In Mathematik und Physik ist ein n displaystyle n dimensionaler De Sitter Raum nach Willem de Sitter notiert d S n displaystyle dS n die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n Sphare mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit er ist maximal symmetrisch hat eine konstante positive Krummung und ist einfach zusammenhangend fur n 3 displaystyle n geq 3 Im vierdimensionalen Minkowski Raum 3 Raumdimensionen plus die Zeit bzw in der Raumzeit ist der De Sitter Raum das Analogon zu einer Kugel im gewohnlichen euklidischen Raum In der Sprache der allgemeinen Relativitatstheorie ist der De Sitter Raum die maximal symmetrische Vakuumlosung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven repulsiven kosmologischen Konstanten L displaystyle Lambda entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck und damit ein kosmologisches Modell fur das physikalische Universum siehe De Sitter Modell Der De Sitter Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig unabhangig von de Sitter von Tullio Levi Civita Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Statische Koordinaten 4 Slicing Koordinaten 4 1 Flach 4 2 Geschlossen 4 3 Offen 4 4 DS 5 Sonstiges 6 Siehe auch 7 Literatur 8 NachweiseDefinition Bearbeiten nbsp 2 dimensionaler De Sitter Raum Radius und Volumen erreichen am Zeitpunkt t 0 ihren Minimalwert Der De Sitter Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski Raumes einer hoheren Dimension Betrachtet man also den Minkowski Raum R 1 n displaystyle mathbb R 1 n nbsp mit dem ublichen metrischen Tensor d s 2 d x 0 2 i 1 n d x i 2 displaystyle textrm d s 2 textrm d x 0 2 sum i 1 n textrm d x i 2 nbsp Dann ist der De Sitter Raum die Untermannigfaltigkeit die durch das einschalige Hyperboloid a 2 x 0 2 i 1 n x i 2 displaystyle alpha 2 x 0 2 sum i 1 n x i 2 nbsp beschrieben wird wobei a displaystyle alpha nbsp eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Lange Der metrische Tensor des De Sitter Raumes ist derjenige der vom metrischen Tensor des Minkowski Raumes erzeugt wird Man kann uberprufen dass die erzeugte Metrik nicht entartet ist und eine Signatur der Form 1 k 0 hat Wenn in obiger Definition a 2 displaystyle alpha 2 nbsp durch a 2 displaystyle alpha 2 nbsp ersetzt wird erhalt man ein zweischaliges Hyperboloid In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n Geometrie Der De Sitter Raum kann auch definiert werden als Quotient O 1 n O 1 n 1 displaystyle tfrac mathrm O 1 n mathrm O 1 n 1 nbsp zweier Lorentz Gruppen was zeigt dass er ein nicht Riemannscher symmetrischer Raum ist Topologisch ist der De Sitter Raum von der Form R S n 1 displaystyle mathbb R times S n 1 nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Isometriegruppe des De Sitter Raumes ist die Lorentz Gruppe O 1 n displaystyle mathrm O 1 n nbsp Daher hat die Metrik n n 1 2 displaystyle tfrac n n 1 2 nbsp unabhangige Killing Vektoren und ist maximal symmetrisch Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krummung Der Riemannsche Krummungstensor R r s m n displaystyle R rho sigma mu nu nbsp des De Sitter Raumes ist R r s m n 1 a 2 g r m g s n g r n g s m displaystyle R rho sigma mu nu 1 over alpha 2 g rho mu g sigma nu g rho nu g sigma mu nbsp Der De Sitter Raum ist eine Einstein Mannigfaltigkeit da der Ricci Tensor R m n displaystyle R mu nu nbsp proportional zur Metrik g m n displaystyle g mu nu nbsp ist R m n n 1 a 2 g m n displaystyle R mu nu frac n 1 alpha 2 cdot g mu nu nbsp Das heisst der De Sitter Raum ist eine Vakuumlosung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante L n 1 a 2 n 2 2 displaystyle Lambda frac n 1 alpha 2 cdot frac n 2 2 nbsp Das Krummungsskalar dieses Raumes ist R n n 1 a 2 2 n n 2 L displaystyle R frac n n 1 alpha 2 frac 2n n 2 Lambda nbsp Fur n 4 ergibt sich L 3 a2 und R 4L 12 a2 Statische Koordinaten BearbeitenFur den De Sitter Raum lassen sich statische Koordinaten Zeit t displaystyle t nbsp Radius r displaystyle r nbsp wie folgt einfuhren x 0 a 2 r 2 sinh t a displaystyle x 0 sqrt alpha 2 r 2 cdot sinh t alpha nbsp x 1 a 2 r 2 cosh t a displaystyle x 1 sqrt alpha 2 r 2 cdot cosh t alpha nbsp x i r z i displaystyle x i rz i nbsp mit 2 i n displaystyle 2 leq i leq n nbsp wobei z i displaystyle z i nbsp die Standard Einbettung der Sphare S n 2 displaystyle S n 2 nbsp in Rn 1 darstellt In diesen Koordinaten nimmt die De Sitter Metrik folgende Form an d s 2 1 r 2 a 2 d t 2 1 r 2 a 2 1 d r 2 r 2 d W n 2 2 displaystyle textrm d s 2 left 1 frac r 2 alpha 2 right textrm d t 2 left 1 frac r 2 alpha 2 right 1 textrm d r 2 r 2 textrm d Omega n 2 2 nbsp Zu beachten es gibt einen kosmologischen Horizont bei r a displaystyle r alpha nbsp Slicing Koordinaten BearbeitenFlach Bearbeiten Ansatz x 0 a sinh t a r 2 e t a 2 a displaystyle x 0 alpha sinh t alpha r 2 e t alpha 2 alpha nbsp x 1 a cosh t a r 2 e t a 2 a displaystyle x 1 alpha cosh t alpha r 2 e t alpha 2 alpha nbsp x i e t a y i displaystyle x i e t alpha y i nbsp mit 2 i n displaystyle 2 leq i leq n nbsp wobei r 2 i y i 2 displaystyle r 2 sum i y i 2 nbsp Dann lautet die Metrik des De Sitter Raumes in t y i displaystyle t y i nbsp Koordinaten d s 2 d t 2 e 2 t a d y 2 displaystyle textrm d s 2 textrm d t 2 e 2t alpha cdot textrm d y 2 nbsp mit d y 2 i d y i 2 displaystyle textrm d y 2 sum i textrm d y i 2 nbsp der flachen Metrik auf y i displaystyle y i nbsp Geschlossen Bearbeiten Ansatz x 0 a sinh t a displaystyle x 0 alpha sinh t alpha nbsp x i a cosh t a z i displaystyle x i alpha cosh t alpha cdot z i nbsp mit 1 i n displaystyle 1 leq i leq n nbsp wobei die z i displaystyle z i nbsp eine S n 1 displaystyle S n 1 nbsp Sphare beschreiben Dann lautet die Metrik des De Sitter Raumes d s 2 d t 2 a 2 cosh 2 t a d W n 1 2 displaystyle textrm d s 2 textrm d t 2 alpha 2 cosh 2 t alpha cdot textrm d Omega n 1 2 nbsp nbsp Penrose Diagramm des De Sitter Raums Die h Koordinate kompaktifiziert die Zeit t auf das Intervall p 2 p 2 Der Winkel 8 beschreibt im Intervall p 2 p 2 einen beliebigen Halbkreis zwischen zwei beliebigen Antipoden S und N der zweite Halbkreis ist nicht dargestellt Licht bewegt sich uberall im Diagramm in diagonaler Richtung nach links oder rechts oben Ein Beobachter am Nordpol N empfangt kein Signal von der linken oberen Halfte grau dargestellt Wird die Zeit Variable t displaystyle t nbsp geandert in die konforme Zeit h displaystyle eta nbsp tanh t a tan h cosh t a 1 cos h displaystyle begin aligned tanh t alpha amp tan eta Leftrightarrow cosh t alpha amp 1 cos eta end aligned nbsp dd so erhalt man eine Metrik die konform aquivalent zum statischen Einstein Universum ist d s 2 a 2 cos 2 h d h 2 d W n 1 2 displaystyle textrm d s 2 frac alpha 2 cos 2 eta textrm d eta 2 textrm d Omega n 1 2 nbsp Der De Sitter Raum und das Einstein Universum haben deshalb das gleiche Penrose Diagramm Offen Bearbeiten Ansatz x 0 a sinh t a cosh 3 displaystyle x 0 alpha sinh t alpha cosh xi nbsp x 1 a cosh t a displaystyle x 1 alpha cosh t alpha nbsp x i a sinh t a sinh 3 z i displaystyle x i alpha sinh t alpha sinh xi cdot z i nbsp mit 2 i n displaystyle 2 leq i leq n nbsp wobei i z i 2 1 displaystyle sum i z i 2 1 nbsp eine Sphare S n 2 displaystyle S n 2 nbsp formt mit der Standard Metrik i d z i 2 d W n 2 2 displaystyle sum i textrm d z i 2 textrm d Omega n 2 2 nbsp Dann lautet die Metrik des De Sitter Raumes d s 2 d t 2 a 2 sinh 2 t a d H n 1 2 displaystyle textrm d s 2 textrm d t 2 alpha 2 sinh 2 t alpha cdot textrm d H n 1 2 nbsp mit d H n 1 2 d 3 2 sinh 2 3 d W n 2 2 displaystyle textrm d H n 1 2 textrm d xi 2 sinh 2 xi cdot textrm d Omega n 2 2 nbsp der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes DS Bearbeiten Ansatz x 0 a sinh t a cosh 3 sin x a displaystyle x 0 alpha sinh t alpha cosh xi sin chi alpha nbsp x 1 a cos x a displaystyle x 1 alpha cos chi alpha nbsp x 2 a cosh t a sin x a displaystyle x 2 alpha cosh t alpha sin chi alpha nbsp x i a sinh t a sinh 3 sin x a z i displaystyle x i alpha sinh t alpha sinh xi sin chi alpha z i nbsp mit 3 i n displaystyle 3 leq i leq n nbsp wobei die z i displaystyle z i nbsp eine S n 3 displaystyle S n 3 nbsp Sphare beschreiben Dann lautet die Metrik des De Sitter Raumes d s 2 d x 2 sin 2 x a d s d S a n 1 2 displaystyle textrm d s 2 textrm d chi 2 sin 2 chi alpha cdot textrm d s dS alpha n 1 2 nbsp wobei d s d S a n 1 2 d t 2 a 2 sinh 2 t a d H n 2 2 displaystyle textrm d s dS alpha n 1 2 textrm d t 2 alpha 2 sinh 2 t alpha cdot textrm d H n 2 2 nbsp die Metrik eines n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionalen De Sitter Raumes in offenen Slicing Koordinaten ist mit Krummungsradius a displaystyle alpha nbsp Die hyperbolische Metrik lautet d H n 2 2 d 3 2 sinh 2 3 d W n 3 2 displaystyle textrm d H n 2 2 textrm d xi 2 sinh 2 xi cdot textrm d Omega n 3 2 nbsp Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing Koordinaten t 3 8 ϕ 1 ϕ 2 ϕ n 3 i x 3 i t 8 ϕ 1 ϕ n 4 displaystyle t xi theta phi 1 phi 2 cdots phi n 3 to i chi xi it theta phi 1 cdots phi n 4 nbsp und ausserdem der Tausch von x 0 displaystyle x 0 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp weil sie ihre zeit bzw raumartigen Eigenschaften verandern Sonstiges BearbeitenEinige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski Raumes den De Sitter Raum als grundlegenden Raum fur die spezielle Relativitatstheorie vor und nannten dies De Sitter Relativitat 1 Siehe auch BearbeitenDe Sitter Modell Anti de Sitter Raum Einstein de Sitter ModellLiteratur BearbeitenW de Sitter On the relativity of inertia Remarks concerning Einstein s latest hypothesis In Proc Kon Ned Acad Wet Band 19 1917 S 1217 1225 W de Sitter On the curvature of space In Proc Kon Ned Acad Wet Band 20 1917 S 229 243 Tullio Levi Civita Realta fisica di alcuni spazi normali del Bianchi In Rendiconti Reale Accademia Dei Lincei Band 26 1917 S 519 31 K Nomizu The Lorentz Poincare metric on the upper half space and its extension In Hokkaido Mathematical Journal Band 11 Nr 3 1982 S 253 261 H S M Coxeter A geometrical background for de Sitter s world In Mathematical Association of America Hrsg American Mathematical Monthly Band 50 Nr 4 1943 S 217 228 doi 10 2307 2303924 JSTOR 2303924 L Susskind J Lindesay An Introduction to Black Holes Information and the String Theory Revolution The Holographic Universe 2005 S 119 11 5 25 Qingming Cheng De Sitter space Springer Nachweise Bearbeiten R Aldrovandi J G Pereira de Sitter Relativity a New Road to Quantum Gravity arxiv org 2007 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title De Sitter Raum amp oldid 230582642
