystyle F 0 colon overline Omega to X nbsp eine kompakte Abbildung ist 0 F W displaystyle 0 not in F partial Omega nbsp undF x F x F x F x displaystyle frac F x F x neq frac F x F x nbsp dd Dann ist der Leray Schauder Grad eine ungerade Zahl Anwendung BearbeitenIn der elementaren Geometrie kann man mit der Aussage von Borsuk Ulam folgende interessante Tatsache beweisen auch bekannt als Satz von Stone Tukey oder Ham sandwich theorem Gegeben zwei beliebige Polygone in der Ebene Dann existiert eine Gerade derart dass diese den Flacheninhalt beider Polygone gleichzeitig halbiert d h nicht nur in der Summe sondern sogar beide fur sich genommen Beweis Sei i 1 2 displaystyle i in 1 2 nbsp und bezeichne mit A i displaystyle A i nbsp die vorgegebenen Polygone Betrachte diese in der verschobenen x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ebene D R 2 1 R 3 displaystyle D mathbb R 2 times 1 subseteq mathbb R 3 nbsp die wir im euklidischen Standardraum betrachten Sei dann u S 2 displaystyle u in S 2 nbsp der Ortsvektor eines Punktes auf der Einheitssphare und bezeichne mit P u displaystyle P u nbsp die Normalenebene zu u displaystyle u nbsp durch den Nullpunkt Fur u 0 0 1 displaystyle u neq begin pmatrix 0 amp 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u f i u tfrac 1 2 A i nbsp fur beide i 1 2 displaystyle i in 1 2 nbsp Damit ist L u displaystyle L u nbsp die gesuchte Gerade aus der Behauptung Weitere Anwendungen findet der Satz in der Topologischen Kombinatorik Dort ist der Satz eng mit dem Lemma von Tucker verbunden und ist aquivalent dazu Manchmal wird der Satz von Borsuk Ulam dort in einer Variante bzw Verallgemeinerung von Albrecht Dold benutzt 2 Literatur BearbeitenKarol Borsuk Drei Satze uber die n displaystyle n nbsp dimensionale euklidische Sphare Fundamenta Mathematicae 20 1933 177 190 Online Klaus Deimling Nonlinear Functional Analysis 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1985 ISBN 3 540 13928 1 Wolfgang Gromes Ein einfacher Beweis des Satzes von Borsuk Mathematische Zeitschrift 178 1981 399 400 online Lasar Ljusternik Lew Schnirelmann Topological Methods in Variational Problems Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O M G U Moskau 1930 russisch Franzosische Ubersetzung durch J Kravtchenko Methodes topologiques dans les problemes variationnels 1ere partie Espaces a un nombre fini de dimensions Hermann amp Cie Paris 1934 Jiri Matousek Using the Borsuk Ulam theorem Springer Verlag Berlin 2003 ISBN 3 540 00362 2 Weblinks BearbeitenAllen Hatcher Algebraic Topology engl Herleitung des brouwerschen Fixpunktsatzes mittels des Satzes von Borsuk Ulam engl PDF Datei 125 kB Video Borsukscher Antipodensatz Institut fur den Wissenschaftlichen Film IWF 1982 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 3203 IWF C 1433 Einzelnachweise Bearbeiten Mark de Longueville A course in topological combinatorics Springer 2013 S 12 Dold Simple proofs of the Borsuk Ulam results Contemporary Mathematics Band 19 1983 S 65 69 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Borsuk Ulam amp oldid 220017434