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Brillouin Zone Die n nach Léon Brillouin beschreiben in der Festkörperphysik symmetrische Polyeder im reziproken Gitter

Brillouin-Zone

Die Brillouin-Zonen (nach Léon Brillouin) beschreiben in der Festkörperphysik symmetrische Polyeder im reziproken Gitter. Die erste Brillouin-Zone ist die primitive Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters eines Kristalls, also ein (i. A. unregelmäßiges) Polyeder im reziproken Raum. Nach der ersten Brillouin-Zone wiederholt sich die gesamte Struktur periodisch, d. h., es reicht, alle Prozesse in der ersten Brillouin-Zone zu beschreiben.

Erste Brillouin-Zone eines kubisch-flächenzentrierten Gitters (das reziproke Gitter ist also kubisch-raumzentriert)

Konstruktion Bearbeiten

1. Brillouin-Zone im zweidimensionalen quadratischen und hexagonalen Gitter
Animierte Konstruktion der 1. Brillouin-Zone eines kubisch flächenzentrierten Gitters im reziproken Raum (Wigner-Seitz-Zelle des kubisch raumzentrierten Gitters)

Für die Konstruktion analog zu der Wigner-Seitz-Zelle wählt man einen Gitterpunkt des reziproken Gitters und halbiert alle Verbindungsstrecken zu sämtlichen anderen Punkten durch Normalebenen, d. h. durch Ebenen, auf denen die Verbindungsstrecken jeweils senkrecht stehen. Indem man die Mittelsenkrechte (bzw. -ebene in 3D) zu allen Punkten einzeichnet, erhält man rund um den Gitterpunkt eine Fläche (bzw. Volumen in 3D). Das Polyeder, das durch die Normalebenen begrenzt wird, ist die Brillouin-Zone.

Innerhalb der ersten Brillouin-Zone (1. BZ) werden einige wichtige hochsymmetrische Punkte des fcc-Gitters benannt. Mit dem eingezeichneten Koordinatensystem () gilt:

  • Gitterpunkte der 1. BZ des fcc-Gitters: (0, 0, 0); (1, 1, 1); (−1, 1, 1); (−1, −1, 1); (1, −1, 1); (1, 1, −1); (−1, 1, −1); (−1, −1, −1); (1, −1, −1)
  • Γ-Punkt (0, 0, 0): Das Zentrum der 1. BZ
  • X-Punkt (0, 1, 0): Der Schnittpunkt der Achse [010] mit dem Rand der 1. BZ
  • L-Punkt (0.5, 0.5, 0.5): Der Schnittpunkt der Raumdiagonale [111] mit dem Rand der 1. BZ
  • K-Punkt (0.75, 0.75, 0): Der Schnittpunkt der Diagonalen in einer Ebene [110] mit dem Rand der 1. BZ
  • U-Punkt (0.25, 1, 0.25)
  • W-Punkt (0.5, 1, 0)

Anwendung Bearbeiten

In der Festkörperphysik wird der Kristallimpuls eines Teilchens oder Quasiteilchens (z. B. Elektron und Loch und andere) als Vektor im reziproken Gitter angegeben. Ein Quasiteilchen mit einem bestimmten Wellenvektor verhält sich exakt genauso wie eines, dessen Wellenvektor sich von um einen reziproken Gittervektor unterscheidet. Daher braucht man für Größen, die vom Kristallimpuls abhängen, nur die Werte für Kristallimpulse innerhalb der ersten Brillouin-Zone zu bestimmen. Der Hintergrund ist, dass Wellen (Teilchenwellen) an sog. Bragg-Ebenen zurückgestreut werden (siehe auch Laue-Bedingung).

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Brillouin Zonen nach Leon Brillouin beschreiben in der Festkorperphysik symmetrische Polyeder im reziproken Gitter Die erste Brillouin Zone ist die primitive Wigner Seitz Zelle des reziproken Gitters eines Kristalls also ein i A unregelmassiges Polyeder im reziproken Raum Nach der ersten Brillouin Zone wiederholt sich die gesamte Struktur periodisch d h es reicht alle Prozesse in der ersten Brillouin Zone zu beschreiben Erste Brillouin Zone eines kubisch flachenzentrierten Gitters das reziproke Gitter ist also kubisch raumzentriert Konstruktion Bearbeiten nbsp 1 Brillouin Zone im zweidimensionalen quadratischen und hexagonalen Gitter nbsp Animierte Konstruktion der 1 Brillouin Zone eines kubisch flachenzentrierten Gitters im reziproken Raum Wigner Seitz Zelle des kubisch raumzentrierten Gitters Fur die Konstruktion analog zu der Wigner Seitz Zelle wahlt man einen Gitterpunkt des reziproken Gitters und halbiert alle Verbindungsstrecken zu samtlichen anderen Punkten durch Normalebenen d h durch Ebenen auf denen die Verbindungsstrecken jeweils senkrecht stehen Indem man die Mittelsenkrechte bzw ebene in 3D zu allen Punkten einzeichnet erhalt man rund um den Gitterpunkt eine Flache bzw Volumen in 3D Das Polyeder das durch die Normalebenen begrenzt wird ist die Brillouin Zone Innerhalb der ersten Brillouin Zone 1 BZ werden einige wichtige hochsymmetrische Punkte des fcc Gitters benannt Mit dem eingezeichneten Koordinatensystem k x k y k z displaystyle k x k y k z nbsp gilt Gitterpunkte der 1 BZ des fcc Gitters 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G Punkt 0 0 0 Das Zentrum der 1 BZ X Punkt 0 1 0 Der Schnittpunkt der Achse 010 mit dem Rand der 1 BZ L Punkt 0 5 0 5 0 5 Der Schnittpunkt der Raumdiagonale 111 mit dem Rand der 1 BZ K Punkt 0 75 0 75 0 Der Schnittpunkt der Diagonalen in einer Ebene 110 mit dem Rand der 1 BZ U Punkt 0 25 1 0 25 W Punkt 0 5 1 0 Anwendung BearbeitenIn der Festkorperphysik wird der Kristallimpuls ℏ k displaystyle hbar vec k nbsp eines Teilchens oder Quasiteilchens z B Elektron und Loch und andere als Vektor im reziproken Gitter angegeben Ein Quasiteilchen mit einem bestimmten Wellenvektor k 1 displaystyle vec k 1 nbsp verhalt sich exakt genauso wie eines dessen Wellenvektor k 2 displaystyle vec k 2 nbsp sich von k 1 displaystyle vec k 1 nbsp um einen reziproken Gittervektor K displaystyle vec K nbsp unterscheidet Daher braucht man fur Grossen die vom Kristallimpuls abhangen nur die Werte fur Kristallimpulse innerhalb der ersten Brillouin Zone zu bestimmen Der Hintergrund ist dass Wellen Teilchenwellen an sog Bragg Ebenen zuruckgestreut werden k 1 k 2 K displaystyle vec k 1 vec k 2 vec K nbsp siehe auch Laue Bedingung Literatur BearbeitenSiehe auch Festkorperphysik und Halbleiter Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Brillouin Zone amp oldid 236227969