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Bohr van Leeuwen Theorem Das ist ein Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik Es besagt das

Bohr-van-Leeuwen-Theorem

Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik. Es besagt, dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt. Das Theorem wurde 1911 von Niels Bohr und 1921 unabhängig von Hendrika Johanna van Leeuwen entdeckt.

Heuristische klassische Betrachtung Bearbeiten

Die Magnetisierung (Anzahl magnetischer Momente pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.

Mathematischer Beweis Bearbeiten

Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung bzw. in Magnetfeldern mit Vektorpotential ist die Hamiltonfunktion definiert über   . Dabei stellt das erste Argument den sog. kanonischen Impuls dar, während den kinetischen Impuls bildet.   ist die kinetische Energie, während die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu nicht eindeutig, sondern man kann zu ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich ändert.

Trotzdem ist die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der statistischen Physik klassisch über den kanonischen Impuls definiert:

wobei dies in drei Dimensionen behandelt wird.

Nun geht man zum kinetischen Impuls über, indem man substituiert: . Da alle Impulse über den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu Da diese nun nicht mehr vom Vektorpotential und somit auch nicht vom externen Magnetfeld abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung,

Abweichung in der Quantenmechanik Bearbeiten

In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem nicht mehr, weil der Spin des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom Vektorpotential, in der Quantenmechanik nicht mehr.

Stattdessen hängt der Hamiltonoperator explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. Ferromagnetismus von bestimmten Festkörpern und Paramagnetismus in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. Studier over Metallernes Elektrontheori, Københavns Universitet (1911), in: L. Rosenfeld, J. Rud Nielsen (Hrsg.) Niels Bohr Collected Works Bd. 1, Elsevier 1972, S. 163–393, doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X, isbn = 978-0-7204-1801-9
  2. H.-J. van Leeuwen: Problèmes de la théorie électronique du magnétisme. (PDF) In: Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12. Dezember 1921, S. 361–377, abgerufen am 4. Dezember 2013 (französisch).
  3. Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. cgs-System benutzt. Im alternativen Internationalen Einheitensystem ersetzt man c durch 1.

Siehe auch Bearbeiten

  • Magnetismus, insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklärung des Phänomens.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Bohr van Leeuwen Theorem ist ein Theorem aus dem Bereich der Festkorperphysik und statistischen Physik Es besagt dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null ware da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht andert Demnach ist Magnetismus bei Festkorpern ein rein quantenmechanischer Effekt Das Theorem wurde 1911 von Niels Bohr 1 und 1921 unabhangig von Hendrika Johanna van Leeuwen 2 entdeckt Inhaltsverzeichnis 1 Heuristische klassische Betrachtung 2 Mathematischer Beweis 3 Abweichung in der Quantenmechanik 4 Einzelnachweise und Fussnoten 5 Siehe auchHeuristische klassische Betrachtung BearbeitenDie Magnetisierung Anzahl magnetischer Momente pro Einheitsvolumen ist proportional zur Anderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld Da die Kraft auf eine bewegte Ladung Lorentzkraft exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt erfahrt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsanderung der Betrag bleibt jedoch konstant d h die Anderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung Mathematischer Beweis BearbeitenFur ein bzw mehrere Teilchen mit Ladung q displaystyle q nbsp bzw q i displaystyle q i nbsp in Magnetfeldern B i displaystyle mathbf B i nbsp mit Vektorpotential A i displaystyle mathbf A i nbsp ist die Hamiltonfunktion definiert uber H p i q i c A i r i t r i displaystyle H mathbf p i frac q i c mathbf A i mathbf r i t mathbf r i nbsp 3 Dabei stellt das erste Argument den sog kanonischen Impuls p i m v i q i c A i displaystyle mathbf p i m mathbf v i frac q i c mathbf A i nbsp dar wahrend m v i displaystyle m mathbf v i nbsp den kinetischen Impuls bildet m 2 v i 2 displaystyle frac m 2 cdot mathbf v i 2 nbsp ist die kinetische Energie wahrend B i r o t A i displaystyle mathbf B i rm rot mathbf A i nbsp die magnetische Induktion darstellt Das Vektorpotential A i displaystyle mathbf A i nbsp des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu m v i displaystyle m cdot mathbf v i nbsp nicht eindeutig sondern man kann zu A i displaystyle mathbf A i nbsp ein beliebiges Gradientenfeld hinzufugen ohne dass sich B i displaystyle mathbf B i nbsp andert Trotzdem ist die Zustandssumme eines Systems aus N solcher ununterscheidbarer Teilchen in der statistischen Physik klassisch uber den kanonischen Impuls definiert Z 1 h 3 N N R 3 N d 3 N p V N d 3 N r displaystyle Z frac 1 h 3N N int mathbb R 3N mathrm d 3N p int V N mathrm d 3N r nbsp e b H p i q i c A r i r i displaystyle mathrm e beta H mathbf p i frac q i c mathbf A mathbf r i mathbf r i nbsp wobei dies in drei Dimensionen behandelt wird Nun geht man zum kinetischen Impuls uber indem man substituiert p i p i q i c A r i displaystyle mathbf p i equiv mathbf p i frac q i c mathbf A mathbf r i nbsp Da alle Impulse p i displaystyle mathbf p i nbsp uber den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden andern sich die Integralgrenzen nicht Die Zustandssumme wird dann zu Z 1 h 3 N N R 3 N d 3 N p V N d 3 N r e b H p i r i displaystyle Z frac 1 h 3N N int mathbb R 3N mathrm d 3N p int V N mathrm d 3N r mathrm e beta H mathbf p i mathbf r i nbsp Da diese nun nicht mehr vom Vektorpotential A displaystyle mathbf A nbsp und somit auch nicht vom externen Magnetfeld B displaystyle mathbf B nbsp abhangig ist verschwindet die Magnetisierung M F B 0 displaystyle mathbf M frac partial F partial mathbf B equiv 0 nbsp wobei F k B T ln Z displaystyle F k B T ln Z nbsp die freie Energie ist Abweichung in der Quantenmechanik BearbeitenIn der Quantenmechanik gilt das Bohr van Leeuwen Theorem nicht mehr weil der Spin des Teilchens zu berucksichtigen ist Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang E k i n m 2 v i 2 p i 2 2 m displaystyle E kin frac m 2 v i 2 frac mathrm p i 2 2m nbsp also die Unabhangigkeit der kinetischen Energie vom Vektorpotential in der Quantenmechanik nicht mehr Stattdessen hangt der Hamiltonoperator explizit von den inneren und ausseren Magnetfeldern ab wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phanomen in nichtquadratischer Ordnung bezuglich der Magnetfeldstarke also z B Ferromagnetismus von bestimmten Festkorpern und Paramagnetismus in bestimmten Molekulen zustande kommen konnen Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten Studier over Metallernes Elektrontheori Kobenhavns Universitet 1911 in L Rosenfeld J Rud Nielsen Hrsg Niels Bohr Collected Works Bd 1 Elsevier 1972 S 163 393 doi 10 1016 S1876 0503 08 70015 X isbn 978 0 7204 1801 9 H J van Leeuwen Problemes de la theorie electronique du magnetisme PDF In Le journal de physique et le radium serie VI tome II No 12 Dezember 1921 S 361 377 abgerufen am 4 Dezember 2013 franzosisch Hier wird ohne Beschrankung der Allgemeinheit das sog cgs System benutzt Im alternativen Internationalen Einheitensystem ersetzt man c durch 1 Siehe auch BearbeitenMagnetismus insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklarung des Phanomens Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bohr van Leeuwen Theorem 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