Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Festkörperphysik das Zeit-Verhalten der magnetischen Momente (bzw. der Magnetisierungsdichte) eines ferromagnetischen Materials in Abhängigkeit vom sogenannten effektiven magnetischen Feld. Das effektive magnetische Feld setzt sich unter anderem aus externen Magnetfeldern und internen Wechselwirkungen wie magnetischer Anisotropie, Austauschwechselwirkung und dipolarer magnetischer Wechselwirkung zusammen. Thermische Eigenschaften können durch einen stochastischen Anteil beschrieben werden. In diesem Fall wird die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung als Langevin-Gleichung interpretiert. Die Wechselwirkung mit freien elektrischen Strömen oder elektromagnetischen Wellen wird durch Kopplung mit den Maxwell-Gleichungen beschrieben. Die Anwendungen sind sehr weitreichend, Beispiele sind die Berechnung von Hysteresekurven, die Simulation mikromagnetischer Strukturen z. B. zur Erforschung magnetischer Speichermedien, in der Materialforschung z. B. in Verbindung mit Neutronen-Streuung und Hyperthermie in Verbindung mit magnetischen Nanopartikeln. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz und Thomas L. Gilbert. Unter Berücksichtigung der Wechselwirkungen in realen Materialien sind keine expliziten Lösungen der Landau-Lisfhitz-Gilbert-Gleichung bekannt. Open-Source-Software zur Simulation der Landau-Lifshitz-Gleichung sind z. B. mumax3, VAMPIRE, OOMMF und MicroMagus.

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Klassischer Zugang zur Spindynamik (Dynamik des magnetischen Moments)

Larmor-Gleichung

Der klassische Ansatz zur Dynamik des magnetischen Moments basiert auf der Verknüpfung von Resultaten aus der klassischen Mechanik und der klassischen Elektrodynamik. Zum einen wird aus der klassischen Mechanik der Drallsatz herangezogen, der die Zeitableitung des Drehimpulses mit einem eingeprägten Drehmoment (hier für torque, da im Magnetismus für die Magnetisierung verwendet wird) verknüpft:

Ein Ergebnis der klassischen Elektrodynamik ist, dass das Drehmoment, das herrührend von einem externen Magnetfeld an einem magnetischen Moment wirkt, durch die nachstehende Formel beschrieben ist (hier hat das magnetische Moment die Einheit und das Magnetfeld (magnetische Flussdichte) die Einheit (Tesla)):

Durch Verknüpfung der Gleichungen (1) und (2) erhält man eine Beschreibung der zeitlichen Drehimpulsänderung eines „Objektes“ mit magnetischem Moment , befindlich in einem externen Magnetfeld :

In den folgenden Schritten wird nun der Drehimpuls mit dem magnetischen Moment verknüpft, sodass Gleichung (3) in eine geschlossene Differentialgleichung zur Beschreibung der Dynamik des magnetischen Moments überführt werden kann. Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass der Drehimpuls eines Systems durch den Hebelarm und den Impuls (bzw. Geschwindigkeit , gemäß , wobei hier mit die Elektronenmasse herangezogen wird, die effektive Massendichte ist und die Anzahl an Elektronen) beschrieben wird:

Das magnetische Moment einer lokalisierten elektrischen Stromdichte , mit Geschwindigkeitsfeld und elektrischer Ladungsdichte (wobei wir als effektive Elektronenladungsdichte heranziehen, mit der Anzahl an Elektronen) ist gegeben durch:

Man beachte an dieser Stelle, dass es sich eigentlich um eine quasi-klassische Betrachtung handelt, da das Bohr-van-Leeuwen-Theorem hier nicht berücksichtigt wird! Nach diesem ist der Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.

Mit den Gleichungen (4) und (5) findet sich eine Relation zwischen magnetischem Moment und Drehimpuls (magnetisches Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons):

Nun lässt sich der Drehimpuls in Gleichung (3) durch Gleichung (6) substituieren, woraus die Larmor-Gleichung folgt, welche die Präzession (Larmor-Präzession) des magnetischen Moments in Anwesenheit eines externen Magnetfeldes beschreibt:

Die Konstante wird dabei als klassisches gyromagnetisches Verhältnis definiert (je nach Konvention wird das gyromagnetische Verhältnis positiv oder negativ definiert, was zur Folge hat, dass sich auch das Vorzeichen in der Larmor-Gleichung (7) ändert):

Eine wichtige Eigenschaft der Larmor-Gleichung ist, dass die Vektornorm erhalten bleibt ( und sind orthogonal zueinander):

Aufgrund der Erhaltung der Amplitude des magnetischen Moments wird typischerweise in Computer-Simulationen die Bewegungsgleichung so skaliert, dass das magnetische Moment nur einem Einheitsvektor entspricht und die physikalischen Kofaktoren in enthalten sind.

Landau-Lifshitz-Gleichung (LL)

Da die Larmor-Gleichung (7) bei konstantem Magnetfeld nur zu einer Präzessions-Bewegung des magnetischen Moments führt – aus Experimenten zu ferromagnetischen Materialien aber bekannt ist, dass die Magnetisierung ein Sättigungsverhalten aufweist (bei „starken“ eingeprägten Magnetfeldern gilt im stätionären Grenzwert) –, wurde von Landau und Lifshitz 1935 ein phänomenologischer Dämpfungsterm, der zu Gleichung (7) hinzuaddiert wird, eingeführt. Dabei wurde der Dämpfungsterm so formuliert, dass die Erhaltung der Amplitude des magnetischen Moments gültig bleibt. Die Landau-Lifshitz-Gleichung ist wie folgt angebbar:

In dieser Form der Landau-Lifshitz-Gleichung wird davon ausgegangen, dass einem Einheitsvektor ohne physikalische Einheit entspricht. D. h., der physikalische Bezug zu einem Einheitssystem ist durch die Konstanten gegeben. Weiters ist in Gleichung (10) zu beachten, dass es sich um die Formulierung für ein einziges magnetisches Moment handelt. In der mikromagnetischen Formulierung wird hingegen die Dynamik des Magnetisierungs-Vektorfeldes mit der Sättigungsmagnetisierung als Amplitude beschrieben. Es wird z. B. folgende Formulierung verwendet:

Auch hier werden je nach Autor und Anwendungsgebiet unterschiedliche Vorzeichenkonventionen des Präzessions-Terms verwendet. Weiters wird im Mikromagnetismus die effektive magnetische Feldstärke anstelle der magnetischen Flussdichte verwendet, die wiederum unter anderem eine Funktion der Magnetisierung ist. D. h., die magnetischen Eigenschaften eines Materials sind in der Relation zwischen und kodiert.

Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (LLG)

Die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung ist eine zu Gleichung (10) äquivalente Gleichung und lässt sich durch Umformung aus der Landau-Lifshitz-Gleichung (10) herleiten (Herleitung von (11) ausgehend ist ebenfalls analog möglich). Umgekehrt ist auch die Landau-Lifshitz-Gleichung aus der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung herleitbar. In der folgenden Herleitung wird der Einfachheit halber die Notation verwendet. Im ersten Schritt wird das Kreuzprodukt betrachtet, wobei aus Gleichung (10) folgt:

In Gleichung (12) ist der Term mit Kofaktor wiederum mit Hilfe der Landau-Lifshitz-Gleichung (10) darstellbar. Zunächst wird Gleichung (10) wie folgt umgestellt:

Weiters vereinfacht sich das Dreifach-Kreuzprodukt in Gleichung (12) unter der Annahme, dass ein Einheitsvektor ist, wie folgt:

Durch Verwendung der Gleichungen (13) und (14) in Gleichung (12) ergibt sich:

Durch Umstellung von Gleichung (15) nach findet man:

Mit den Definitionen

schreibt sich einfacher:

Diese Gleichung wir als Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung bezeichnet.

Zu den Definitionen (17) git es eine eindeutige Umkehrung:

Landau-Lifschitz-Gleichung

Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie lautet

und beschreibt sowohl die Präzession der magnetischen Momente als auch die auftretende Dissipation. Dabei bezeichnet

• die Magnetisierung,
• das effektive Magnetfeld,
• einen phänomenologischen (kleinen) Dämpfungsparameter und
• das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons mit dem Landé-Faktor , der Elementarladung und der Elektronenmasse .

Der erste Term beschreibt die Präzession, der zweite die Dissipation. Dabei bleibt der Betrag von erhalten, denn es gilt:

Diesen konstanten Betrag nennt man die Sättigungsmagnetisierung .

In der stationären Lösung des Systems, zu der das System strebt, wenn es sich selbst überlassen wird, stehen Magnetisierung und effektives magnetisches Feld parallel zueinander.

Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

1955 führte Gilbert eine Herleitung der Landau-Lifschitz-Gleichung auf der Basis des Lagrange-Formalismus durch. Er konnte zeigen, dass eine rigorose quantenstatistische Rechnung dasselbe Ergebnis liefert wie die Hinzufügung einer klassischen Rayleighschen Dissipationsfunktion zur Lagrangefunktion. Mit dieser gelangt man zu der Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung:

Wird diese Gleichung iteriert in sich eingesetzt, ergibt sich eine Form, die der der Landau-Lifschitz-Gleichung entspricht:

Der einzige Unterschied ist, dass das gyromagnetische Verhältnis durch ein effektives gyromagnetisches Verhältnis ersetzt wird, das vom Dämpfungsparameter abhängig ist. Wie in der Mechanik beim gedämpften Oszillator wirkt sich die Dämpfung somit auf die Präzessionsfrequenz aus. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifschitz-Gleichung über.

Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung unter Berücksichtigung von Trägheitseffekten

Eine Erweiterung der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung zur Berücksichtigung von Trägheitseffekten, die z. B. zu Nutationsbewegungen führen, beinhaltet einen Zusatzterm mit einer Zeitableitung zweiter Ordnung:

In der Literatur wird oft auch eine negierte Variante dieser Gleichung verwendet, was eine gegenläufige Dynamik beschreibt. Um es in diesem Artikel konsistent zu halten, wird die Notation der Gleichungen aus den vorigen Abschnitten beibehalten. Der Parameter wird in Analogie zur klassischen Mechanik als magnetisches Trägheitsmoment bezeichnet (magnetic moment of inertia).

Das „effektive Feld“

Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Das effektive Feld wird in der Regel zunächst durch ein Energie-Funktional (einen Hamiltonian) repräsentiert und ergibt sich folglich aus der ersten Variation nach der Magnetisierung . Dabei stellen die Energie der Austauschwechselwirkung, die Energie der Dzyaloshinkii-Moriya-Wechselwirkung, die Energie der magnetokristallinen Wechselwirkung, die Energie der magnetoelastischen Wechselwirkung, die Energie der Wechselwirkung mit externen Feldern (Zeeman-Wechselwirkung) und die Energie der Dipol-Dipol-Wechselwirkung dar.

In der nachfolgenden Tabelle sind die Energien für den mesoskopischen Fall angegeben. Auf kleineren Längenskalen sind andere Ausdrücke zu verwenden, welche die Energien auf atomarer Ebene (diskret, nicht-kontinuierlich) beschreiben. Die Energien der magnetokristallinen und magnetoelastischen Anisotropie hängen von der Gitterstruktur des Materials ab. Daher sind hier keine expliziten Ausdrücke der Energiedichten angegeben.

Wechselwirkungen der mikromagnetischen Feldtheorie

	Hamiltonian (Energie)
Magnetische Austauschwechselwirkung
Magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung (Demagnetisierungs-Feld)
Magnetokristalline Anisotropie
Magnetoelastische Anisotropie
Zeeman-Wechselwirkung
Dzyaloshinskii-Moriya-Wechselwirkung

Spinwellen u. Ä.

Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper

Mit den Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichungen können u. a. auch dynamische Zustände (z. B. Spinwellen, wie im nebenstehenden Bild) realistisch behandelt werden, wobei alle relevanten Geometrien (beispielsweise auch Dünnschicht-Geometrien) und Wechselwirkungen (u. a. auch die sehr langreichweitige magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung) voll berücksichtigt werden können, wenn man bei den Computersimulationen hohen Speicherbedarf und entsprechende Rechenzeiten in Kauf nimmt.

Die Dispersionsrelationen in diesen Systemen – das sind die Beziehungen zwischen Frequenz und Wellenlänge der Anregungszustände – sind wegen der hohen Zahl der charakteristischen Längen des Systems und der beteiligten Winkel sehr komplex.

Lösungen zum Einkörperproblem der Landau-Lifshitz-Gleichung

In diesem Abschnitt ist die Lösung der Landau-Lifshitz-Gleichung für ein magnetisches Moment (Einpartikel-System) unter dem Einfluss eines homogenen effektiven Feldes präsentiert. Die besagte Problemstellung ist nachfolgend dargestellt, wobei die Konstante als Platzhalter dient. Durch Anpassung der Kofaktoren ergibt sich die Lösung der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung auch im Falle eines homogenen effektiven Feldes.

Die Lösung dieser Differentialgleichung findet man am einfachsten durch die Zerlegung von in einen orthogonalen und parallelen Anteil bezüglich . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lässt sich ansetzen, wobei die nachfolgende Parametrisierung, wie sich zeigt, zur Problemstellung passt. Alle weiteren Lösungen zu beliebig anderen Richtungen von finden sich mit Hilfe der Anwendung von Rotationsmatrizen.

So reduziert sich die Landau-Lifshitz-Gleichung durch Transformation auf zwei lineare Differentialgleichungen der Form:

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen findet sich durch direkte Integration:

Im Falle eines zeitkonstanten effektiven Feldes und führt das magnetische Moment eine reine Präzessionsbewegung aus. Die Lösung ist dabei gegeben durch die folgende Gleichung, wobei die Frequenz der Präzession auch als Larmor-Frequenz bezeichnet wird:

Im Falle eines zeitkonstanten effektiven Feldes und findet sich hingegen die Lösung:

In dieser Abbildung ist das Zeitverhalten der Dämpfung der Landau-Lifshitz-Gleichung im Falle eines zeitkonstanten, homogenen effektiven Feldes dargestellt. Die Achsen des Graphen sind logarithmisch skaliert. Die Zeitkonstante t_eq gibt an, zu welchem Zeitpunkt der Gleichgewichtszustand zu 99,9 % erreicht ist.

In der nebenstehenden Abbildung ist diese Lösung bildlich dargestellt. Die Spitze des magnetischen Moments führt eine spiralförmige Bewegung auf einer Kugeloberfläche mit Radius aus und zeigt im stationären Endwert parallel zum effektiven Feld.

Zur Abschätzung des Zeitverhaltens der Dämpfung bietet es sich an, den Parameter in Abhängigkeit vom Winkel zwischen dem Anfangswert der Magnetisierung und dem effektiven Feld zu beschreiben. Hierzu ist die geometrische Eigenschaft des Skalarproduktes hilfreich:

Im stationären Gleichgewicht für streben die Werte der Funktion gegen . Deshalb lässt sich folgende Gleichung zu Abschätzung ansetzen:

Literatur

• Soshin Chikazumi: Physics of Ferromagnetism. Clarendon Press, Oxford 1997, Kapitel 20.4 (Spin Dynamics), S. 562.
• M, Lakshmanan: The fascinating world of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation: an overview. Phil. Trans. R. Soc. A, Band 369, 2010, S. 1280–1300, Arxiv.
• E. M. Lifschitz, L. P. Pitajewski: Landau, Lifschitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik. Band IX: Statistische Physik, Teil 2, Kapitel VII (Der Magnetismus), Paragraph 69 (Die Bewegungsgleichung des Magnetischen Moments in einem Ferromagneten), Akademie Verlag, Berlin 1989, S. 287 ff. (Gleichung (69,9) ist die Landau-Lifschitz-Gleichung).
• Andreas Prohl: Computational Micromagnetism. Teubner, 2001, S. 121 ff.

Weblinks

• Darstellung in der Dissertation von Massimiliano d’Aquino, 2005

Einzelnachweise und Fußnoten

1. L. D. Landau und J. M. Lifschitz: Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies. In: Phys. Z. Sowjetunion. Band 8, 1935, S. 153. 
2. T. L. Gilbert, A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field, Phys. Rev., Band 100, 1955, S. 1243.
3. T. L. Gilbert: A Phenomenological Theory of Damping in Ferromagnetic Materials. In: IEEE Transactions on Magnetics. Band 40, Nr. 6, November 2004, ISSN 0018-9464, S. 3443–49, doi:10.1109/tmag.2004.836740. 
4. mumax3
5. VAMPIRE
6. OOMMF Project at NIST. Abgerufen am 5. Oktober 2022. 
7. MicroMagus. Software package for micromagnetic simulations. Abgerufen am 5. Oktober 2022 (englisch). 
8. J. D. Jackson: Classical Electrodynamics. Wiley, New York 1998, ISBN 978-0-471-30932-1. 
9. Ivan Cimrák: A Survey on the numerics and computations for the Landau-Lifshitz equation of micromagnetism. In: Archives of Computational Methods in Engineering. Band 15, Nr. 3, 1. September 2007, ISSN 1886-1784, S. 1–37, doi:10.1007/BF03024947. 
10. Amikam Aharoni, Anthony Arrott: Introduction to the Theory of Ferromagnetism. In: Physics Today. Band 50, Nr. 9, 1. September 1997, ISSN 0031-9228, S. 66–68, doi:10.1063/1.881916 (scitation.org [abgerufen am 4. Januar 2023]). 
11. U. Atxitia, D. Hinzke, U. Nowak: Fundamentals and applications of the Landau–Lifshitz–Bloch equation. In: Journal of Physics D: Applied Physics. Band 50, Nr. 3, 25. Januar 2017, ISSN 0022-3727, S. 033003, doi:10.1088/1361-6463/50/3/033003 (iop.org). 
12. D. Böttcher, J. Henk: Significance of nutation in magnetization dynamics of nanostructures. In: Physical Review B. Band 86, Nr. 2, 18. Juli 2012, ISSN 1098-0121, doi:10.1103/physrevb.86.020404. 
13. E. Olive, Y. Lansac, M. Meyer, M. Hayoun, J.-E. Wegrowe: Deviation from the Landau-Lifshitz-Gilbert equation in the inertial regime of the magnetization. In: Journal of Applied Physics. Band 117, Nr. 21, 7. Juni 2015, ISSN 0021-8979, S. 213904, doi:10.1063/1.4921908. 
14. Andreas Michels: Magnetic Small-Angle Neutron Scattering. Oxford University Press, 2021, doi:10.1093/oso/9780198855170.001.0001. 
15. Coey, John M. D.: Magnetism and magnetic materials. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-511-84500-0. 
16. Daniel C Mattis: The Theory of Magnetism Made Simple. WORLD SCIENTIFIC, 2006, ISBN 978-981-238-579-6. 
17. S. J. Blundell: Micromagnetism and the Microstructure of Ferromagnetic Solids, by Helmut Kronmüller and Manfred Fähnle. In: Contemporary Physics. Band 52, Nr. 2, März 2011, ISSN 0010-7514, S. 157–157, doi:10.1080/00107514.2010.534181. 
18. J. Miltat, G. Albuquerque, A. Thiaville: An Introduction to Micromagnetics in the Dynamic Regime. In: B. Hillebrands, K. Ounadjela (Hrsg.): Topics in Applied Physics Bd. 83: Spin Dynamics in Confined Magnetic Structures I. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-41191-7, S. 1–34, doi:10.1007/3-540-40907-6_1 (springer.com [PDF; abgerufen am 26. Januar 2018]). 
19. R. F. L. Evans, W. J. Fan, P. Chureemart, T. A. Ostler, M. O. A. Ellis, R. W. Chantrell: Atomistic spin model simulations of magnetic nanomaterials. In: Journal of Physics: Condensed Matter. Band 26, Nr. 10, 19. Februar 2014, doi:10.1088/0953-8984/26/10/103202. 
20. Im Band des Landau-Lifschitz zur Elektrodynamik der Kontinua (Band VIII, 5. Auflage, Akademie Verlag 1990) wird die Landau-Lifschitz-Gleichung nur in einer Übungsaufgabe in Kapitel IX (Elektromagnetische Wellengleichungen), Paragraph 79 (Dispersion der magnetischen Permeabilität), S. 339, behandelt.