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Uehling Potential Das nach Edwin Albrecht Uehling ist die Modifikation des Coulomb Potentials der Elektrostatik durch Ef

Uehling-Potential

Das Uehling-Potential, nach Edwin Albrecht Uehling, ist die Modifikation des Coulomb-Potentials der Elektrostatik durch Effekte der Quantenelektrodynamik. Die Auswirkungen dieser Modifikation nennt man auch den Uehling-Effekt. Die Korrekturen durch Uehling sind im praktischen Alltag bedeutungslos, sie liefern jedoch einen messbaren Anteil in der Lamb-Verschiebung der Energien für die Elektronen im Potential eines Atomkerns und somit für die Lage und Aufspaltung der Spektrallinien.

Feynman-Diagramm einer virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Schleife (Linien mit Pfeilen) als Selbstenergie-Korrektur eines Photons (Wellenlinie)

Die Korrekturen durch Uehling berücksichtigen, dass das elektrische Feld einer Punktladung keine Fernwirkung ausübt, sondern eine Wechselwirkung über Austauschteilchen, die Photonen, stattfindet. In der Quantenfeldtheorie kann aufgrund der Energie-Zeit-Unschärfe ein einzelnes Photon kurzzeitig ein virtuelles Teilchen-Antiteilchen-Paar bilden, sodass das Potential der Punktladung dadurch beeinflusst wird. Dieser Effekt heißt Vakuumpolarisation, da das Vakuum dadurch wie ein polarisierbares Medium erscheint. Der mit Abstand dominante Beitrag entstammt dabei vom leichtesten geladenen Elementarteilchen, dem Elektron.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Das Uehling-Potential beschreibt die potentielle Energie V=e·Φ eines Elementarteilchens mit der Elementarladung e im Potential Φ:

Dabei bezeichnet

Der erste Term ist das Coulomb-Potential der klassischen Elektrostatik, in Termen der klassischen Physik mit der elektrischen Feldkonstanten :

Der Integral-Term beschreibt die nächstführende Korrektur durch die Quantenelektrodynamik:

Sie ist von zweiter Ordnung in der Feinstrukturkonstanten, da sie in quantenfeldtheoretischer Störungstheorie durch eine Schleife (vgl. Abbildung) induziert wird. Der Uehling-Term ist dabei für alle Abstände positiv, er führt also zu einer Verstärkung des Potentials. Weitere Korrekturen höherer Ordnung in der Feinstrukturkonstanten (symbolisiert durch das ) entstehen durch die Berücksichtigung weiterer Schleifen.

Näherungen Bearbeiten

Für große Abstände Bearbeiten

Das Integral ist nicht durch elementare Funktionen darstellbar, die Exponentialfunktion in diesem führt jedoch zu einer starken Unterdrückung des Effekts für große Abstände, wobei die relevante Längenskala die Compton-Wellenlänge des Elektrons ist. Zur Veranschaulichung der Größenordnung, diese beträgt nur Bruchteile eines Atomdurchmessers; bei einer Entfernung vom bohrschen Radius, dem wahrscheinlichsten Aufenthaltsort des Elektrons um ein Wasserstoffatom, ist die Abweichung bereits nur noch in der Größenordnung von 10−125. Für große Entfernungen kann das Potential genähert werden durch:

Für kleine Abstände Bearbeiten

Andererseits konvergiert das Integral im Limes kleiner Abstände nicht, sodass das Uehling-Potential dort eine messbare Abweichung zum Coulomb-Potential generiert. Für kleine Abstände gilt:

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten .

Einfluss auf Energieniveaus im Atom Bearbeiten

Da das Uehling-Potential nur für sehr kleine Abstände um den Kern einen nennenswerten Beitrag liefert, wird hauptsächlich die Energie der s-Orbitale (Drehimpulsquantenzahl ℓ = 0) von ihm beeinflusst, denn für Orbitale mit ℓ > 0 hat die Wellenfunktion im Koordinatenursprung den Wert Null.

Zur Berechnung dieses Einflusses kann quantenmechanische Störungstheorie angewandt werden. Im Gegensatz zum Potential selbst sind die Ergebnisse analytisch geschlossen darstellbar, da die auftretenden Integrationen über die Entfernung und den Integrationsparameter vertauschen. Die Energiekorrekturen für die nach einer quantenmechanischen Rechnung entarteten Energieniveaus und lauten in führender Ordnung mit der Elektronenmasse in der Maßeinheit Elektronenvolt (eV):

Dieser Unterschied zwischen und bewirkt einen Beitrag der Ordnung zur Lamb-Verschiebung (2,5 % der totalen Lamb-Verschiebung).

Für myonischen Wasserstoff wird der Uehling-Effekt zentral: Im Gegensatz zu anderen Größen wie der Aufspaltung durch die Feinstruktur, die gemeinsam mit der Masse des Myons skalieren, also um einen Faktor größer sind, bildet hier die leichte Elektronenmasse weiterhin die maßgebliche Größenskala für das Uehling-Potential. Die Energiekorrekturen befinden sich in der Größenordnung , was verglichen mit gewöhnlichem Wasserstoff um einen Faktor von absolut und relativ größer ist.

Literatur Bearbeiten

  • Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0 (englisch).
  • V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz und L. P. Pitaevskii: Quantum Electrodynamics. 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford New York Toronto Sydney Paris Frankfurt 1982 (englisch, russisch: Kvantovaya elektrodinamika. Übersetzt von J. B. Sykes und J. S. Bell).
  • Edwin A. Uehling: Polarization effects in the positron theory. In: Phys. Rev. Band 48, Nr. 1, 1935, S. 55–63 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Das Uehling Potential nach Edwin Albrecht Uehling ist die Modifikation des Coulomb Potentials der Elektrostatik durch Effekte der Quantenelektrodynamik Die Auswirkungen dieser Modifikation nennt man auch den Uehling Effekt Die Korrekturen durch Uehling sind im praktischen Alltag bedeutungslos sie liefern jedoch einen messbaren Anteil in der Lamb Verschiebung der Energien fur die Elektronen im Potential eines Atomkerns und somit fur die Lage und Aufspaltung der Spektrallinien Feynman Diagramm einer virtuellen Teilchen Antiteilchen Schleife Linien mit Pfeilen als Selbstenergie Korrektur eines Photons Wellenlinie Die Korrekturen durch Uehling berucksichtigen dass das elektrische Feld einer Punktladung keine Fernwirkung ausubt sondern eine Wechselwirkung uber Austauschteilchen die Photonen stattfindet In der Quantenfeldtheorie kann aufgrund der Energie Zeit Unscharfe ein einzelnes Photon kurzzeitig ein virtuelles Teilchen Antiteilchen Paar bilden sodass das Potential der Punktladung dadurch beeinflusst wird Dieser Effekt heisst Vakuumpolarisation da das Vakuum dadurch wie ein polarisierbares Medium erscheint Der mit Abstand dominante Beitrag entstammt dabei vom leichtesten geladenen Elementarteilchen dem Elektron Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 1 1 Naherungen 1 1 1 Fur grosse Abstande 1 1 2 Fur kleine Abstande 2 Einfluss auf Energieniveaus im Atom 3 LiteraturMathematische Beschreibung BearbeitenDas Uehling Potential beschreibt die potentielle Energie V e F eines Elementarteilchens mit der Elementarladung e im Potential F V r Z a ℏ c 1 r 1 2 a 3 p 1 d x e 4 p r x l 2 x 2 1 2 x 4 x 2 1 O a 3 displaystyle V r Z alpha hbar c frac 1 r left 1 frac 2 alpha 3 pi int 1 infty mathrm d x mathrm e 4 pi frac rx lambda frac 2x 2 1 2x 4 sqrt x 2 1 right mathcal O alpha 3 nbsp Dabei bezeichnet e displaystyle e nbsp hier die Eulersche Zahl r displaystyle r nbsp den Abstand zwischen Punktladung und betrachtetem Ort Z displaystyle Z nbsp die Ladungszahl in Einheiten der Elementarladung e displaystyle e nbsp a displaystyle alpha nbsp die Feinstrukturkonstante ℏ displaystyle hbar nbsp die reduzierte Planck Konstante c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit l displaystyle lambda nbsp die Compton Wellenlange des Elektrons Der erste Term ist das Coulomb Potential der klassischen Elektrostatik in Termen der klassischen Physik mit der elektrischen Feldkonstanten e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp V C r Z a ℏ c 1 r Z e 2 4 p e 0 1 r displaystyle V text C r Z alpha hbar c frac 1 r Z frac e 2 4 pi varepsilon 0 frac 1 r nbsp dd Der Integral Term beschreibt die nachstfuhrende Korrektur durch die Quantenelektrodynamik V QED r Z a ℏ c 1 r 2 a 3 p 1 d x e 4 p r x l 2 x 2 1 2 x 4 x 2 1 displaystyle V text QED r Z alpha hbar c frac 1 r left frac 2 alpha 3 pi int 1 infty mathrm d x mathrm e 4 pi frac rx lambda frac 2x 2 1 2x 4 sqrt x 2 1 right nbsp dd Sie ist von zweiter Ordnung in der Feinstrukturkonstanten da sie in quantenfeldtheoretischer Storungstheorie durch eine Schleife vgl Abbildung induziert wird Der Uehling Term ist dabei fur alle Abstande positiv er fuhrt also zu einer Verstarkung des Potentials Weitere Korrekturen hoherer Ordnung in der Feinstrukturkonstanten symbolisiert durch das O a 3 displaystyle mathcal O alpha 3 nbsp entstehen durch die Berucksichtigung weiterer Schleifen Naherungen Bearbeiten Fur grosse Abstande Bearbeiten Das Integral ist nicht durch elementare Funktionen darstellbar die Exponentialfunktion in diesem fuhrt jedoch zu einer starken Unterdruckung des Effekts fur grosse Abstande wobei die relevante Langenskala die Compton Wellenlange des Elektrons ist Zur Veranschaulichung der Grossenordnung diese betragt nur Bruchteile eines Atomdurchmessers bei einer Entfernung vom bohrschen Radius dem wahrscheinlichsten Aufenthaltsort des Elektrons um ein Wasserstoffatom ist die Abweichung bereits nur noch in der Grossenordnung von 10 125 Fur grosse Entfernungen kann das Potential genahert werden durch V r Z a ℏ c 1 r 1 a 8 p 2 2 l r 3 2 e 4 p r l O a 3 displaystyle V r approx Z alpha hbar c frac 1 r left 1 frac alpha 8 pi 2 sqrt 2 left frac lambda r right 3 2 mathrm e 4 pi frac r lambda right mathcal O alpha 3 nbsp Fur kleine Abstande Bearbeiten Andererseits konvergiert das Integral im Limes kleiner Abstande r 0 displaystyle r to 0 nbsp nicht sodass das Uehling Potential dort eine messbare Abweichung zum Coulomb Potential generiert Fur kleine Abstande l r 2 p exp g 5 6 25 75 displaystyle lambda r gg 2 pi exp gamma 5 6 approx 25 75 nbsp gilt V r Z a ℏ c 1 r 1 2 a 3 p ln l 2 p r g 5 6 O a 3 displaystyle V r approx Z alpha hbar c frac 1 r left 1 frac 2 alpha 3 pi left ln frac lambda 2 pi r gamma frac 5 6 right right mathcal O alpha 3 nbsp mit der Euler Mascheroni Konstanten g displaystyle gamma nbsp Einfluss auf Energieniveaus im Atom BearbeitenDa das Uehling Potential nur fur sehr kleine Abstande um den Kern einen nennenswerten Beitrag liefert wird hauptsachlich die Energie der s Orbitale Drehimpulsquantenzahl ℓ 0 von ihm beeinflusst denn fur Orbitale mit ℓ gt 0 hat die Wellenfunktion im Koordinatenursprung den Wert Null Zur Berechnung dieses Einflusses kann quantenmechanische Storungstheorie angewandt werden Im Gegensatz zum Potential selbst sind die Ergebnisse analytisch geschlossen darstellbar da die auftretenden Integrationen uber die Entfernung r displaystyle r nbsp und den Integrationsparameter x displaystyle x nbsp vertauschen Die Energiekorrekturen fur die nach einer quantenmechanischen Rechnung entarteten Energieniveaus 2 s 1 2 displaystyle 2s 1 2 nbsp und 2 p 1 2 displaystyle 2p 1 2 nbsp lauten in fuhrender Ordnung mit der Elektronenmasse m displaystyle m nbsp in der Masseinheit Elektronenvolt eV D E 2 s 1 2 a 5 30 p m c 2 1 1 10 7 eV D E 2 p 1 2 3 a 7 2240 p m c 2 2 4 10 13 eV displaystyle begin aligned Delta E 2s 1 2 amp frac alpha 5 30 pi mc 2 approx 1 1 cdot 10 7 text eV Delta E 2p 1 2 amp frac 3 alpha 7 2240 pi mc 2 approx 2 4 cdot 10 13 text eV end 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BearbeitenMatthew D Schwartz Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge University Press Cambridge 2014 ISBN 978 1 107 03473 0 englisch V B Berestetskii E M Lifshitz und L P Pitaevskii Quantum Electrodynamics 2 Auflage Pergamon Press Oxford New York Toronto Sydney Paris Frankfurt 1982 englisch russisch Kvantovaya elektrodinamika Ubersetzt von J B Sykes und J S Bell Edwin A Uehling Polarization effects in the positron theory In Phys Rev Band 48 Nr 1 1935 S 55 63 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Uehling Potential amp oldid 232896823