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Idealklassengruppe Die ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie Sie ist ein Maß

Idealklassengruppe

Die Idealklassengruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie. Sie ist ein Maß dafür, wie weit der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper davon entfernt ist, eindeutige Primfaktorzerlegung zu besitzen. Ihre Ordnung wird Klassenzahl genannt.

Definition (für Dedekindringe) Bearbeiten

Es sei ein Dedekindring mit Quotientenkörper , beispielsweise der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper. Dann ist die Idealklassengruppe definiert als die Faktorgruppe

für . ist die freie abelsche Gruppe auf den Primidealen von .
  • Und ist die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale, d. h. der Untermoduln der Form
für .

Im Fall von Zahlkörpern schreibt man meist für .

Die Äquivalenzklassen der Faktorgruppe können auch explizit so beschrieben werden: Zwei gebrochene Ideale und sind äquivalent, wenn es ein Element gibt, sodass gilt.

Eigenschaften Bearbeiten

Beispiele und Klassenzahlproblem Bearbeiten

Es sei ein quadratischer Zahlkörper, d. h., für eine quadratfreie Zahl ( heißt Diskriminante).

Die einzigen negativen quadratfreien Zahlen (imaginär-quadratische Zahlkörper), für die die Idealklassengruppe von trivial (das heißt gleich 1) ist, sind

Das wurde von Carl Friedrich Gauss vermutet und 1952 von Kurt Heegner bewiesen; Heegners Beweis fand allerdings erst nach einer 1967 von Harold Stark veröffentlichten Arbeit Anerkennung. Mit einer ganz anderen Methode wurde das von Alan Baker etwa gleichzeitig mit Stark bewiesen.

Gauß vermutete auch, dass für die Klassenzahl imaginär quadratischer Zahlkörper gilt für . Das wurde von Hans Heilbronn bewiesen. Gauß stellte auch Vermutungen über die Anzahl der imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 2 und 3 an, die inzwischen ebenfalls bewiesen wurden (ebenso wie die Auflistung der imaginär-quadratischen Zahlkörper bis Klassenzahl 100 durch M. Watkins). Der Fall der Klassenzahl 2 (es gibt genau 18 solche imaginär-quadratische Zahlkörper) wurde 1971 von Stark und unabhängig Baker bewiesen.

Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele positive quadratfreie Zahlen gibt (der Fall reell-quadratischer Zahlkörper mit Klassenzahl 1), für die die Idealklassengruppe von trivial ist, es gibt aber viele berechnete Beispiele hierfür. Dass es unendlich viele gibt, wurde von Gauß vermutet.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Für einen algebraischen Zahlkörper gibt es eine Erweiterung , den (kleinen) hilbertschen Klassenkörper. Die Galoisgruppe ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe, und jedes Ideal von wird in zu einem Hauptideal.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer 1992, 2007, S. 23/24
  2. Eric W. Weisstein: Gauss’s Class Number Problem. In: MathWorld (englisch).
  3. M. Watkins, Class Numbers of Imaginary Quadratic Fields, Math. Comput., Band 73, 2004, S. 907–938
  4. Dorian Goldfeld, Gauss’ class number problem for imaginary quadratic fields, Bull. AMS, Band 13, 1985, S. 23–37
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Die Idealklassengruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie Sie ist ein Mass dafur wie weit der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkorper davon entfernt ist eindeutige Primfaktorzerlegung zu besitzen Ihre Ordnung wird Klassenzahl genannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition fur Dedekindringe 2 Eigenschaften 3 Beispiele und Klassenzahlproblem 4 Verwandte Begriffe 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition fur Dedekindringe BearbeitenEs sei A displaystyle A nbsp ein Dedekindring mit Quotientenkorper K displaystyle K nbsp beispielsweise der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkorper Dann ist die Idealklassengruppe Pic A displaystyle operatorname Pic A nbsp definiert als die Faktorgruppe 1 Pic A J A P A displaystyle operatorname Pic A J A P A nbsp J A displaystyle J A nbsp ist dabei die Gruppe der gebrochenen Ideale d h der endlich erzeugten A displaystyle A nbsp Untermoduln von K displaystyle K nbsp die nicht nur die Null enthalten mit dem ProduktI J i 1 n a i b i a i I b i J displaystyle IJ left left sum i 1 n a i b i right a i in I b i in J right nbsp dd fur I J J A displaystyle I J in J A nbsp J A displaystyle J A nbsp ist die freie abelsche Gruppe auf den Primidealen von A displaystyle A nbsp Und P A displaystyle P A nbsp ist die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale d h der Untermoduln der Form a A a K displaystyle a A cdot a subset K nbsp dd fur a K displaystyle a in K times nbsp Im Fall von Zahlkorpern schreibt man meist Cl K displaystyle operatorname Cl K nbsp fur Pic A displaystyle operatorname Pic A nbsp Die Aquivalenzklassen der Faktorgruppe konnen auch explizit so beschrieben werden Zwei gebrochene Ideale I displaystyle I nbsp und J displaystyle J nbsp sind aquivalent wenn es ein Element l K displaystyle lambda in K times nbsp gibt sodass I l J displaystyle I lambda J nbsp gilt Eigenschaften BearbeitenPic A displaystyle operatorname Pic A nbsp ist genau dann trivial d h die Klassenzahl ist 1 wenn A displaystyle A nbsp ein Hauptidealring ist und das ist aquivalent dazu dass es in A displaystyle A nbsp eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt Ist A displaystyle A nbsp der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkorpers K displaystyle K nbsp so ist Cl K displaystyle operatorname Cl K nbsp endlich Eine Verallgemeinerung des Konzepts der Idealklassengruppe liefert die algebraische K Theorie Wenn A displaystyle A nbsp der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkorpers K displaystyle K nbsp ist dann ist K 0 A Z Cl K displaystyle operatorname K 0 A mathbb Z oplus operatorname Cl K nbsp Die Klassenzahlformel setzt die Klassenzahl eines Zahlkorpers in Zusammenhang mit dem Residuum seiner Dedekindschen Zeta Funktion in 1 displaystyle 1 nbsp Beispiele und Klassenzahlproblem BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein quadratischer Zahlkorper d h K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d nbsp fur eine quadratfreie Zahl d Z displaystyle d in mathbb Z nbsp d displaystyle d nbsp heisst Diskriminante Die einzigen negativen quadratfreien Zahlen d lt 0 displaystyle d lt 0 nbsp imaginar quadratische Zahlkorper fur die die Idealklassengruppe von K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d nbsp trivial das heisst gleich 1 ist sind d 1 2 3 7 11 19 43 67 163 displaystyle d 1 2 3 7 11 19 43 67 163 nbsp Das wurde von Carl Friedrich Gauss vermutet und 1952 von Kurt Heegner bewiesen Heegners Beweis fand allerdings erst nach einer 1967 von Harold Stark veroffentlichten Arbeit Anerkennung Mit einer ganz anderen Methode wurde das von Alan Baker etwa gleichzeitig mit Stark bewiesen Gauss vermutete auch dass fur die Klassenzahl imaginar quadratischer Zahlkorper h d displaystyle h d nbsp gilt h d displaystyle h d to infty nbsp fur d displaystyle d to infty nbsp Das wurde von Hans Heilbronn bewiesen Gauss stellte auch Vermutungen uber die Anzahl der imaginar quadratischen Zahlkorper mit Klassenzahl 2 und 3 an die inzwischen ebenfalls bewiesen wurden ebenso wie die Auflistung der imaginar quadratischen Zahlkorper bis Klassenzahl 100 durch M Watkins 2 3 Der Fall der Klassenzahl 2 es gibt genau 18 solche imaginar quadratische Zahlkorper wurde 1971 von Stark und unabhangig Baker bewiesen 4 Es ist nicht bekannt ob es unendlich viele positive quadratfreie Zahlen d gt 0 displaystyle d gt 0 nbsp gibt der Fall reell quadratischer Zahlkorper mit Klassenzahl 1 fur die die Idealklassengruppe von K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d nbsp trivial ist es gibt aber viele berechnete Beispiele hierfur Dass es unendlich viele gibt wurde von Gauss vermutet Verwandte Begriffe BearbeitenFur einen algebraischen Zahlkorper K displaystyle K nbsp gibt es eine Erweiterung H K displaystyle H K nbsp den kleinen hilbertschen Klassenkorper Die Galoisgruppe Gal H K displaystyle operatorname Gal H K nbsp ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe und jedes Ideal von K displaystyle K nbsp wird in H displaystyle H nbsp zu einem Hauptideal Literatur BearbeitenJurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Einzelnachweise Bearbeiten Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer 1992 2007 S 23 24 Eric W Weisstein Gauss s Class Number Problem In MathWorld englisch M Watkins Class Numbers of Imaginary Quadratic Fields Math Comput Band 73 2004 S 907 938 Dorian Goldfeld Gauss class number problem for imaginary quadratic fields Bull AMS Band 13 1985 S 23 37 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Idealklassengruppe amp oldid 225779206 Beispiele und Klassenzahlproblem