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Rayleighsche Dissipationsfunktion Die ist ein von Lord Rayleigh 1876 1 2 eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsab

Rayleighsche Dissipationsfunktion

Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876 eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in der klassischen Mechanik. Er lässt sich auch im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik formulieren.

Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems über die Lagrangefunktion (mit der kinetischen Energie und der potentiellen Energie), wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten (und für die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit) aufgefasst wird (wobei der Index die Komponenten bezeichnet). Dann kann man geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte über eine nicht-konservative generalisierte Kraft auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berücksichtigen (siehe auch den Artikel Lagrange-Formalismus):

Rayleigh machte nun für die Reibungskraft in euklidischen Koordinaten (mit zugehöriger euklidischer Geschwindigkeit ) folgenden Ansatz:

mit der Dissipationsmatrix . Die zugehörige Dissipationsfunktion

ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrix

Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach:

Beim Übergang zu generalisierten Koordinaten ergibt sich

Wegen gilt:

und damit

Daneben kann es auch andere, nicht durch einen Rayleigh-Ansatz beschreibbare nicht-konservative generalisierte Kräfte zur Beschreibung von Reibung geben.

Literatur Bearbeiten

  • E. Minguzzi, Rayleigh's dissipation function at work, Eur. J. Phys., Band 36, 2015, S. 035014, arxiv

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Rayleigh, Some general theorems related to vibration, Proc. London Math. Soc. s1-4, 1877, S. 357–368
  2. Lord Rayleigh, The theory of Sound, Macmillan 1877, Band 1, Kapitel 4, Paragraph 81
  3. So in Goldstein, Klassische Mechanik, 8. Auflage, Aula-Verlag 1985, S. 24
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Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876 1 2 eingefuhrter Ansatz fur eine geschwindigkeitsabhangige Reibungskraft in der klassischen Mechanik Er lasst sich auch im Lagrange Formalismus der klassischen Mechanik formulieren Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems uber die Lagrangefunktion L T V displaystyle L T V mit T displaystyle T der kinetischen Energie und V displaystyle V der potentiellen Energie wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten q i displaystyle q i und q i displaystyle dot q i fur die zugehorige generalisierte Geschwindigkeit aufgefasst wird wobei der Index i displaystyle i die Komponenten bezeichnet Dann kann man geschwindigkeitsabhangige Reibungskrafte uber eine nicht konservative generalisierte Kraft Q i displaystyle Q i auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berucksichtigen siehe auch den Artikel Lagrange Formalismus d d t L q i L q i d d t T q i T q i V q i Q i displaystyle frac d dt frac partial L partial dot q i frac partial L partial q i frac d dt frac partial T partial dot q i frac partial T partial q i frac partial V partial q i Q i Rayleigh machte nun fur die Reibungskraft F i displaystyle F i in euklidischen Koordinaten r i displaystyle r i mit zugehoriger euklidischer Geschwindigkeit v i displaystyle v i folgenden Ansatz F i j K i j v j displaystyle F i sum j K ij v j mit der Dissipationsmatrix K i j displaystyle K ij Die zugehorige Dissipationsfunktion K 1 2 i j K i j v i v j displaystyle K frac 1 2 sum i j K ij v i v j ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrix 3 K 1 2 i k i v i 2 displaystyle K frac 1 2 sum i k i v i 2 Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach F i v i K displaystyle F i frac partial partial v i K Beim Ubergang zu generalisierten Koordinaten q i displaystyle q i ergibt sich Q i j F j r j q i displaystyle Q i sum j F j frac partial r j partial q i Wegen v i t q q k r i q k q k r i t displaystyle v i t q dot q sum k frac partial r i partial q k dot q k frac partial r i partial t gilt v i q k r i q k displaystyle frac partial v i partial dot q k frac partial r i partial q k und damit Q i j K v j v j q i K q i displaystyle Q i sum j frac partial K partial v j frac partial v j partial dot q i frac partial K partial dot q i Daneben kann es auch andere nicht durch einen Rayleigh Ansatz beschreibbare nicht konservative generalisierte Krafte zur Beschreibung von Reibung geben Literatur BearbeitenE Minguzzi Rayleigh s dissipation function at work Eur J Phys Band 36 2015 S 035014 arxivEinzelnachweise Bearbeiten Rayleigh Some general theorems related to vibration Proc London Math Soc s1 4 1877 S 357 368 Lord Rayleigh The theory of Sound Macmillan 1877 Band 1 Kapitel 4 Paragraph 81 So in Goldstein Klassische Mechanik 8 Auflage Aula Verlag 1985 S 24 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rayleighsche Dissipationsfunktion amp oldid 228293600