𝕆 Die reellen Oktaven auch Oktonionen oder Cayleyzahlen sind eine Erweiterung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol O displaystyle mathbb O Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen und bilden einen Alternativkorper Damit liefern sie als Koordinatenbereich ein Beispiel fur eine echte das heisst nicht desarguessche Moufang Ebene in der synthetischen Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Multiplikationstabelle 2 1 Cayley Dickson Konstruktion 2 2 Fano Ebene 3 Eigenschaften 4 Darstellungen 5 Konjugation Norm Inverse 6 Anwendungen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDie Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Thomas Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben Unabhangig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley als Erstem veroffentlicht Multiplikationstabelle BearbeitenDie Oktonionen sind eine 8 dimensionale Algebra uber den reellen Zahlen Eine mogliche Multiplikation ist mit der Basis 1 i j k l m n o displaystyle 1 mathrm i mathrm j mathrm k mathrm l mathrm m mathrm n mathrm o nbsp wie folgt gegeben i 2 displaystyle mathrm i 2 nbsp displaystyle nbsp j 2 displaystyle mathrm j 2 nbsp displaystyle nbsp k 2 displaystyle mathrm k 2 nbsp displaystyle nbsp l 2 displaystyle mathrm l 2 nbsp displaystyle nbsp m 2 displaystyle mathrm m 2 nbsp displaystyle nbsp n 2 displaystyle mathrm n 2 nbsp displaystyle nbsp o 2 displaystyle mathrm o 2 nbsp displaystyle nbsp 1 displaystyle mathrm 1 nbsp i displaystyle mathrm i nbsp displaystyle nbsp j k displaystyle mathrm jk nbsp displaystyle nbsp l m displaystyle mathrm lm nbsp displaystyle nbsp o n displaystyle mathrm on nbsp displaystyle nbsp k j displaystyle mathrm kj nbsp displaystyle nbsp m l displaystyle mathrm ml nbsp displaystyle nbsp n o displaystyle mathrm no nbsp j displaystyle mathrm j nbsp displaystyle nbsp k i displaystyle mathrm ki nbsp displaystyle nbsp l n displaystyle mathrm ln nbsp displaystyle nbsp m o displaystyle mathrm mo nbsp displaystyle nbsp i k displaystyle mathrm ik nbsp displaystyle nbsp n l displaystyle mathrm nl nbsp displaystyle nbsp o m displaystyle mathrm om nbsp k displaystyle mathrm k nbsp displaystyle nbsp i j displaystyle mathrm ij nbsp displaystyle nbsp l o displaystyle mathrm lo nbsp displaystyle nbsp n m displaystyle mathrm nm nbsp displaystyle nbsp j i displaystyle mathrm ji nbsp displaystyle nbsp o l displaystyle mathrm ol nbsp displaystyle nbsp m n displaystyle mathrm mn nbsp l displaystyle mathrm l nbsp displaystyle nbsp m i displaystyle mathrm mi nbsp displaystyle nbsp n j displaystyle mathrm nj nbsp displaystyle nbsp o k displaystyle mathrm ok nbsp displaystyle nbsp i m displaystyle mathrm im nbsp displaystyle nbsp j n displaystyle mathrm jn nbsp displaystyle nbsp k o displaystyle mathrm ko nbsp m displaystyle mathrm m nbsp displaystyle nbsp i l displaystyle mathrm il nbsp displaystyle nbsp o j displaystyle mathrm oj nbsp displaystyle nbsp k n displaystyle mathrm kn nbsp displaystyle nbsp l i displaystyle mathrm li nbsp displaystyle nbsp j o displaystyle mathrm jo nbsp displaystyle nbsp n k displaystyle mathrm nk nbsp n displaystyle mathrm n nbsp displaystyle nbsp j l displaystyle mathrm jl nbsp displaystyle nbsp i o displaystyle mathrm io nbsp displaystyle nbsp m k displaystyle mathrm mk nbsp displaystyle nbsp l j displaystyle mathrm lj nbsp displaystyle nbsp o i displaystyle mathrm oi nbsp displaystyle nbsp k m displaystyle mathrm km nbsp o displaystyle mathrm o nbsp displaystyle nbsp n i displaystyle mathrm ni nbsp displaystyle nbsp j m displaystyle mathrm jm nbsp displaystyle nbsp k l displaystyle mathrm kl nbsp displaystyle nbsp i n displaystyle mathrm in nbsp displaystyle nbsp m j displaystyle mathrm mj nbsp displaystyle nbsp l k displaystyle mathrm lk nbsp Daraus lasst sich fur die Einheiten errechnen i j k l m n o 1 displaystyle mathrm Big big big ij k l big m big n Big o 1 nbsp Man kann die Elemente i j k l m n o displaystyle mathrm i j k l m n o nbsp an Stelle der reellen Zahlen auch zu einem anderen kommutativen Korper K displaystyle K nbsp adjungieren mit der angegebenen Multiplikationstabelle und K displaystyle K nbsp als Zentrum Man nennt das Ergebnis die Cayley Algebra uber K displaystyle K nbsp welche aber nicht fur jedes K displaystyle K nbsp ohne Nullteiler ist Mit der Notation der Einheits Oktonionen in der Form e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 displaystyle e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 nbsp wobei e 0 displaystyle e 0 nbsp das skalare Element bezeichnet und mit der reellen Zahl 1 identifiziert werden kann schreibt sich die Multiplikationsmatrix e j displaystyle boldsymbol e j nbsp e i e j displaystyle e i e j nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e i displaystyle boldsymbol e i nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 7 displaystyle e 7 nbsp e 6 displaystyle e 6 nbsp e 5 displaystyle e 5 nbsp e 4 displaystyle e 4 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 1 displaystyle e 1 nbsp e 0 displaystyle e 0 nbsp Bis auf die Elemente in der e 0 displaystyle e 0 nbsp Spalte und Reihe ist die Matrix schiefsymmetrisch Die Multiplikation kann auch geschrieben werden e i e j e j wenn i 0 e i wenn j 0 d i j e 0 e i j k e k sonst displaystyle e i e j begin cases e j amp text wenn i 0 e i amp text wenn j 0 delta ij e 0 varepsilon ijk e k amp text sonst end cases nbsp mit d i j displaystyle delta ij nbsp dem Kronecker Delta und e i j k displaystyle varepsilon ijk nbsp dem vollstandig antisymmetrischen Tensor mit dem Wert 1 fur ijk 123 145 176 246 257 347 365 Das ist nicht die einzige Wahl der Multiplikationstabelle es gibt 480 weitere Moglichkeiten erzeugt durch Permutation der e i displaystyle e i nbsp verbunden mit Vorzeichenwechseln die aber alle auf isomorphe Algebren fuhren Cayley Dickson Konstruktion Bearbeiten Man kann Oktonionen als Paare a b displaystyle a b nbsp von Quaternionen auffassen und die Oktonionen Multiplikation der Paare a b displaystyle a b nbsp und c d displaystyle c d nbsp uber a b c d a c d b d a b c displaystyle a b c d ac d b da bc nbsp definieren wobei a displaystyle a nbsp die Konjugation einer Quaternion ist nbsp Multiplikation der Oktonionen mit Hilfe der Fano EbeneFano Ebene Bearbeiten Die Multiplikation der Oktonionen kann man in der Fano Ebene darstellen siehe Abbildung rechts Die Punkte entsprechen den sieben Einheits Oktonionen im Imaginarteil der Oktonionen das heisst ohne e 0 1 displaystyle e 0 1 nbsp Durch die Pfeile ist eine Ordnung vorgegeben und Multiplikation zweier benachbarter Elemente auf einer Geraden resultiert im dritten Element auf der Geraden bei Fortschreiten in Pfeilrichtung einige der Geraden sind in der Abbildung kreisformig Dabei wird zyklisch auf der Geraden vorangeschritten das heisst man kann sich die Geraden als virtuell geschlossen vorstellen a b c c a b b c a displaystyle a b c c a b b c a nbsp Bei Fortschreiten entgegen der Pfeilrichtung erhalt man ein Minusvorzeichen Zum Beispiel ergibt e 5 e 3 e 6 displaystyle e 5 cdot e 3 e 6 nbsp Wenn also a b c displaystyle a b c nbsp eine Gerade im Fano Diagramm ist mit Ordnung gemass Pfeilrichtung dann ist a b c displaystyle ab c nbsp und b a c displaystyle ba c nbsp Wie oben gilt e 0 1 displaystyle e 0 1 nbsp und e i 2 1 displaystyle e i 2 1 nbsp fur i 1 7 displaystyle i 1 ldots 7 nbsp Man uberzeugt sich leicht anhand des Diagramms dass die Multiplikation nicht assoziativ ist Jede Gerade im Fano Diagramm bildet mit dem Einselement eine Unteralgebra der Oktonionen die isomorph zu den Quaternionen ist Jeder Punkt bildet mit dem Einselement eine Unteralgebra die isomorph zu den komplexen Zahlen ist Eine Gerade und ein Punkt ausserhalb der Geraden erzeugen bereits das ganze Diagramm also zwei beliebige imaginare Einheits Oktonionen e i displaystyle e i nbsp e j displaystyle e j nbsp die mit e i e j displaystyle e i cdot e j nbsp eine Gerade bilden sowie ein zusatzliches imaginares Einheits Oktonion e k displaystyle e k nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement Sie bilden keinen Schiefkorper und keinen Korper denn sie verletzen das Assoziativgesetz der Multiplikation a b c a b c displaystyle a cdot b cdot c a cdot b cdot c nbsp Es gilt jedoch fur alle Oktaven a und b a a b a a b displaystyle a cdot a cdot b a cdot a cdot b nbsp und a b b a b b displaystyle a cdot b cdot b a cdot b cdot b nbsp Diese Eigenschaft wird Alternativitat genannt und kann als abgeschwachte Form der Assoziativitat aufgefasst werden eine aus zwei beliebigen Oktonionen gebildete Unteralgebra ist assoziativ Die Oktonionen bilden einen Alternativkorper Aus der Alternativitat folgt die Beziehung a b a a b a displaystyle a cdot b cdot a a cdot b cdot a nbsp Diese Beziehung wird auch Flexibilitatsgesetz genannt Die Oktonionen erfullen ausserdem die Moufang Identitaten a b a c a b a c displaystyle big a cdot b cdot a big cdot c a cdot big b cdot a cdot c big nbsp und a b c a a b c a displaystyle a cdot b cdot c cdot a a cdot big b cdot c cdot a big nbsp Anwendung des Verdopplungsverfahrens auf die Oktaven liefert die Sedenionen Sie sind allerdings nicht mehr Nullteiler frei und auch nicht mehr alternativ Im Rahmen des Verdopplungsverfahrens verlieren die betrachteten Algebren ausgehend von den reellen Zahlen zunehmend wichtige Eigenschaften zuerst die Ordnungseigenschaft bei den komplexen Zahlen dann die Kommutativitat bei den Quaternionen und die Assoziativitat bei den Oktonionen Alle vier zusammen bilden die einzigen uber den reellen Zahlen endlichdimensionalen normierten Divisionsalgebren mit Einselement Satz von Hurwitz Die Automorphismengruppe der Oktonionen ist die kleinste exzeptionelle einfache Liegruppe G 2 displaystyle mathrm G 2 nbsp Sie ist von der Dimension 14 und kann als Untergruppe von S O 7 displaystyle mathrm SO 7 nbsp aufgefasst werden die in ihrer 8 dimensionalen reellen Spinor Darstellung einen beliebigen vorgegebenen Vektor fest lasst Sie hat zwei fundamentale Darstellungen von 14 Dimensionen die Adjungierte Darstellung und 7 Dimensionen diese ist gerade durch ihre Operationen auf dem siebendimensionalen Imaginarteil der Oktonionen aufgefasst als Vektorraum uber den reellen Zahlen gegeben Darstellungen BearbeitenJede Oktave kann dargestellt werden als 8er Tupel von reellen Zahlen r 1 r 2 r 8 displaystyle r 1 r 2 dotsc r 8 nbsp als 4er Tupel von komplexen Zahlen c 1 c 2 c 3 c 4 displaystyle c 1 c 2 c 3 c 4 nbsp als geordnetes Paar von Quaternionen h 1 h 2 displaystyle h 1 h 2 nbsp Der Korper der reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp kann als Unterstruktur von O displaystyle mathbb O nbsp betrachtet werden Fur alle Zahlen r displaystyle r nbsp aus R displaystyle mathbb R nbsp gilt r displaystyle r nbsp entspricht r 0 0 displaystyle r 0 dotsc 0 nbsp Der Korper der komplexen Zahlen C displaystyle mathbb C nbsp kann als Unterstruktur von O displaystyle mathbb O nbsp betrachtet werden Fur alle Zahlen c displaystyle c nbsp aus C displaystyle mathbb C nbsp gilt c displaystyle c nbsp entspricht c 0 0 0 displaystyle c 0 0 0 nbsp Der Schiefkorper der Quaternionen H displaystyle mathbb H nbsp kann als Unterstruktur von O displaystyle mathbb O nbsp betrachtet werden Fur alle Zahlen h displaystyle h nbsp aus H displaystyle mathbb H nbsp gilt h displaystyle h nbsp entspricht h 0 displaystyle h 0 nbsp Fur die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert dass sie abwartskompatibel sind das heisst fur alle reellen Zahlen r displaystyle r nbsp und s displaystyle s nbsp gilt r s r 0 0 s 0 0 displaystyle r s r 0 dotsc 0 s 0 dotsc 0 nbsp r s r 0 0 s 0 0 displaystyle r cdot s r 0 dotsc 0 cdot s 0 dotsc 0 nbsp dd fur alle komplexen Zahlen c displaystyle c nbsp und d displaystyle d nbsp gilt c d c 0 0 0 d 0 0 0 displaystyle c d c 0 0 0 d 0 0 0 nbsp c d c 0 0 0 d 0 0 0 displaystyle c cdot d c 0 0 0 cdot d 0 0 0 nbsp dd fur alle Quaternionen h displaystyle h nbsp und i displaystyle i nbsp gilt h i h 0 i 0 displaystyle h i h 0 i 0 nbsp h i h 0 i 0 displaystyle h cdot i h 0 cdot i 0 nbsp dd Konjugation Norm Inverse BearbeitenDie Konjugierte eines Oktonions x x 0 e 0 x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x 4 e 4 x 5 e 5 x 6 e 6 x 7 e 7 displaystyle x x 0 e 0 x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x 4 e 4 x 5 e 5 x 6 e 6 x 7 e 7 nbsp wird definiert als x x 0 e 0 x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x 4 e 4 x 5 e 5 x 6 e 6 x 7 e 7 displaystyle x x 0 e 0 x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x 4 e 4 x 5 e 5 x 6 e 6 x 7 e 7 nbsp Konjugation ist eine Involution und es gilt x y y x displaystyle x cdot y y cdot x nbsp Der Skalarteil des Oktonions ist gegeben durch x x 2 x 0 e 0 displaystyle frac x x 2 x 0 e 0 nbsp und der Rest Imaginarteil entsprechend einem siebendimensionalen Untervektorraum durch x x 2 x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x 4 e 4 x 5 e 5 x 6 e 6 x 7 e 7 displaystyle frac x x 2 x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x 4 e 4 x 5 e 5 x 6 e 6 x 7 e 7 nbsp Die Konjugation erfullt x 1 6 x e 1 x e 1 e 2 x e 2 e 3 x e 3 e 4 x e 4 e 5 x e 5 e 6 x e 6 e 7 x e 7 displaystyle x frac 1 6 x e 1 x e 1 e 2 x e 2 e 3 x e 3 e 4 x e 4 e 5 x e 5 e 6 x e 6 e 7 x e 7 nbsp Das Produkt eines Oktonions mit seinem Konjugierten x x x 0 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x 6 2 x 7 2 displaystyle x x x 0 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x 6 2 x 7 2 nbsp liefert eine reelle Zahl grosser oder gleich Null und kann fur die Definition einer Norm benutzt werden die mit der ublichen euklidischen Norm in der Vektorraum Darstellung der Oktonionen ubereinstimmt x x x displaystyle left x right sqrt x x nbsp Das inverse Element eines Oktonions ungleich 0 displaystyle 0 nbsp kann damit so geschrieben werden x 1 x x 2 displaystyle x 1 frac x x 2 nbsp Es gilt x 1 x x x 1 1 displaystyle x 1 cdot x x cdot x 1 1 nbsp Fur das Produkt zweier Oktonionen gilt x y x y displaystyle left xy right left x right cdot left y right nbsp Das heisst die Oktonionen bilden wie die reellen Zahlen die komplexen Zahlen und die Quaternionen eine Kompositionsalgebra Anwendungen BearbeitenMittels der Cayley Algebren lassen sich exzeptionelle Jordan Algebren konstruieren und mittels Raumen von Derivationen auf solchen Jordan Algebren konnen exzeptionelle Lie Algebren angegeben werden Oktonionen konnen auch zur Konstruktion der fastkomplexen Struktur auf der 6 Sphare benutzt werden In der Physik konnten Oktaven zur Beschreibung einer achtdimensionalen Supersymmetrie dienen Damit ergaben sich auch mogliche Anwendungen in Zusammenhang mit der Stringtheorie und der M Theorie da beide auf der Supersymmetrie aufbauen 1 Schon 1973 gab es Versuche uber die Untergruppen SU 3 und SU 2 SU 2 der Automorphismengruppe der Oktonionen G 2 displaystyle mathrm G 2 nbsp Teile des Standardmodells Quarks mit Oktonionen darzustellen Murat Gunaydin Feza Gursey 2 Die grundlegende Gruppenstruktur der Wechselwirkungen des Standardmodells ist SU 3 SU 2 U 1 kurz 1 2 3 Symmetrie Die Gruppe SU 3 ergibt sich in der Automorphismengruppe G 2 displaystyle mathrm G 2 nbsp der imaginaren Oktonionen indem man einen der imaginaren Einheits Oktonionen fest lasst Ab Mitte der 2010er Jahre gab es Versuche der Physikerin Cohl Furey weitere Elemente des Standardmodells aus der Oktonionenalgebra zu erhalten 3 Sie geht vom Tensorprodukt der vier Divisionsalgebren R C H O displaystyle mathbb R otimes mathbb C otimes mathbb H otimes mathbb O nbsp aus und betrachtet Teilchen als Ideale darin 4 Die Raum Zeit Symmetrien Lorentzgruppe sind im C H displaystyle mathbb C otimes mathbb H nbsp Teil der Quaternionen die Gruppenstruktur des Standardmodells im C O displaystyle mathbb C otimes mathbb O nbsp Teil der Oktonionen 2018 implementierte sie darin die volle 1 2 3 Symmetriegruppe des Standardmodells mit einer Generation von Elementarteilchen 5 Es entspricht einer Version der GUT mit Eichgruppe SU 5 von Howard Georgi und Sheldon Glashow allerdings mit einer moglichen Erklarung fur die Unterbindung des Protonzerfalls die meisten GUTs sagen einen Protonenzerfall voraus aufgrund der experimentellen Schranken fur diesen wurde allerdings schon die einfachste minimale SU 5 Theorie ausgeschlossen Sie fand auch eine Implementierung der ungebrochenen Symmetrien SU 3 und U 1 des Standardmodells mit drei Generationen Siehe auch BearbeitenHyperkomplexe Zahlen Biquaternion Quaternion SedenionLiteratur BearbeitenEbbinghaus et al Zahlen Springer Berlin 1992 ISBN 3 540 55654 0 Bartel Leendert van der Waerden A history of Algebra Springer Heidelberg 1986 Ruth Moufang Zur Struktur von Alternativkorpern In Math Ann 110 1934 S 416 Digitalisat John Baez The Octonions In Bull Amer Math Soc 39 2002 S 145 205 math ucr edu John Horton Conway Derek A Smith On Octonions and Quaternions Natick MA A K Peters 2003 ISBN 1 56881 134 9 Einzelnachweise Bearbeiten John C Baez John Huerta Exotische Zahlen und die Stringtheorie In Spektrum der Wissenschaft Oktober 2011 Gunaydin Gursey Quark structure and octonions J Math Phys Band 14 1973 S 1651 Abstract Natalie Wolchover The Peculiar Math That Could Underlie the Laws of Nature Quanta Magazine 20 Juli 2018 Furey Standard model physics from algebra Dissertation Arxiv 2016 Furey SU 3 C SU 2 L U 1 Y U 1 X as a symmetry of division algebraic ladder operators European Physics J C Band 78 2018 S 375 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Oktave Mathematik amp oldid 236197928
