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Moufang Ebene n sind projektive Ebenen in denen der kleine projektive Satz von Desargues allgemeingültig ist Sie sind na

Moufang-Ebene

Moufang-Ebenen sind projektive Ebenen, in denen der kleine projektive Satz von Desargues allgemeingültig ist. Sie sind nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang benannt, die diese Ebenen in den 1930er Jahren untersuchte. Sie konnte zeigen, dass jede Moufang-Ebene isomorph zu einer projektiven Ebene über einem Alternativkörper ist. Da ein endlicher Alternativkörper schon ein Körper ist (s. u.), gilt: Alle endlichen Moufang-Ebenen sind pappussche Ebenen. (Man beachte: In einer desargueschen projektiven Ebene gilt der große Satz von Desargues. Eine solche Ebene ist über einem Schiefkörper koordinatisierbar und jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper, aber nicht umgekehrt.)

Beziehung zwischen Typen projektiver Ebenen: moufangsch: der kleine Satz von Desargues wird vorausgesetzt,
desarguessch: der große Satz von Desargues,
pappussch: der Satz von Pappus
Der kleine affine Satz von Desargues besagt: Sind und Dreiecke, bei denen die „Zuordnungsgeraden“ parallel sind: dann folgt aus der Parallelität von zwei Paaren von Dreiecksseiten (z. B. und ), dass auch das dritte Seitenpaar parallel ist (im Beispiel ).

Moufang-Ebenen bilden die Klasse VII in der Klassifikation der projektiven Ebenen nach Hanfried Lenz.

Ist ein Alternativkörper, dann kann zu einer projektiven Ebene gemacht werden, indem man wie bei einem projektiven Raum über einem Körper die von einem Element erzeugten eindimensionalen Unterräume als Punkte und die zweidimensionalen Unterräume als Geraden verwendet. Man spricht dann auch von der projektiven Ebene über und notiert sie als . Diese projektiven Koordinatenebenen sind stets Moufang-Ebenen. Genau dann, wenn die Multiplikation im Alternativkörper das Assoziativgesetz erfüllt, ist ein Schiefkörper und die Ebene eine desarguessche projektive Ebene. Man beachte aber, dass zu einem Alternativkörper , der kein Schiefkörper ist, keiner der formal darstellbaren Koordinatenräume für eine projektive Geometrie bildet, vergleiche dazu Axiom von Veblen-Young!

Jede Moufang-Ebene ist isomorph zu einer projektiven Koordinatenebene über einem Alternativkörper , der durch die Ebene bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.

Mit einem Satz von Artin und Zorn, der besagt, dass jeder endliche Alternativkörper ein Körper ist, folgt daraus, dass jede endliche Moufang-Ebene tatsächlich eine projektive Ebene über einem endlichen Körper ist.

Äquivalente Beschreibungen für den Begriff „Moufang-Ebene“: Eine projektive Ebene ist genau dann eine Moufang-Ebene, wenn

  • jede durch Schlitzen (affine Beschränkung bezügl. einer Gerade als Ferngerade) aus ihr entstehende affine Ebene eine affine Translationsebene ist,
  • alle Ternärkörper, die man der Ebene als Koordinatenbereich durch Wahl eines projektiven Koordinatensystems, also durch Wahl eines vollständigen Vierecks als Punktbasis zuordnen kann, isomorph sind,
  • einer der Koordinatenternärkörper ein Alternativkörper ist,
  • für jede Gerade der Ebene die Gruppe der Kollineationen, die die Gerade punktweise festlassen, transitiv auf der Menge der Punkte, die nicht auf der Geraden liegen, operiert,
  • die Gruppe der Kollineationen transitiv auf der Menge der vollständigen Vierecke (aufgefasst als geordnete Menge der vier Ecken) operiert.

Bei einer Moufang-Ebene sind die genannten affinen Translationsebenen alle zueinander isomorph (als Inzidenzstrukturen), ihre Koordinatenternärkörper sind stets Quasikörper und sogar Alternativkörper, die ebenfalls zueinander isomorph sind.

Die reellen Oktonionen sind ein Beispiel für einen Alternativkörper, der kein Schiefkörper ist, die projektive Ebene das wichtigste Beispiel für eine nichtdesarguesche Moufang-Ebene.

Literatur Bearbeiten

  • Marshall Hall: The theory of groups. 2. Auflage. Chelsea Pub. Co., Bronx, N.Y. 1976, ISBN 0-8284-0288-4.
  • Hanfried Lenz: Kleiner desarguesscher Satz und Dualität in projektiven Ebenen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung. Band 57. Teubner, 1955, S. 20–31 (Permalink zum digitalisierten Volltext [abgerufen am 25. Dezember 2011]).
  • Ruth Moufang: Die Einführung der idealen Elemente in die ebene Geometrie mit Hilfe des Satzes vom vollständigen Vierseit. In: Mathematische Annalen. Volume 105, Nr. 1. Hamburg 1931, S. 759–778, doi:10.1007/BF01455845.
  • Ruth Moufang: Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit. In: Abh. Math. Sem. Band 8. Hamburg 1933.
  • Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern. In: Mathematische Annalen. Volume 110, Number 1, 1935, S. 416–430., Digitalisat
  • Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1975, ISBN 3-540-07280-2.
  • Charles Weibel: Survey of Non-Desarguesian Planes. In: Notices of the American Mathematical Society. Volume 54, November 2007, S. 1294–1303 (Volltext [PDF; 719 kB; abgerufen am 25. Dezember 2011]).
  • Max August Zorn: Theorie der alternativen Ringe. In: Abh. Math. Sem. Volume 8, Number 1. Hamburg 1930, S. 123–147, doi:10.1007/BF02940993.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Moufang (1933)
  2. Alternative fields by Hauke Klein HTML (englisch)
  3. Lenz (1954) und Lenz types by Hauke Klein: HTML (englisch)
  4. Genauer gesagt ist hier ein Unterraum als ein Untermodul des -Linksmoduls zu verstehen.
  5. Weibel (2007) S. 1296.
  6. Hall (1959) 20.5.3
  7. Zorn (1930)
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Moufang Ebenen sind projektive Ebenen in denen der kleine projektive Satz von Desargues allgemeingultig ist Sie sind nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang benannt die diese Ebenen in den 1930er Jahren untersuchte 1 Sie konnte zeigen dass jede Moufang Ebene isomorph zu einer projektiven Ebene uber einem Alternativkorper 2 ist Da ein endlicher Alternativkorper schon ein Korper ist s u gilt Alle endlichen Moufang Ebenen sind pappussche Ebenen Man beachte In einer desargueschen projektiven Ebene gilt der grosse Satz von Desargues Eine solche Ebene ist uber einem Schiefkorper koordinatisierbar und jeder Schiefkorper ist ein Alternativkorper aber nicht umgekehrt Beziehung zwischen Typen projektiver Ebenen moufangsch der kleine Satz von Desargues wird vorausgesetzt desarguessch der grosse Satz von Desargues pappussch der Satz von PappusDer kleine affine Satz von Desargues besagt Sind A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 und B 1 B 2 B 3 displaystyle B 1 B 2 B 3 Dreiecke bei denen die Zuordnungsgeraden parallel sind A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 displaystyle A 1 B 1 parallel A 2 B 2 parallel A 3 B 3 dann folgt aus der Parallelitat von zwei Paaren von Dreiecksseiten z B A 1 A 2 B 1 B 2 displaystyle A 1 A 2 parallel B 1 B 2 und A 2 A 3 B 2 B 3 displaystyle A 2 A 3 parallel B 2 B 3 dass auch das dritte Seitenpaar parallel ist im Beispiel A 3 A 1 B 3 B 1 displaystyle A 3 A 1 parallel B 3 B 1 Moufang Ebenen bilden die Klasse VII in der Klassifikation der projektiven Ebenen nach Hanfried Lenz 3 Ist A displaystyle A ein Alternativkorper dann kann A 3 displaystyle A 3 zu einer projektiven Ebene gemacht werden indem man wie bei einem projektiven Raum uber einem Korper die von einem Element a 0 a 1 a 2 A 3 0 0 0 displaystyle a 0 a 1 a 2 in A 3 setminus lbrace 0 0 0 rbrace erzeugten eindimensionalen Unterraume 4 als Punkte und die zweidimensionalen Unterraume als Geraden verwendet Man spricht dann auch von der projektiven Ebene uber A displaystyle A und notiert sie als P 2 A displaystyle mathbb P 2 A 5 Diese projektiven Koordinatenebenen sind stets Moufang Ebenen Genau dann wenn die Multiplikation im Alternativkorper A displaystyle A das Assoziativgesetz erfullt ist A displaystyle A ein Schiefkorper und die Ebene P 2 A displaystyle mathbb P 2 A eine desarguessche projektive Ebene Man beachte aber dass zu einem Alternativkorper A displaystyle A der kein Schiefkorper ist keiner der formal darstellbaren Koordinatenraume P n A A n 1 displaystyle mathbb P n A A n 1 fur n gt 2 displaystyle n gt 2 eine projektive Geometrie bildet vergleiche dazu Axiom von Veblen Young Jede Moufang Ebene ist isomorph zu einer projektiven Koordinatenebene P 2 A displaystyle mathbb P 2 A uber einem Alternativkorper A displaystyle A der durch die Ebene bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist 6 Mit einem Satz von Artin und Zorn der besagt dass jeder endliche Alternativkorper ein Korper ist 7 folgt daraus dass jede endliche Moufang Ebene tatsachlich eine projektive Ebene P 2 F q displaystyle mathbb P 2 mathbb F q uber einem endlichen Korper ist Aquivalente Beschreibungen fur den Begriff Moufang Ebene Eine projektive Ebene ist genau dann eine Moufang Ebene wenn jede durch Schlitzen affine Beschrankung bezugl einer Gerade als Ferngerade aus ihr entstehende affine Ebene eine affine Translationsebene ist alle Ternarkorper die man der Ebene als Koordinatenbereich durch Wahl eines projektiven Koordinatensystems also durch Wahl eines vollstandigen Vierecks als Punktbasis zuordnen kann isomorph sind einer der Koordinatenternarkorper ein Alternativkorper ist fur jede Gerade der Ebene die Gruppe der Kollineationen die die Gerade punktweise festlassen transitiv auf der Menge der Punkte die nicht auf der Geraden liegen operiert die Gruppe der Kollineationen transitiv auf der Menge der vollstandigen Vierecke aufgefasst als geordnete Menge der vier Ecken operiert Bei einer Moufang Ebene sind die genannten affinen Translationsebenen alle zueinander isomorph als Inzidenzstrukturen ihre Koordinatenternarkorper sind stets Quasikorper und sogar Alternativkorper die ebenfalls zueinander isomorph sind Die reellen Oktonionen O displaystyle mathbb O sind ein Beispiel fur einen Alternativkorper der kein Schiefkorper ist die projektive Ebene P 2 O displaystyle mathbb P 2 mathbb O das wichtigste Beispiel fur eine nichtdesarguesche Moufang Ebene Literatur BearbeitenMarshall Hall The theory of groups 2 Auflage Chelsea Pub Co Bronx N Y 1976 ISBN 0 8284 0288 4 Hanfried Lenz Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen In Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Band 57 Teubner 1955 S 20 31 Permalink zum digitalisierten Volltext abgerufen am 25 Dezember 2011 Ruth Moufang Die Einfuhrung der idealen Elemente in die ebene Geometrie mit Hilfe des Satzes vom vollstandigen Vierseit In Mathematische Annalen Volume 105 Nr 1 Hamburg 1931 S 759 778 doi 10 1007 BF01455845 Ruth Moufang Alternativkorper und der Satz vom vollstandigen Vierseit In Abh Math Sem Band 8 Hamburg 1933 Ruth Moufang Zur Struktur von Alternativkorpern In Mathematische Annalen Volume 110 Number 1 1935 S 416 430 Digitalisat Gunter Pickert Projektive Ebenen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 1975 ISBN 3 540 07280 2 Charles Weibel Survey of Non Desarguesian Planes In Notices of the American Mathematical Society Volume 54 November 2007 S 1294 1303 Volltext PDF 719 kB abgerufen am 25 Dezember 2011 Max August Zorn Theorie der alternativen Ringe In Abh Math Sem Volume 8 Number 1 Hamburg 1930 S 123 147 doi 10 1007 BF02940993 Einzelnachweise Bearbeiten Moufang 1933 Alternative fields by Hauke Klein HTML englisch Lenz 1954 und Lenz types by Hauke Klein HTML englisch Genauer gesagt ist hier ein Unterraum als ein Untermodul des A displaystyle A nbsp Linksmoduls A 3 displaystyle A 3 nbsp zu verstehen Weibel 2007 S 1296 Hall 1959 20 5 3 Zorn 1930 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Moufang Ebene amp oldid 215102486