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k p Methode Die auch KP Methode ist eine störungstheoretische Methode der Quantenmechanik zur Berechnung der elektronisc

k·p-Methode

Die k·p-Methode (auch KP-Methode) ist eine störungstheoretische Methode der Quantenmechanik zur Berechnung der elektronischen Bandstruktur eines Festkörpers. Sie bietet eine Näherung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für Elektronen in Halbleitern und anderen kristallinen Festkörpern. Die Methode erlaubt so auch das elektronische Verhalten von Bauteilen der Mikroelektronik zu simulieren.

Die Bezeichnung stammt daher, dass in den Energien der einzelnen Energiebänder ein Ausdruck der Form auftritt, also das Skalarprodukt aus dem Wellenvektor und dem quantenmechanischen Impulsoperator .

Beschreibung Bearbeiten

Die Methode basiert auf einer Beschreibung der Elektronen als nicht miteinander wechselwirkende Teilchen in einem periodischen effektiven Potential. Dieses beinhaltet die Wechselwirkung des beschriebenen Elektrons mit den Elektronen und Atomkernen des Festkörpers.

Ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen Wellenvektor des Elektrons im reziproken Raum aus anderen Methoden (z. B. der Dichtefunktionaltheorie) bekannt, so kann die Elektronen-Energie für Werte von in einer Umgebung von als Störung dieser Lösung bestimmt werden. Aus der Veränderung der Energie (Eigenwerte des in der Schrödinger-Gleichung auftretenden Hamilton-Operators) mit dem Wellenvektor ist dann die gesuchte Bandstruktur des Festkörpers bestimmt.

Ansatz Bearbeiten

Die Wellenfunktion des Elektrons genügt in der Ein-Teilchen-Näherung der Schrödinger-Gleichung:

mit

Blochs Theorem besagt nun, dass die Lösung einer solchen periodischen Differentialgleichung wie folgt geschrieben werden kann:

dabei ist

  • ein diskreter Bandindex
  • der Wellenvektor
  • eine Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall.

Setzt man in die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung ein, so erhält man die folgende Differentialgleichung für :

Für einen Wellenvektor , für den die Lösungen bekannt sind (oft am Γ-Punkt ), behandelt die k·p-Methode nun den Term

in obiger Gleichung als Störung (daher der Name). Ziel der Störungsrechnung ist es, näherungsweise Ausdrücke für die Energieeigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände zu finden.

Die Energien und Eigenzustände werden mit zunehmender Ordnung zwar genauer, die Gleichungen jedoch immer komplexer. Man approximiert daher die gesuchten Ausdrücke mit Störungen zweiter Ordnung. Für alle betrachteten Zustände erhält man Gleichungen, in denen Wechselwirkungsterme in Form von Übergangsmatrixelementen zwischen den betrachteten Zuständen und allen anderen Zuständen auftreten. Man erhält also Gleichungen mit jeweils Wechselwirkungstermen.

Für direkte Anwendungen betrachtet man nur Zustände in der Nähe der Bandlücke, womit die Anzahl der Gleichungen reduziert wird. Des Weiteren nutzt man in kristallinen Schichten die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Kristallsysteme in Form der Gruppentheorie, um mit deren Hilfe viele der Wechselwirkungsterme zu effektiven Termen zusammenzufassen und somit die Anzahl der Wechselwirkungsterme weiter stark zu reduzieren. Schließlich ergeben sich relativ wenige Gleichungen, welche man kompakt als Matrix darstellt, um anschließend die gesuchten Energieeigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände zu berechnen.

Aus den Eigenwerten lassen sich dann Ausdrücke für die Dispersion , die effektive Masse der Elektronen und Auswahlregeln für die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollständigen Rechnung bestimmen.

Wichtig ist sie insbesondere im Fall entarteter Bänder, da der -Term die Bänder miteinander koppelt, die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln für optische Übergänge zwischen den Bändern bestimmt.

Literatur Bearbeiten

Fachartikel Bearbeiten

  • S. L. Chuang, C. S. Chang: k⋅p method for strained wurtzite semiconductors. In: Physical Review B. Band 54, Nr. 4, 15. Juli 1996, S. 2491–2504, doi:10.1103/PhysRevB.54.2491 (englisch).
  • I J Robertson, M C Payne: k-point sampling and the k.p method in pseudopotential total energy calculations. In: Journal of Physics: Condensed Matter. Band 2, Nr. 49, 10. Dezember 1990, S. 9837–9852, doi:10.1088/0953-8984/2/49/010 (englisch).
  • Dorothy G. Bell: Group Theory and Crystal Lattices. In: Reviews of Modern Physics. Band 26, Nr. 3, 1. Juli 1954, S. 311–320, doi:10.1103/RevModPhys.26.311 (englisch).

Fachbücher Bearbeiten

  • Chihiro Hamaguchi: Energy Band Structures of Semiconductors. In: Basic Semiconductor Physics (= Graduate Texts in Physics). Springer International Publishing, Cham 2017, ISBN 978-3-319-66859-8, S. 1–63, doi:10.1007/978-3-319-66860-4_1 (englisch).
  • M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio: Group Theory. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-32897-1, doi:10.1007/978-3-540-32899-5 (englisch).
  • Wilfried Schäfer, Martin Wegener: Semiconductor Optics and Transport Phenomena (= Advanced Texts in Physics). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2002, ISBN 978-3-642-08271-9, doi:10.1007/978-3-662-04663-0 (englisch).

Andere Beiträge Bearbeiten

  • Christian Köpf: Modellierung des Elektronentransports in Verbindungshalbleiterlegierungen. Wien 1997 (tuwien.ac.at).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. E.O. Kane: Energy band structure in p-type germanium and silicon. In: Journal of Physics and Chemistry of Solids. Band 1, Nr. 1-2, September 1956, S. 82–99, doi:10.1016/0022-3697(56)90014-2 (englisch, elsevier.com [abgerufen am 22. Februar 2023]).
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Die k p Methode auch KP Methode ist eine storungstheoretische Methode der Quantenmechanik zur Berechnung der elektronischen Bandstruktur eines Festkorpers 1 Sie bietet eine Naherung der Losung der Schrodinger Gleichung fur Elektronen in Halbleitern und anderen kristallinen Festkorpern Die Methode erlaubt so auch das elektronische Verhalten von Bauteilen der Mikroelektronik zu simulieren Die Bezeichnung stammt daher dass in den Energien der einzelnen Energiebander ein Ausdruck der Form k p displaystyle vec k cdot vec p auftritt also das Skalarprodukt aus dem Wellenvektor k displaystyle vec k und dem quantenmechanischen Impulsoperator p displaystyle vec p Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Ansatz 3 Literatur 3 1 Fachartikel 3 2 Fachbucher 3 3 Andere Beitrage 4 EinzelnachweiseBeschreibung BearbeitenDie Methode basiert auf einer Beschreibung der Elektronen als nicht miteinander wechselwirkende Teilchen in einem periodischen effektiven Potential Dieses beinhaltet die Wechselwirkung des beschriebenen Elektrons mit den Elektronen und Atomkernen des Festkorpers Ist die Losung der Schrodinger Gleichung fur einen Wellenvektor k 0 displaystyle vec k 0 nbsp des Elektrons im reziproken Raum aus anderen Methoden z B der Dichtefunktionaltheorie bekannt so kann die Elektronen Energie fur Werte von k displaystyle vec k nbsp in einer Umgebung von k 0 displaystyle vec k 0 nbsp als Storung dieser Losung bestimmt werden Aus der Veranderung der Energie Eigenwerte des in der Schrodinger Gleichung auftretenden Hamilton Operators mit dem Wellenvektor ist dann die gesuchte Bandstruktur des Festkorpers bestimmt Ansatz BearbeitenDie Wellenfunktion des Elektrons genugt in der Ein Teilchen Naherung der Schrodinger Gleichung p 2 2 m V r ps r E ps r displaystyle left frac p 2 2m V vec r right psi vec r E psi vec r nbsp mit dem quantenmechanischen Impulsoperator p displaystyle vec p nbsp der Masse m displaystyle m nbsp des Elektrons dem effektiven elektrostatischen Potential V displaystyle V 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Des Weiteren nutzt man in kristallinen Schichten die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Kristallsysteme in Form der Gruppentheorie um mit deren Hilfe viele der Wechselwirkungsterme zu effektiven Termen zusammenzufassen und somit die Anzahl der Wechselwirkungsterme weiter stark zu reduzieren Schliesslich ergeben sich relativ wenige Gleichungen welche man kompakt als Matrix darstellt um anschliessend die gesuchten Energieeigenwerte E n k displaystyle E n vec k nbsp und die zugehorigen Eigenzustande ps n k displaystyle psi n vec k nbsp zu berechnen Aus den Eigenwerten lassen sich dann Ausdrucke fur die Dispersion d d k E n k displaystyle tfrac mathrm d mathrm d k E n vec k nbsp die effektive Masse der Elektronen und Auswahlregeln fur die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollstandigen Rechnung bestimmen Wichtig ist sie insbesondere im Fall entarteter Bander da der k p displaystyle vec k cdot vec p nbsp Term die Bander miteinander koppelt die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln fur optische Ubergange zwischen den Bandern bestimmt Literatur BearbeitenSiehe auch Storungstheorie und Festkorperphysik Fachartikel Bearbeiten S L Chuang C S Chang k p method for strained wurtzite semiconductors In Physical Review B Band 54 Nr 4 15 Juli 1996 S 2491 2504 doi 10 1103 PhysRevB 54 2491 englisch I J Robertson M C Payne k point sampling and the k p method in pseudopotential total energy calculations In Journal of Physics Condensed Matter Band 2 Nr 49 10 Dezember 1990 S 9837 9852 doi 10 1088 0953 8984 2 49 010 englisch Dorothy G Bell Group Theory and Crystal Lattices In Reviews of Modern Physics Band 26 Nr 3 1 Juli 1954 S 311 320 doi 10 1103 RevModPhys 26 311 englisch Fachbucher Bearbeiten Chihiro Hamaguchi Energy Band Structures of Semiconductors In Basic Semiconductor Physics Graduate Texts in Physics Springer International Publishing Cham 2017 ISBN 978 3 319 66859 8 S 1 63 doi 10 1007 978 3 319 66860 4 1 englisch M S Dresselhaus G Dresselhaus A Jorio Group Theory Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 32897 1 doi 10 1007 978 3 540 32899 5 englisch Wilfried Schafer Martin Wegener Semiconductor Optics and Transport Phenomena Advanced Texts in Physics Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2002 ISBN 978 3 642 08271 9 doi 10 1007 978 3 662 04663 0 englisch Andere Beitrage Bearbeiten Christian Kopf Modellierung des Elektronentransports in Verbindungshalbleiterlegierungen Wien 1997 tuwien ac at Einzelnachweise Bearbeiten E O Kane Energy band structure in p type germanium and silicon In Journal of Physics and Chemistry of Solids Band 1 Nr 1 2 September 1956 S 82 99 doi 10 1016 0022 3697 56 90014 2 englisch elsevier com abgerufen am 22 Februar 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title K p Methode amp oldid 234826166