Die Funktionen Kosekans hyperbolicus csch und Sekans hyperbolicus sech sind Hyperbelfunktionen Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus hyperbolicus bzw Kosinus hyperbolicus Sekans hyperbolicus blau und Kosekans hyperbolicus rot Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Eigenschaften 3 Umkehrfunktionen 4 Ableitungen 5 Integrale 5 1 Stammfunktionen der Hyperbelfunktionen 5 2 Eulersche Betafunktion 5 3 Basler Problem 5 4 Integrale von Bruchen der Glockenkurvenfunktion 5 5 Integrale von kardinalischen Hyperbelfunktionen 5 6 Integrale der Wurzeln des Sekans hyperbolicus 6 Reihenentwicklungen 7 Komplexes Argument 8 Reihenentwicklungen 9 Siehe auch 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseDefinitionen Bearbeitensech x 2 e x e x 1 cosh x csch x 2 e x e x 1 sinh x displaystyle begin aligned operatorname sech x amp frac 2 e x e x frac 1 cosh x operatorname csch x amp frac 2 e x e x frac 1 sinh x end aligned nbsp Eigenschaften BearbeitenSekans hyperbolicus Kosekans hyperbolicusDefinitionsbereich lt x lt displaystyle infty lt x lt infty nbsp lt x lt x 0 displaystyle infty lt x lt infty x neq 0 nbsp Wertebereich 0 lt f x 1 displaystyle 0 lt f x leq 1 nbsp lt f x lt f x 0 displaystyle infty lt f x lt infty f x neq 0 nbsp Periodizitat keine keineMonotonie x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp streng monoton steigendx gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp streng monoton fallend x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp streng monoton fallendx lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp streng monoton fallendSymmetrien Spiegelsymmetrie zur y Achse Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Achsensymmetrie zu y x displaystyle y x nbsp Asymptote f x 0 displaystyle f x to 0 nbsp fur x displaystyle x to pm infty nbsp f x 0 displaystyle f x to 0 nbsp fur x displaystyle x to pm infty nbsp Nullstellen keine keineSprungstellen keine keinePolstellen keine x 0 displaystyle x 0 nbsp Extrema Maximum bei x 0 displaystyle x 0 nbsp keineWendepunkte x ln 1 2 displaystyle x pm ln 1 sqrt 2 nbsp keineUmkehrfunktionen BearbeitenDie Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen x arsech y x arcsch y displaystyle begin aligned x amp operatorname arsech y x amp operatorname arcsch y end aligned nbsp Ableitungen Bearbeitend d x sech x sech x tanh x sinh x cosh 2 x d d x csch x csch x coth x cosh x sinh 2 x csch x 1 csch 2 x displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d x operatorname sech x amp operatorname sech x cdot operatorname tanh x frac sinh x cosh 2 x frac mathrm d mathrm d x operatorname csch x amp operatorname csch x cdot operatorname coth x frac cosh x sinh 2 x operatorname csch x cdot sqrt 1 operatorname csch 2 x end aligned nbsp Integrale BearbeitenStammfunktionen der Hyperbelfunktionen Bearbeiten sech x d x arctan sinh x C csch x d x ln tanh x 2 C displaystyle begin aligned int operatorname sech x mathrm d x amp arctan left sinh x right C int operatorname csch x mathrm d x amp ln left operatorname tanh frac x 2 right C end aligned nbsp Die durch den Koordinatenursprung verlaufende Stammfunktion des Sekans hyperbolicus wird Gudermannfunktion genannt gd x arctan sinh x displaystyle operatorname gd x arctan bigl sinh x bigr nbsp Eulersche Betafunktion Bearbeiten Fur folgende Verallgemeinerung ist diese Formel in Bezug auf alle positiven Zahlen w gultig 0 sech x w d x 2 w 2 b 1 2 w displaystyle int 0 infty operatorname sech x w mathrm d x 2 w 2 beta tfrac 1 2 w nbsp Mit dem griechischen Buchstaben b wird die Eulersche Betafunktion und mit dem zum Ausdruck gebracht Basler Problem Bearbeiten Wenn der Cosekans hyperbolicus mit ganzrationalen Polynomfunktionen multipliziert werden dann entstehen meist Funktionen mit polylogarithmischen Integralen Fur folgende Funktion ist die Ursprungsstammfunktion dilogarithmisch beschaffen 0 x y csch y d y 2 Li 2 tanh 1 2 x 1 2 Li 2 tanh 1 2 x 2 2 Li 2 1 exp x 1 2 Li 2 1 exp 2 x displaystyle int 0 x y operatorname csch y mathrm d y 2 operatorname Li 2 tanh tfrac 1 2 x tfrac 1 2 operatorname Li 2 tanh tfrac 1 2 x 2 2 operatorname Li 2 1 exp x tfrac 1 2 operatorname Li 2 1 exp 2x nbsp Deswegen gilt fur folgendes bestimmtes Integral 3 2 Li 2 1 0 x csch x d x 0 0 1 cosh x 1 z 2 sinh x 2 1 d z d x displaystyle frac 3 2 operatorname Li 2 1 int 0 infty x operatorname csch x mathrm d x int 0 infty int 0 1 frac cosh x 1 z 2 sinh x 2 1 mathrm d z mathrm d x nbsp 0 1 0 cosh x 1 z 2 sinh x 2 1 d x d z 0 1 p 2 1 z 2 d z 1 4 p 2 displaystyle int 0 1 int 0 infty frac cosh x 1 z 2 sinh x 2 1 mathrm d x mathrm d z int 0 1 frac pi 2 sqrt 1 z 2 mathrm d z frac 1 4 pi 2 nbsp n 1 1 n 2 Li 2 1 1 6 p 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 operatorname Li 2 1 frac 1 6 pi 2 nbsp Dies ist somit eine auf dem Satz von Fubini basierende Beweisfuhrung fur das sogenannte Basler Problem und findet in der Theorie uber die Riemannsche Zeta Funktion Anwendung Integrale von Bruchen der Glockenkurvenfunktion Bearbeiten Wenn das Doppelte der Glockenkurvenfunktion exp x 2 displaystyle exp x 2 nbsp durch den Nachfolger vom Quadrat der Glockenkurvenfunktion geteilt wird dann kommt die Funktion sech x 2 displaystyle operatorname sech x 2 nbsp hervor Das Integral von Null bis Unendlich von dieser zuletzt genannten Funktion nimmt einen nicht elementaren Wert an 0 sech x 2 d x p b 1 2 displaystyle int 0 infty operatorname sech x 2 mathrm d x sqrt pi beta bigl frac 1 2 bigr nbsp Mit dem griechischen Buchstaben b wird an dieser Stelle die Dirichletsche Betafunktion zum Ausdruck gebracht Integrale von kardinalischen Hyperbelfunktionen Bearbeiten Wenn die Produkte von Kardinalhyperbeltangens Tangens Hyperbolicus Cardinalis tanh x x displaystyle operatorname tanh x x nbsp und den Potenzen des Sekans Hyperbolicus integriert werden dann konnen mit diesen Integralen weitere bekannte Namenskonstanten dargestellt werden 0 1 x tanh x sech x d x 4 p G displaystyle int 0 infty frac 1 x operatorname tanh x operatorname sech x mathrm d x frac 4 pi G nbsp 0 1 x tanh x sech x 2 d x 7 p 2 z 3 displaystyle int 0 infty frac 1 x operatorname tanh x operatorname sech x 2 mathrm d x frac 7 pi 2 zeta 3 nbsp 0 1 x tanh x sech x 3 d x 2 3 p G 16 p 3 b 4 displaystyle int 0 infty frac 1 x operatorname tanh x operatorname sech x 3 mathrm d x frac 2 3 pi G frac 16 pi 3 beta 4 nbsp 0 1 x tanh x sech x 4 d x 7 3 p 2 z 3 31 p 4 z 5 displaystyle int 0 infty frac 1 x operatorname tanh x operatorname sech x 4 mathrm d x frac 7 3 pi 2 zeta 3 frac 31 pi 4 zeta 5 nbsp Mit dem Buchstaben G wird die Catalansche Konstante dargestellt und mit dem Ausdruck z 3 wird die Apery Konstante dargestellt Der Buchstaben b stellt auch hier die Dirichletsche Betafunktion dar Integrale der Wurzeln des Sekans hyperbolicus Bearbeiten Die Gudermannfunktion als Ursprungsstammfunktion des Sekans hyperbolicus ist eine elementare Funktion 0 x sech y d y gd x arctan sinh x arcsin tanh x 2 arctan tanh 1 2 x displaystyle int 0 x operatorname sech y mathrm d y operatorname gd x arctan sinh x arcsin tanh x 2 arctan tanh tfrac 1 2 x nbsp 1 2 p 2 arctan exp x 2 arctan exp x 1 2 p displaystyle tfrac 1 2 pi 2 arctan exp x 2 arctan exp x tfrac 1 2 pi nbsp Die Ursprungsstammfunktion von der Quadratwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein lemniskatisches Integral 0 x sech y d y 2 arcsl tanh 1 2 x displaystyle int 0 x sqrt operatorname sech y mathrm d y 2 operatorname arcsl tanh tfrac 1 2 x nbsp Die soeben gezeigte Funktion zahlt zu den nicht elementaren Funktionen Das Integral von Null bis Unendlich von der Quadratwurzel des Sekans Hyperbolicus nimmt exakt den Wert der lemniskatischen Konstante an Und die Ursprungsstammfunktion von der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein aquianharmonisches Integral 0 x sech y 3 d y 1 2 27 4 F 2 arctan tanh x 3 4 sech x 1 3 1 sech x 2 3 sech x 4 3 sin 1 12 p displaystyle int 0 x sqrt 3 operatorname sech y mathrm d y frac 1 2 sqrt 4 27 text F left 2 arctan left frac tanh x sqrt 4 3 operatorname sech x 1 3 sqrt 1 operatorname sech x 2 3 operatorname sech x 4 3 right sin left frac 1 12 pi right right nbsp Auch die Ursprungsstammfunktion fur das Quadrat der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist aquianharmonisch 0 x sech y 2 3 d y 1 2 27 4 F 2 arctan tanh x 3 4 1 sech x 2 3 sech x 4 3 cos 1 12 p displaystyle int 0 x sqrt 3 operatorname sech y 2 mathrm d y frac 1 2 sqrt 4 27 text F left 2 arctan left frac tanh x sqrt 4 3 sqrt 1 operatorname sech x 2 3 operatorname sech x 4 3 right cos left frac 1 12 pi right right nbsp Sowohl die lemniskatischen als auch die aquianharmonischen Integrale zahlen zu den sogenannten elliptischen Integralen Reihenentwicklungen BearbeitenDiese beiden Summendarstellungen sind fur alle reellen Zahlen x gultig sech x k 0 1 k 8 k 4 p 2 k 1 2 p 2 4 x 2 csch x 1 x k 1 1 k 2 x k 2 p 2 x 2 displaystyle begin aligned operatorname sech x amp sum k 0 infty 1 k frac 8k 4 pi 2k 1 2 pi 2 4x 2 operatorname csch x amp 1 x sum k 1 infty 1 k frac 2x k 2 pi 2 x 2 end aligned nbsp Fur die Gudermannfunktion welche die Ursprungsstammfunktion des Sekans Hyperbolicus ist gilt somit diese Formel gd x k 0 2 1 k arctan 2 x 2 k 1 p displaystyle operatorname gd x sum k 0 infty 2 1 k arctan biggl frac 2x 2k 1 pi biggr nbsp Komplexes Argument Bearbeitensech x i y 2 cosh x cos y cosh 2 x cos 2 y i 2 sinh x sin y cosh 2 x cos 2 y sech i y sec y csch x i y 2 sinh x cos y cosh 2 x cos 2 y i 2 cosh x sin y cosh 2 x cos 2 y csch i y i csc y displaystyle begin aligned amp operatorname sech x mathrm i y frac 2 cosh x cos y cosh 2x cos 2y mathrm i frac 2 sinh x sin y cosh 2x cos 2y amp operatorname sech mathrm i y sec y amp operatorname csch x mathrm i y frac 2 sinh x cos y cosh 2x cos 2y mathrm i frac 2 cosh x sin y cosh 2x cos 2y amp operatorname csch mathrm i y mathrm i csc y end aligned nbsp Reihenentwicklungen BearbeitenWenn Summenreihen aus dem Sekans hyperbolicus mit linearem Verlauf des inneren Eintrags bezuglich des Summenindex aufgestellt werden dann entstehen elliptische Werte Im Folgenden wird eine fur alle elliptischen Moduln beziehungsweise numerischen Exzentrizitaten 1 e 1 e R displaystyle 1 leq varepsilon leq 1 cap varepsilon in mathbb R nbsp gultige Formel aufgestellt die in Abhangigkeit vom Modul e displaystyle varepsilon nbsp das normierte vollstandige elliptische Integral erster Art als Resultat ergibt 1 2 n 1 s e c h p n K e K e 1 2 n 1 2 q e n 1 q e 2 n ϑ 00 q e 2 2 p K e displaystyle 1 2 biggl sum n 1 infty mathrm sech biggl pi n frac K varepsilon K varepsilon biggr biggr 1 2 biggl sum n 1 infty frac 2 q varepsilon n 1 q varepsilon 2n biggr vartheta 00 q varepsilon 2 frac 2 pi K varepsilon nbsp Denn die Jacobische Thetafunktion ϑ 00 displaystyle vartheta 00 nbsp und ihr Quadrat haben folgende Summenreihen ϑ 00 w 1 2 n 1 w n 2 displaystyle vartheta 00 w 1 2 biggl sum n 1 infty w n 2 biggr nbsp ϑ 00 w 2 1 2 n 1 2 w n 1 w 2 n displaystyle vartheta 00 w 2 1 2 biggl sum n 1 infty frac 2 w n 1 w 2n biggr nbsp Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson nannten sowohl Summendefinitionen als auch Produktdefinitionen in ihrem gemeinsamen Werk 1 2 3 A Course in Modern Analysis nieder Das Elliptische Nomen q e displaystyle q varepsilon nbsp hat diese Definition q e exp p K e K e displaystyle q varepsilon exp bigl pi K varepsilon div K varepsilon bigr nbsp Diese Formel wurde bei der zuvor genannten Gleichungskette hervorgebracht 1 2 n 1 s e c h p n K e K e 2 p K e displaystyle 1 2 biggl sum n 1 infty mathrm sech biggl pi n frac K varepsilon K varepsilon biggr biggr frac 2 pi K varepsilon nbsp Nun werden einige Werte in diese Gleichungen eingesetzt und die Resultate mit den Eulerschen Betafunktionsidentitaten der K Integrale versehen Modulwerte e displaystyle varepsilon nbsp Resultierende Sekans hyperbolicus Gleichungene 1 2 2 displaystyle varepsilon tfrac 1 2 sqrt 2 nbsp 1 2 n 1 s e c h p n 2 p K 1 2 2 1 2 p b 1 4 displaystyle 1 2 biggl sum n 1 infty mathrm sech pi n biggr frac 2 pi K bigl tfrac 1 2 sqrt 2 bigr frac 1 2 pi beta tfrac 1 4 nbsp e 2 1 displaystyle varepsilon sqrt 2 1 nbsp 1 2 n 1 s e c h 2 p n 2 p K 2 1 1 4 p 2 4 2 1 b 3 8 displaystyle 1 2 biggl sum n 1 infty mathrm sech sqrt 2 pi n biggr frac 2 pi K sqrt 2 1 frac 1 4 pi sqrt 4 2 sqrt 2 1 beta tfrac 3 8 nbsp e sin 1 12 p displaystyle varepsilon sin tfrac 1 12 pi nbsp 1 2 n 1 s e c h 3 p n 2 p K sin 1 12 p 1 6 p 4 3 27 4 b 1 3 displaystyle 1 2 biggl sum n 1 infty mathrm sech sqrt 3 pi n biggr frac 2 pi K bigl sin tfrac 1 12 pi bigr frac 1 6 pi sqrt 3 4 sqrt 4 27 beta tfrac 1 3 nbsp Im Gegensatz zu den nun gezeigten Integralen konnen jedoch nicht alle vollstandigen elliptischen Integrale erster Art mit Hilfe der reduzierten Eulerschen Betafunktion als einzigen nicht elementaren Funktionsausdruck dargestellt werden Siehe auch BearbeitenTrigonometrische Funktionen Kreis und Hyperbelfunktionen Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Hyperbolic Cosecant In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Jacobi Theta Functions In MathWorld englisch http wayback cecm sfu ca pborwein TEMP PROTECTED pi agm pdf DLMF 20 5 Infinite Products and Related Results Abgerufen am 13 August 2022 Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus amp oldid 236394324
