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Wightman Axiome Die oder auch Gårding sind ein von Arthur Wightman und Lars Gårding in den 1950er 1 Jahren formuliertes

Wightman-Axiome

Die Wightman-Axiome, oder auch Gårding–Wightman-Axiome, sind ein von Arthur Wightman und Lars Gårding in den 1950er Jahren formuliertes Axiomensystem zur mathematischen (axiomatische) Beschreibung von Quantenfeldtheorien. Publiziert wurden die Axiome im Jahre 1964, nachdem der Erfolg der Haag-Ruelle Streutheorie deren Bedeutung aufzeigte.

Die Axiome Bearbeiten

Im Folgenden werden die Wightman-Axiome für ein hermitesches skalares Quantenfeld beschrieben. Die Nummerierung der Axiome basiert auf der von Arthur Wightman und Ray Streater verfassten Monografie "PCT, Spin, Statistik und all das".

Annahme einer relativistischen Quantentheorie Bearbeiten

  • Die Zustände der Theorie werden durch Vektoren in einem separablen komplexen Hilbertraum beschrieben. (Etwas präziser: Zustände werden durch "Strahlen" im Hilbertraum beschrieben, das heißt, dass zwei Vektoren in , die sich nur durch einen Phasenfaktor unterscheiden, identifiziert werden. Die Menge aller so definierter Äquivalenzklassen wird auch als "projektiver Hilbertraum" bezeichnet.)
  • Das relativistische Transformationsgesetz ist durch eine stark-stetige unitäre Darstellung der eigentlichen orthochronen Poincaré-Gruppe gegeben. Die Gruppe besteht aus allen Paaren der Form mit und , wobei die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe bezeichnet. Die Gruppenverknüpfung ist definiert als Eine unitäre Darstellung der Gruppe ist ein Gruppenhomomorphismus der Form , wobei die Menge aller unitären Operatoren auf bezeichne.
  • Nach dem Satz von Stone existieren 4 kommutierende und selbstadjungierte Operatoren , sodass (hier wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet), wobei die Exponentialfunktion mittels des Spektralsatzes für unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren wohl-definiert ist. Man fordert nun, dass diese 4 Operatoren die sogenannte "Spektralbedingung" erfüllen, was bedeutet, dass der Operator ein positiver Operator ist, oder etwas abstrakter, dass das zu gehörige Spektralmaß gänzlich im abgeschlossen, positiven Lichtkegel liegt. Die Operatoren entsprechen den Operatoren für den Viererimpuls.
  • Es existiert ein (bis auf einen Phasenfaktor) eindeutig bestimmter Vektor , genannt „Vakuum“, sodass für alle .

Annahme über den Definitionsbereich und die Stetigkeit des Feldes Bearbeiten

  • Ein "Quantenfeld" ist eine operatorwertige temperierte Distribution, das heißt, eine Abbildung , wobei den Raum der Schwartz-Funktionen und die Menge aller (nicht notwendigerweise beschränkten) Operatoren auf bezeichnet, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
    1. Es existiert ein dichter Unterraum , sodass für alle gilt, dass der Definitionsbereich des Operators und der Definitionsbereich des Operators die Menge enthalten und auf ihr übereinstimmen. ( bezeichnet hier den adjungierten Operator)
    2. und für alle gilt, dass .
    3. Für alle ist die Funktion eine temperierte Distribution.

Transformationsgesetz des Feldes Bearbeiten

Sei nun und wie oben beschrieben. Für alle gilt, dass Des Weiteren fordert man, dass das Quantenfeld für alle , für alle und für alle die folgende Transformationseigenschaft besitzt:

wobei .

Lokalität und Zyklizität des Vakuums Bearbeiten

  • Seien so, dass die Träger raumartig getrennt sind, dann fordert man, dass für alle gilt.
  • Die Menge ist dicht in .

Ein Quintupel , das die obigen Axiome erfüllt, wird als „hermitesche skalare Wightman-Quantenfeldtheorie“ bezeichnet.

Diskussion der Axiome Bearbeiten

Das Quantenfeld wird in den Axiomen als "operatorwertige temperierte Distribution" definiert, wohingegen in der Physik Quantenfelder meist als operatorwertige Funktionen auf der Raumzeit beschrieben werden. Hierzu schrieb Arthur Wightman und Ray Streater in "PCT, Spin, Statistik und all das":

"It was recognized early in the analysis of field measurements for the electromagnetic field in quantum electrodynamics that, in their dependence on a space-time point, the components of fields are in general more singular than ordinary functions. This suggests that only smeared fields be required to yield well-defined operators. For example, in the case of the electric field , is not a well-defined operator, while is."

Übersetzung:

"Es wurde früh in der Analyse von Feldmessungen für das elektromagnetische Feld in der Quantenelektrodynamik erkannt, dass die Komponenten von Feldern in ihrer Abhängigkeit von einem Raum-Zeit-Punkt im Allgemeinen singulärer sind als gewöhnliche Funktionen. Dies legt nahe, dass nur verschmierte Felder geeignet sind, um wohl-definierte Operatoren zu erhalten. Zum Beispiel ist im Falle des elektrischen Feldes kein wohl-definierter Operator, wohingegen einer ist."

Die Wightman-Axiome lassen sich auch auf Felder mit Spin ungleich von 0 verallgemeinern. Hierzu fordert man, dass die Theorie ein -Tupel an operatorwertigen temperierten Distribution enthält. Das zugehörige Transformationsgesetz lautet

für alle Komponenten . bezeichnet dabei eine irreduzible Darstellung der Gruppe , der universellen, einfach-zusammenhängenden Überlagerungsgruppe von . Die Matrix ist die zu gehörige Lorentz-Transformation. (siehe auch Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe)

Das Axiom der Lokalität und die Zyklizität des Vakuums müssen wie folgt abgewandelt werden:

  • Beschreibt die Darstellung ein Teilchen mit ganzzahligem Spin, dann gilt für alle mit raumartig getrennten Trägen, dass und . Wird hingegen ein Teilchen mit halbzahligem Spin betrachtet, so lauten die Bedingungen und .
  • Die Zyklizität des Vakuums wird für alle gefordert.

Wightman's Rekonstruktionssatz Bearbeiten

Eine wichtige Folgerung der Wightman-Axiome ist die Tatsache, dass die Erwartungswerte der Theorie gewisse Eigenschaften erfüllen, mit denen sich die Wightman-Axiome vollständig rekonstruieren lassen. Dies soll im folgenden Absatz erläutert werden.

Sei eine hermitesche skalare Wightman-Quantenfeldtheorie. Man bezeichnet eine Funktion mit , welche für durch

definiert ist, als "Wightman-Korrelationsfunktion". Nach einem Satz in der Theorie der Distributionen, existiert zu eine eindeutig bestimmte temperierte Distribution , sodass

für alle gilt, wobei das Tensorprodukt von Funktionen bezeichnet.

Es lässt sich nun zeigen, dass die folgenden Eigenschaften besitzt:

  1. Positive Definitheit: Es sei und für . Dann gilt , wobei durch für alle definiert ist.
  2. Realität: Für alle gilt, dass .
  3. Relativistische Invarianz: Für alle und für alle gilt, dass , wobei punktweise wie oben definiert ist.
  4. Spektralbedingung: Für alle existiert eine temperierte Distribution , sodass für alle mit der Eigenschaft, dass ihre Fourier-Transformation gänzlich im positiven, abgeschlossenen Lichtkegel enthalten ist, gilt, dass , wobei durch für alle definiert ist.
  5. Lokalität: Seien so, dass die Träger raumartig getrennt sind, dann .
  6. Cluster-Eigenschaft: Ist ein raumartiger Vektor, dann gilt für alle , dass , wobei den Translationsoperator bezeichne, welcher durch definiert ist.

Wightman's Rekonstruktionssatz:

Es sei eine Menge von Funktionen, die die obigen 6 Eigenschaften besitzen. Dann existiert eine hermitesche skalare Wightman-Quantenfeldtheorie , welche die Wightman-Axiome erfüllt, sodass die Wightman-Korrelationsfunktionen genau den Distributionen entsprechen. In anderen Worten, es gilt, dass

.

Ein Beweis dieser Aussage lässt sich zum Beispiel in und finden.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wightman-Axiome in nlab ncatlab.org
  2. A. S. Wightman, L. Gårding, "Fields as Operator-valued Distributions in Relativistic Quantum Theory," Arkiv f. Fysik, Kungl. Svenska Vetenskapsak. Band 28, 1964, S. 129–189.
  3. R. Haag, "Quantum field theories with opposite particles and asymptotic conditions," Phys. Rev. 112 (1958).
  4. D. Ruelle, "On the asymptotic condition in quantum field theory," Helv. Phys. Acta 35 (1952).
  5. ↑ R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics and All That, Princeton University Press, Landmarks in Mathematics and Physics, 2000 (1. Aufgabe, New York, Benjamin 1964).
  6. A. Schwarz: Quantum Field Theory and Topology. Springer-Verlag, 1993.
  7. E. de Faria, W. de Melo: Mathematical Aspects of Quantum Field Theory (= Cambridge studies in advanced mathematics 127). Cambridge University Press, Cambridge 2010, S. 120.
  8. S. P. Gudder: Stochastic Methods in Quantum Mechanics. Courier Corporation, 2014.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Wightman Axiome oder auch Garding Wightman Axiome sind ein von Arthur Wightman und Lars Garding in den 1950er 1 Jahren formuliertes Axiomensystem zur mathematischen axiomatische Beschreibung von Quantenfeldtheorien Publiziert wurden die Axiome im Jahre 1964 2 nachdem der Erfolg der Haag Ruelle Streutheorie 3 4 deren Bedeutung aufzeigte Inhaltsverzeichnis 1 Die Axiome 1 1 Annahme einer relativistischen Quantentheorie 1 2 Annahme uber den Definitionsbereich und die Stetigkeit des Feldes 1 3 Transformationsgesetz des Feldes 1 4 Lokalitat und Zyklizitat des Vakuums 2 Diskussion der Axiome 3 Wightman s Rekonstruktionssatz 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDie Axiome BearbeitenIm Folgenden werden die Wightman Axiome fur ein hermitesches skalares Quantenfeld beschrieben Die Nummerierung der Axiome basiert auf der von Arthur Wightman und Ray Streater verfassten Monografie PCT Spin Statistik und all das 5 Annahme einer relativistischen Quantentheorie Bearbeiten Die Zustande der Theorie werden durch Vektoren in einem separablen komplexen Hilbertraum H displaystyle mathcal H langle cdot cdot rangle nbsp beschrieben Etwas praziser Zustande werden durch Strahlen im Hilbertraum beschrieben das heisst dass zwei Vektoren in H displaystyle mathcal H nbsp die sich nur durch einen Phasenfaktor unterscheiden identifiziert werden Die Menge aller so definierter Aquivalenzklassen wird auch als projektiver Hilbertraum bezeichnet Das relativistische Transformationsgesetz ist durch eine stark stetige unitare Darstellung der eigentlichen orthochronen Poincare Gruppe P displaystyle mathcal P uparrow nbsp gegeben Die Gruppe P displaystyle mathcal P uparrow nbsp besteht aus allen Paaren der Form a L displaystyle a Lambda nbsp mit a R 4 displaystyle a in mathbb R 4 nbsp und L S O 1 3 displaystyle Lambda in SO 1 3 nbsp wobei S O 1 3 displaystyle SO 1 3 nbsp die eigentliche orthochrone Lorentz Gruppe bezeichnet Die Gruppenverknupfung ist definiert als a 1 L 1 a 2 L 2 a 1 L 1 a 2 L 1 L 2 displaystyle a 1 Lambda 1 cdot a 2 Lambda 2 a 1 Lambda 1 a 2 Lambda 1 Lambda 2 nbsp Eine unitare Darstellung der Gruppe P displaystyle mathcal P uparrow nbsp ist ein Gruppenhomomorphismus der Form U P U H displaystyle U mathcal P uparrow to mathcal U mathcal H nbsp wobei U H displaystyle mathcal U mathcal H nbsp die Menge aller unitaren Operatoren auf H displaystyle mathcal H nbsp bezeichne Nach dem Satz von Stone existieren 4 kommutierende und selbstadjungierte Operatoren P m m 0 1 2 3 displaystyle P mu mu 0 1 2 3 nbsp sodass U a 1 e i a m P m displaystyle U a 1 e ia mu P mu nbsp hier wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wobei die Exponentialfunktion mittels des Spektralsatzes fur unbeschrankte selbstadjungierte Operatoren wohl definiert ist Man fordert nun dass diese 4 Operatoren die sogenannte Spektralbedingung erfullen was bedeutet dass der Operator P 0 2 P 1 2 P 2 2 P 3 2 displaystyle P 0 2 P 1 2 P 2 2 P 3 2 nbsp ein positiver Operator ist oder etwas abstrakter dass das zu R 4 a a 1 displaystyle mathbb R 4 ni a mapsto a 1 nbsp gehorige Spektralmass ganzlich im abgeschlossen positiven Lichtkegel V x 0 x R 4 x 0 x displaystyle overline V x 0 vec x in mathbb R 4 mid x 0 geq vert vec x vert nbsp liegt Die Operatoren P m m 0 1 2 3 displaystyle P mu mu 0 1 2 3 nbsp entsprechen den Operatoren fur den Viererimpuls Es existiert ein bis auf einen Phasenfaktor eindeutig bestimmter Vektor W H displaystyle Omega in mathcal H nbsp genannt Vakuum sodass U a 1 W W displaystyle U a 1 Omega Omega nbsp fur alle a R 4 displaystyle a in mathbb R 4 nbsp Annahme uber den Definitionsbereich und die Stetigkeit des Feldes Bearbeiten Ein Quantenfeld ist eine operatorwertige temperierte Distribution das heisst eine Abbildung F S R 4 O H displaystyle Phi mathcal S mathbb R 4 to mathcal O mathcal H nbsp wobei S R 4 displaystyle mathcal S mathbb R 4 nbsp den Raum der Schwartz Funktionen und O H displaystyle mathcal O mathcal H nbsp die Menge aller nicht notwendigerweise beschrankten Operatoren auf H displaystyle mathcal H nbsp bezeichnet sodass die folgenden Eigenschaften erfullt sind Es existiert ein dichter Unterraum D H displaystyle D subset mathcal H nbsp sodass fur alle f S R 4 displaystyle f in mathcal S mathbb R 4 nbsp gilt dass der Definitionsbereich D F f displaystyle D Phi f nbsp des Operators F f displaystyle Phi f nbsp und der Definitionsbereich D F f displaystyle D Phi f ast nbsp des Operators F f displaystyle Phi f ast nbsp die Menge D displaystyle D nbsp enthalten und auf ihr ubereinstimmen displaystyle ast nbsp bezeichnet hier den adjungierten Operator W D displaystyle Omega subset D nbsp und fur alle f S R 4 displaystyle f in mathcal S mathbb R 4 nbsp gilt dass F f D D displaystyle Phi f D subset D nbsp Fur alle ps f D displaystyle psi varphi in D nbsp ist die Funktion S R 4 f ps F f f C displaystyle mathcal S mathbb R 4 ni f mapsto langle psi Phi f varphi rangle in mathbb C nbsp eine temperierte Distribution Transformationsgesetz des Feldes BearbeitenSei nun D displaystyle D nbsp und F displaystyle Phi nbsp wie oben beschrieben Fur alle a L P displaystyle a Lambda in mathcal P uparrow nbsp gilt dass U a L D D displaystyle U a Lambda D subset D nbsp Des Weiteren fordert man dass das Quantenfeld fur alle ps D displaystyle psi in D nbsp fur alle a L P displaystyle a Lambda in mathcal P uparrow nbsp und fur alle f S R 4 displaystyle f in mathcal S mathbb R 4 nbsp die folgende Transformationseigenschaft besitzt U a L F f U a L 1 ps F a L f ps displaystyle U a Lambda Phi f U a Lambda 1 psi Phi a Lambda f psi nbsp wobei a L f x f L 1 x a displaystyle a Lambda f x f Lambda 1 x a nbsp Lokalitat und Zyklizitat des Vakuums Bearbeiten Seien f 1 f 2 S R 4 displaystyle f 1 f 2 in mathcal S mathbb R 4 nbsp so dass die Trager supp f 1 supp f 2 displaystyle operatorname supp f 1 operatorname supp f 2 nbsp raumartig getrennt sind dann fordert man dass F f F g F g F f ps 0 displaystyle Phi f Phi g Phi g Phi f psi 0 nbsp fur alle ps D 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be required to yield well defined operators For example in the case of the electric field E x t displaystyle mathcal E x t nbsp is not a well defined operator while d x d t f x E x t E f displaystyle int mathrm d vec x mathrm d tf x mathcal E vec x t mathcal E f nbsp is Ubersetzung Es wurde fruh in der Analyse von Feldmessungen fur das elektromagnetische Feld in der Quantenelektrodynamik erkannt dass die Komponenten von Feldern in ihrer Abhangigkeit von einem Raum Zeit Punkt im Allgemeinen singularer sind als gewohnliche Funktionen Dies legt nahe dass nur verschmierte Felder geeignet sind um wohl definierte Operatoren zu erhalten Zum Beispiel ist im Falle des elektrischen Feldes E x t displaystyle mathcal E x t nbsp kein wohl definierter Operator wohingegen d x d t f x E x t E f displaystyle int mathrm d vec x mathrm d tf x mathcal E vec x t mathcal E f nbsp einer ist Die Wightman Axiome lassen sich auch auf Felder mit Spin ungleich von 0 verallgemeinern Hierzu fordert man dass die Theorie ein d displaystyle d nbsp Tupel F 1 f F d f displaystyle Phi 1 f dots Phi d f nbsp an operatorwertigen temperierten Distribution enthalt Das zugehorige Transformationsgesetz lautetU a L F i f U a L 1 j 1 d D i j L 1 F j a L f displaystyle U a Lambda Phi i f U a Lambda 1 sum j 1 d D ij widetilde Lambda 1 Phi j a Lambda f nbsp fur alle Komponenten i 1 d displaystyle i in 1 dots d nbsp D i j displaystyle D ij nbsp bezeichnet dabei eine irreduzible Darstellung der Gruppe S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C nbsp der universellen einfach zusammenhangenden Uberlagerungsgruppe von S O 1 3 displaystyle SO 1 3 nbsp Die Matrix L S O 1 3 displaystyle Lambda in SO 1 3 nbsp ist die zu L S L 2 C displaystyle widetilde Lambda in SL 2 mathbb C nbsp gehorige Lorentz Transformation siehe auch Darstellungstheorie der Lorentz Gruppe Das Axiom der Lokalitat und die Zyklizitat des Vakuums mussen wie folgt abgewandelt werden Beschreibt die Darstellung D i j displaystyle D ij nbsp ein Teilchen mit ganzzahligem Spin dann gilt fur alle f 1 f 2 S R 4 displaystyle f 1 f 2 in mathcal S mathbb R 4 nbsp mit raumartig getrennten Tragen dass F i f F j g F j g F i f 0 displaystyle Phi i f Phi j g Phi j g Phi i f 0 nbsp und F i f F j g F j g F i f 0 displaystyle Phi i f ast Phi j g Phi j g Phi i f ast 0 nbsp Wird hingegen ein Teilchen mit halbzahligem Spin betrachtet so lauten die Bedingungen F i f F j g F j g F i f 0 displaystyle Phi i f Phi j g Phi j g Phi i f 0 nbsp und F i f F j g F j g F i f 0 displaystyle Phi i f ast Phi j g Phi j g Phi i f ast 0 nbsp Die Zyklizitat des Vakuums wird fur alle F 1 f F d f F 1 f F d f displaystyle Phi 1 f dots Phi d f Phi 1 f ast dots Phi d f ast nbsp gefordert Wightman s Rekonstruktionssatz BearbeitenEine wichtige Folgerung der Wightman Axiome ist die Tatsache dass die Erwartungswerte der Theorie gewisse Eigenschaften erfullen mit denen sich die Wightman Axiome vollstandig rekonstruieren lassen Dies soll im folgenden Absatz erlautert werden Sei H U W F D displaystyle mathcal H U Omega Phi D nbsp eine hermitesche skalare Wightman Quantenfeldtheorie Man bezeichnet eine Funktion W n S R 4 S R 4 C displaystyle mathcal W n mathcal S mathbb R 4 times dots times mathcal S mathbb R 4 to mathbb C nbsp mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp welche fur f 1 f n S R 4 displaystyle f 1 dots f n in mathcal S mathbb R 4 nbsp durchW n f 1 f n W F f 1 F f n W displaystyle mathcal W n f 1 dots f n langle Omega Phi f 1 cdot dots cdot Phi f n Omega rangle nbsp definiert ist als Wightman Korrelationsfunktion Nach einem Satz in der Theorie der Distributionen 6 7 existiert zu W n displaystyle mathcal W n nbsp eine eindeutig bestimmte temperierte Distribution W n S R 4 n displaystyle W n in mathcal S prime mathbb R 4n nbsp sodassW n f 1 f n W n f 1 f n displaystyle mathcal W n f 1 dots f n W n f 1 otimes dots otimes f n nbsp fur alle f 1 f n S R 4 displaystyle f 1 dots f n in mathcal S mathbb R 4 nbsp gilt wobei displaystyle otimes nbsp das Tensorprodukt von Funktionen bezeichnet Es lasst sich nun zeigen dass W n displaystyle W n nbsp die folgenden Eigenschaften besitzt Positive Definitheit Es sei f 0 C displaystyle f 0 in mathbb C nbsp und f j S R 4 j displaystyle f j in mathcal S mathbb R 4j nbsp fur j 1 n displaystyle j in 1 dots n nbsp Dann gilt j k 0 n W j k f k g j 0 displaystyle sum j k 0 n W j k f k ast otimes g j geq 0 nbsp wobei f k displaystyle f k ast nbsp durch f x 1 x k f x k x 1 displaystyle f ast x 1 dots x k overline f x k dots x 1 nbsp fur alle x i R 4 displaystyle ce x i in mathbb R 4 nbsp definiert ist Realitat Fur alle f S R 4 n displaystyle f in mathcal S mathbb R 4n nbsp gilt dass W n f W n f displaystyle W n f ast overline W n f nbsp Relativistische Invarianz Fur alle a L P displaystyle a Lambda in mathcal P uparrow nbsp und fur alle f S R 4 n displaystyle f in mathcal S mathbb R 4n nbsp gilt dass W n a L f W n f displaystyle W n a Lambda f W n f nbsp wobei a L f displaystyle a Lambda f nbsp punktweise wie oben definiert ist Spektralbedingung Fur alle n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp existiert eine temperierte Distribution T n S R 4 n 4 displaystyle T n in mathcal S prime mathbb R 4n 4 nbsp sodass fur alle f S R 4 n displaystyle f in mathcal S mathbb R 4n nbsp mit der Eigenschaft dass ihre Fourier Transformation ganzlich im positiven abgeschlossenen Lichtkegel V n 1 displaystyle overline V n 1 nbsp enthalten ist gilt dass W n f T n f displaystyle W n f T n hat f nbsp wobei f S R 4 n 4 displaystyle hat f in mathcal S mathbb R 4n 4 nbsp durch f x 1 x n 1 f 0 x 1 x 2 x 1 x n 1 displaystyle hat f x 1 dots x n 1 f 0 x 1 x 2 dots x 1 dots x n 1 nbsp fur alle x i R 4 displaystyle ce x i in mathbb R 4 nbsp definiert ist Lokalitat Seien f i f i 1 S R 4 displaystyle f i f i 1 in mathcal S mathbb R 4 nbsp so dass die Trager supp f 1 supp f 2 displaystyle operatorname supp f 1 operatorname supp f 2 nbsp raumartig getrennt sind dann W n f 1 f i f i 1 f n W n f 1 f i 1 f i f n displaystyle W n f 1 otimes dots otimes f i otimes f i 1 otimes dots otimes f n W n f 1 otimes dots otimes f i 1 otimes f i otimes dots otimes f n nbsp Cluster Eigenschaft Ist a R 4 displaystyle a in mathbb R 4 nbsp ein raumartiger Vektor dann gilt fur alle 0 i n displaystyle 0 leq i leq n nbsp dass lim l 0 W n T l a i W i W n i displaystyle lim lambda to 0 W n otimes T lambda a i W i otimes W n i nbsp wobei T a i S R 4 n S R 4 n displaystyle T a i mathcal S mathbb R 4n to mathcal S mathbb R 4n nbsp den Translationsoperator bezeichne welcher durch T a i f x 1 f n f x 1 x i x i a x n a displaystyle T a i f x 1 dots f n f x 1 dots x i x i a dots x n a nbsp definiert ist Wightman s Rekonstruktionssatz Es sei W n n 0 displaystyle W n n geq 0 nbsp eine Menge von Funktionen die die obigen 6 Eigenschaften besitzen Dann existiert eine hermitesche skalare Wightman Quantenfeldtheorie H U W F D displaystyle mathcal H U Omega Phi D nbsp welche die Wightman Axiome erfullt sodass die Wightman Korrelationsfunktionen genau den Distributionen W n n 0 displaystyle W n n geq 0 nbsp entsprechen In anderen Worten es gilt dassW n f 1 f n W F f 1 F f n W displaystyle W n f 1 otimes dots otimes f n langle Omega Phi f 1 cdot dots cdot Phi f n Omega rangle nbsp Ein Beweis dieser Aussage lasst sich zum Beispiel in 5 und 8 finden Literatur BearbeitenSiehe auch Axiomatische QuantenfeldtheorieEinzelnachweise Bearbeiten Wightman Axiome in nlab ncatlab org A S Wightman L Garding Fields as Operator valued Distributions in Relativistic Quantum Theory Arkiv f Fysik Kungl Svenska Vetenskapsak Band 28 1964 S 129 189 R Haag Quantum field theories with opposite particles and asymptotic conditions Phys Rev 112 1958 D Ruelle On the asymptotic condition in quantum field theory Helv Phys Acta 35 1952 a b c R F Streater and A S Wightman PCT Spin and Statistics and All That Princeton University Press Landmarks in Mathematics and Physics 2000 1 Aufgabe New York Benjamin 1964 A Schwarz Quantum Field Theory and Topology Springer Verlag 1993 E de Faria W de Melo Mathematical Aspects of Quantum Field Theory Cambridge studies in advanced mathematics 127 Cambridge University Press Cambridge 2010 S 120 S P Gudder Stochastic Methods in Quantum Mechanics Courier Corporation 2014 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wightman Axiome amp oldid 230957758